§1.2 常微分方程基本概念习题及解答

1．=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：=2xdx   两边积分有：ln|y|=x+c

y=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1

特解为y= e.

2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

 解：ydx=-(x+1)dy    dy=-dx

两边积分: -=-ln|x+1|+ln|c|   y=

另外y=0,x=-1也是原方程的解    x=0,y=1时 c=e

特解：y=

3．=

   解：原方程为：=

dy=dx

两边积分：x(1+x)(1+y)=cx

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

  解：原方程为： dy=-dx

两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x）dy+(x-y)dx=0

  解：原方程为：

     

=-

令=u  则=u+x 代入有：

-du=dx

ln(u+1)x=c-2arctgu

即 ln(y+x)=c-2arctg.

6. x-y+=0

  解：原方程为： =+-

则令=u   =u+ x

 du=sgnx dx

arcsin=sgnx ln|x|+c

7. tgydx-ctgxdy=0

  解:原方程为：=

两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|

siny==  另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.

所以原方程的通解为sinycosx=c.

8 +=0

  解：原方程为：=e

2 e-3e=c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0

  解：原方程为：=ln

令=u ,则=u+ x

u+ x=ulnu

ln(lnu-1)=-ln|cx|

1+ln=cy.

10. =e

  解：原方程为：=ee

e=ce

11 =(x+y)

   解：令x+y=u,则=-1

-1=u

du=dx

arctgu=x+c

arctg(x+y)=x+c

12. =

解：令x+y=u,则=-1

    -1=

  u-arctgu=x+c

  y-arctg(x+y)=c.

13. =

解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx

    xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0

    dxy-d(y-y)-dx+x=c

    xy-y+y-x-x=c

14: =

解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx

    xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0

    dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0

    y+4y+x+10x-2xy=c.

15: =(x+1) +(4y+1) +8xy

   解：原方程为：=（x+4y）+3

令x+4y=u 则=-

-=u+3

=4 u+13

u=tg(6x+c)-1

tg(6x+c)=(x+4y+1).

16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：

1）y(1+xy)dx=xdy

2）=

   证明： 令xy=u,则x+y=

          则=-，有：

          =f(u)+1

          du=dx

        所以原方程可化为变量分离方程。

1）令xy=u  则=-      (1)

原方程可化为：=[1+（xy）]    (2)

将1代入2式有：-=(1+u)

u=+cx

17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y

    则与x轴，y轴交点分别为：

    x= x -     y= y - x y’

    则    x=2 x = x -     所以 xy=c

18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 = 。

解：由题意得：y’=     dy= dx

    ln|y|=ln|xc|    y=cx.

  =      则y=tgx    所以 c=1   y=x.

19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。

   证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx

         则：y=kx +c 即为所求。

                                               

第二篇：高中化学必修一第一节 化学实验基本方法 教学过程讲义及习题(超具体超有用)

教    案

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