五邑大学
毕业设计（论文）开题报告
院 系 数学与计算科学学院 专 业 信息与计算科学 学 号 AP0710229 学生姓名 温河贤 指导教师 徐俊峰 副教授
五邑大学教务处制
20xx年2月
说 明
一、开题报告应包括下列主要内容：
1．课题来源及研究的目的和意义；
2．国内外在该方向的研究现状及分析；
3．本课题研究的主要内容；
4．具体研究方案及进度安排和预期达到的目标；
5．预计研究过程中可能遇到的困难和问题，以及解决的措施；
6．主要参考文献。
二、对开题报告的要求：
1．开题报告的字数应在2000字左右；
2．阅读的主要参考文献应不少于5篇，英文参考文献量根据专业的不同确定，本学科的基础和专业课教材一般不应列为参考资料。
3．参考文献采用顺序编码制，即在开题报告引文中按引文出现先后以阿拉伯数字连续编码，序号置于方括号内，并作为上标出现。
4．参考文献书写顺序：序号 作者.文章名.学术刊物名.年，卷（期）：引用起止页。
开题报告
1．课题来源及研究的目的和意义
数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源。人所共知，常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。
2．国内外在该方向的研究现状及分析
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
1927－19xx年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。
40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。在动力系统理论方面, 我国著名数学家廖山涛教授, 用从典范方程组到阻碍集一整套理论和方法, 解决了一系列主要问题, 特别是C’封闭引理的证明, 对结构稳定性的充要条件等方面都作出了主要贡献。
在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。对这些系统的稳定性研究, 引起了越来越多学者的兴趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的。
目前常微分方程的研究领城比以往任何时候都广泛，大致有九个分支学科：一般理论；边值问题；定性理论；稳定性理论；泛函微分方程和差分方程；微分方程的渐近理论；巴拿赫空间及其他抽象空间的微分方程；控制理论问题以及随机微分方程和方程组。这些领域都有不少数学家在从事工作，每年发表的文献总数在1000篇以上.例如，一般理论仍然是常微分方程最活跃的领城之一。近二十年来，由于研究继电控制系统等实际问题提出了一类右端不连续常微分方程系统和广义常微分方程。由此就要求对解重新定义, 即广义解的定义问题。与此同时又提出这类解的存在性、唯一性问题。再如，在自动控制、生物学、医学、经济学等领城中提出了一类数学模型, 类似一般的常微分方程, 但其解的未来状态, 不仅依赖于初始状态, 而且与过去的状态有关。这些数学模型被概括为所谓泛函微分方程（Funstion Diff,Eqs,简写为FDE），成为常微分方程的重要分支学科。这类方程早在1750年欧拉就已经提出，但20世纪前只有个别工作，19xx年—19xx年间从各个方面提出的FDE逐渐增多，但仍未成为一个独立分支。19xx年后贝尔曼（R.Bellman，1920,8,20，美国数学家）等建立了普遍存在唯一性、稳定性定理后，才成为一个独立的数学分支。目前这类方程的稳定性同样是头等重要的问题。
3．本课题研究的主要内容：
本课题主要分为两部分。
第一部分是常微分方程积分因子的存在性。
第二部分是常微分方程积分因子的求解。
4．具体研究方案及进度安排和预期达到的目标
具体的研究方案 ：充分利用网络资源及校图书馆的资料，并对材料归纳总结，还要结合自己的见解。如果在写的过程中遇到不懂的问题，将会和指导老师研究，直到问题解决。
（1）进度：
(1-3周) 确定论文题目。查找资料,完成毕业论文开题报告；
(4-6周) 查阅，收集和整理资料，对其进行综述；
(7-8周) 中期检查，情况汇报；
(8-12周) 完成总结。整理全文,完成论文初稿的撰写，交指导老师审阅；
(13周) 按指导老师意见，完成论文的修改；
(14周) 论文答辩准备，并完成论文答辩。
（2）预期达到的目标
通过对常微分方程积分因子的研究，对积分因子有更深层次的了解和认识，对以后的常微分方程求解有所帮助。
5．预计研究过程中可能遇到的困难和问题，以及解决的措施
1.查找资料困难，去图书馆或者上网寻找。
2.本课题理论性比较强，查找资料，客观判断问题。
3.遇到自己无法解决的问题，找指导老师指导。
6．主要参考文献
[1] 滕文凯. 积分因子的分组求法[J]. 承德民族师专学报, 2004, (02) .
[2] 李振东,张永珍. 求积分因子的新方法[J]. 唐山学院学报, 2003, (02) .
[3] 王金诚. 浅析积分因子的求法[J]. 中国科技信息, 2007, (20) .
[4] 伍军. 求解积分因子的几种方法[J]. 新疆师范大学学报(自然科学版), 2006, (01) .
[5] 胡晶地. 一种寻求积分因子的有效途径[J]. 浙江工贸职业技术学院学报, 2004, (03) .
[6] 张鹏强,黄继强,代平力. 一类一阶微分方程的积分因子[J]. 固原师专学报, 2004, (06) .
[7] 潘鹤鸣. 几种特殊类型积分因子的求法及在解微分方程中的应用[J]. 巢湖学院学报, 2003, (03) .
[8] 龚雅玲. 求解微分方程的积分因子法[J]. 南昌教育学院学报, 2007, (01) .
[9] 徐安农,段复建. 全微分方程与积分因子法[J]. 桂林电子工业学院学报, 2002, (02) .
[10] 温启军,张丽静. 关于积分因子的讨论[J]. 长春大学学报, 2006, (10) .
[11] 杨淑娥. 一阶微分方程的积分因子解法[J]. 彭城职业大学学报, 2000, (01)
[12] 阎淑芳. 积分因子的存在条件及求法[J]. 邯郸师专学报, 2004, (03)
[13] 刘文武. 两类微分方程的积分因子[J]. 黔南民族师范学院学报, 2003, (06)
[14] 汤光宋, 邱自红. 几类全微分方程问题的求解定理[J]. 江汉大学学报(自然科学版), 2002, (04)
[15] 宁新民. 二阶全微分方程和积分因子[J]. 娄底师专学报, 1993, (04)
[16] 刘绛玉. 关于一阶方程的积分因子法[J]. 茂名学院学报, 2000, (01)
[17] 李振东, 张永珍. 求积分因子的新方法[J]. 唐山学院学报, 2003, (02)
[18] 汤光宋. 常微分方程中积分因子的若干性质[J]. 曲靖师范学院学报, 1983, (01)
[19] 祝浩锋. 波发夫方程的积分因子[J]. 浙江海洋学院学报(人文科学版), 1996, (01)
[20] 王坚定. 一些特殊类型微分方程的积分因子(续)[J]. 黔南民族师范学院学报, 2001, (06)
指导教师评语：
指导教师签字： 检查日期：
第二篇：毕业论文正文(常微分方程积分因子法的求解)
五邑大学本科毕业论文
摘 要
微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。
人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然。
所以我们必须能够求出它的解。
同时，对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是恰当微分方程。
对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。
关键词：微分方程；积分因子；恰当微分方程；一阶微分；
I
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Abstract
Differential expression of natural law is a natural mathematical language. It from the production practice and science and technology generation, but modern science and technology in analyzing and solving problems in a powerful tool..
Some people in the law to explore the process of the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in
accordance with certain laws are often easy to catch us, and such laws expressed in mathematical language, which often results in the formation of a differential equation, and once obtained equation, the law is clear
So we must be able to find its solution.
Meanwhile, for the appropriate differential equation we have a general formula to solve.
However, as we all know, not all forms of first-order differential equations are appropriate differential equation.
For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factor
Keywords:
Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential
II
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目 录
第1章 绪论………………………………………………………………1
1.1 常微分方程………………………………………………………………………1
1.2 恰当微分方程……………………………………………………………………1
第2章 积分因子的存在性………………………………………………2
2.1 各种形式积分因子存在的充要条件……………………………………………2
2.2 几种常见类型的微分方程的积分因子…………………………………………5
第3章 积分因子求法的推广……………………………………………7
?P?QP??Qf(x)?y的积分因子求法………………………………7 3.1 满足条件?y?x
m?1m?123422m???(m?3)x?mxy?3xydx?6y?3xy?3xy????dy?0积分因3.2 方程?
子…………………………………………………………………………………………9
mm?1m??3x?m(x?y)xdx?3xdy?0?3.3 方程?积分因子……………………………11
mm?1m???(4?m)x?mxy?4ydx?x?4x?5y????dy?0积分因子…………12 3.4 方程?
参考文献……………………………………………………………………15 致谢…………………………………………………………………………16
III
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第1章 绪论
1.1 常微分方程
数学发展的历史告诉我们,300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源。人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的。
常微分方程的发展史大致可分为五个阶段：第一阶段是十七世纪前半期, 即它的萌芽阶段。第二阶段是十七世纪后半期到十八世纪末, 即常微分方程发展成为一个数学分支的阶段。这个阶段主要是讨论各种具体类型方程的积分法, 把解表示为初等函数或初等函数的积分形式。这个阶段可化为积分的方程的基本类型巳被研究明白, 如果精确解找不到就求近似解。第三阶段是十九世纪上半期。
这个阶段数学分析的新概念（如极限、无穷小、连续函数、微分、积分等）和新方法，大大影响了微分方程理论的发展。这是建立常徽分方程基础的阶段。第四阶段是19世纪80年代至20世纪20年代，是常微分方程定性理论蓬勃发展的阶段。第五阶段是20世纪30年代直至现在, 是常微分方程全面发展的阶段。
1.2 恰当微分方程
恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。如果能将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程，则求其通解将变得简单。为此本文寻求微分方程各类积分因子,化微分方程为恰当方程求解，这样给解题带来很大的方便。
1
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第2章 积分因子的存在性
2.1 各种形式积分因子存在的充要条件
定义 对于一阶微分方程 M(x,y)dx?N(x,y)dy?0如果存在连续可微的函数u?u(x,y)?0，使得u(x,y)M(x,y)dx?u(x,y)N(x,y)?0为一恰当微分方程，即存在函数U，使得uMdx?Ndy?dU，则称u(x,y)为方程的积分因子。
引理 函数u(x,y)为方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0的积分因子的充要条件是d(uM)d(uN)?dydx。
积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件将形式各异。下面给出不同形式的积分因子存在的充要条件。
结论1 方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只与x有关的积分因子的充要条件是1dMdN*(?)Ndydx，且积分因子为u?exp(?(x)dx)。
结论2 方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只与y有关的积分因子的充要条件是?1dMdN*(?)Mdydx，且积分因子为u?exp(?(x)dy)。
结论3 方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有形如u(x?y)的积分因子的充要条件是1dMdN*(?)?f(x?y)u?exp(?(x?y)d(x?y))N?Mdydx，且积分因子为。
dududu??x?y?ududxdy，证明 令，则假设u(x?y)为方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0的d(uM)d(uN)?dx，所以积分因子，则由引理有充要条件dy
u*(dMdNdududududu?)?N?M?N?M?(N?M)*dydxdxxydududu，所以，
du1dMdN1dMdN?*(?)du*(?)?f(x?y)uN?Mdydxdydx，当且仅当，N?M时可以解出u，故
2
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方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有形如u(x?y)的积分因子的充要条件是
1dMdN*(?)?f(x?y)N?Mdydx。
结论4 方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有形如u(x?y)的积分因子的充要条件是1dMdN*(?)?f(x?y)u?exp(?(x?y)d(x?y)N?Mdydx,且积分因子。证明类似结论3的证明。
结论5 方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有形如u(xy)的积分因子的充要条件是1dMdN*(?)?f(xy)u?exp(?(xy)d(xy)Ny?Mxdydx,且积分因子。
dududvdudududvdu?*?y*?*?x*dvdydvdydv，假设u(x,y)为方程证明 xy?v，则dxdvdx
d(uM)d(uN)?M(x,y)dx?N(x,y)dy?0的积分因子，则有充要条件dydx，所以
u(dMdNdududududu?)?N*?M?Ny?Mx?(Ny?Mx)*dydxdxdydvdvdv，所以，du1dMdN1dMdN?*(?)*dv*(?)?f(v)uNy?Mxdydxdydx，当且仅当Ny?Mx时,可以解出u,故方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有形如u(xy)的积分因子的充要条件是
1dMdN*(?)?f(xy)u?exp(?(xy)d(xy)Ny?Mxdydx,且积分因子。
abM(x,y)dx?N(x,y)dy?0u(x?y)的积分因子的充要条件是结论6 方程有形如
1dMdN*(?)?f(xa?yb)a?1b?1u?exp(?(xa?yb)d(xa?yb))dydxNax?Mby，且有积分因子。
dududududua?1dudub?1du?*?ax?*?byabx?y?u，则dxdudxdudydudydu，假设证明 令
u(xa?yb)是方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0的积分因子，则由引理有充要条件：
3
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d(uM)d(uN)dMdNdududu?u*(?)?N?M?(Naxa?1?Mbyb?1)dydx，所以，dydxdxdydu，从而，dudMdN?(Naxa?1?Mbyb?1)?1*(?)?f(u)udydx时，可以解出u，得方程
M(x,y)dx?N(x,y)dy?0 有形如u(xa?yb)的积分因子的充要条件是
1dMdN*(?)?f(xa?yb)a?1b?1u?exp(?(xa?yb)d(xa?yb))dydxNax?Mby，即可得积分因子。
abM(x,y)dx?N(x,y)dy?0u(mx?ny)的积分因子的充要条件是结论7 方程有形如
1dMdNab*(?)?f(mx?ny)a?1b?1dydxNmax?Mnby，且积分因子
u?exp(?(mxa?nyb)d(mxa?nyb))。证明类似结论3 的证明。
abM(x,y)dx?N(x,y)dy?0u(xy)的积分因子的充要条件是结论8 方程有形如
1dMdNab*(?)?g(xy)a?1b?1u?exp(?g(xayb)d(xayb))dydxxy(ayN?bxM)，且积分因子。
dududvdudva?1bduduab?1du?*?axy?*?bxyabxy?vdxdvdxdvdydvdydv，假设证明 令，则有
u(xayb)是方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0的积分因子，则由引理有充要条件：
d(uM)d(uN)?dydx，所以，
u*(dMdNdudududu?)?N?M?(Naxa?1yb?Mbxayb?1)?xa?1yb?1(Nay?Mbx)*dydxdxdydvdv，所以，dudMdN?[xa?1yb?1(Nay?Mbx)]?1*(?)dvudydx，当且仅当
[xa?1yb?1(Nay?Mbx)]?1*(dMdN?)?g(v)dydx时可以解出u。故方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0
1dMdNab*(?)?g(xy)a?1b?1abdydx有形如u(xy)的积分因子的充要条件是xy(ayN?bxM)，且积
分因子u?exp(?g(xayb)d(xayb))。
4
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aabbM(x,y)dx?N(x,y)dy?0u(mx?hxy?ny)的积分因子的充结论9 方程有形如
1dMdN*(?)?φ(mxa?hxayb?nyb)a?1b?1a?1b?1dydx要条件是Nmax?Mnby?hxy(ayN?bxM)，
且积分因子u?exp(?(mxa?hxayb?nyb)d(mxa?hxayb?nyb))。
aabbmx?hxy?ny?t ，则证明 令
dududtdudududtdu?*?(maxa?1?haxa?1yb)*?*?(nbyb?1?hbxayb?1)*dxdtdxdtdydtdydt，假设u(mxa?hxayb?nyb)是方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0的积分因子，则由引理有充要条件d(uM)d(uN)?dydx，所以，
u*(dMdNdududu?)?N?M?[N(maxa?1?haxa?1yb)?M(nbyb?1?hbxayb?1)]*dydxdxdydt，dudMdN?[N(maxa?1?Mnbyb?1?hxa?1yb?1(nay?Mbx)]?1*(?)dtdtdydx，当且仅当
[Nmaxa?1?Mnbyb?1?hxa?1yb?1(Nay?Mbx)]?1＝φ(t)时可以解出u,故方程
M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有形如u(mxa?hxayb?nyb)的积分因子的充要条件是
1dMdNaabb*(?)?φ(mx?hxy?ny)a?1b?1a?1b?1dydxNmax?Mnby?hxy(ayN?bxM)，且积分因
子u?exp(?(mxa?hxayb?nyb)d(mxa?hxayb?nyb))。
2.2 几种常见类型的微分方程的积分因子
根据以上结论易得出下列常见的微分方程积分因子结果。
命题1 可分离变量方程M1(x)M2(y)dx?N1(x)N2(y)dx?0，(N1(x)M2(y)?0有积分因子
1
N1(x)M2(y)。
1
ydyyy?xφ()?φ()x。 x有积分因子命题2 齐次方程dx
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命题3 齐次方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0，当xM?yN?0时有积分因子u?1xM?yN。
dy?P(x)y?Q(x)yn?n(n?1)?P(x)dxu?ye(n?0，1）dx命题4 Bernoulli方程，有积分因子。
6
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第3章 积分因子求法的推广
微分方程积分因子求法的推广主要写了几类特定微分方程的积分因子的求法，极大的提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。
?P?QP??Qf(x)?y的积分因子求法 3.1 满足条件?y?x
定理1 假设P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中P(x,y)，Q(x,y)存在以下关系：
?P?QP??Qf(x)??y?xy
其中f(x)是x的连续函数，则该方程的积分因子是：
?(x,y)?e
?1??f(x)dx??ydy1?e?f(x)dx?y． ??f(x)dx??dy???y??f(x)e??f(x)?(x,y) 证明 ：?x
?f(x)dx??ydy?1??1?????(x,y)?ey?yy ?1?
?(x,y)P(x,y)dx??(x,y)Q(x,y)dy?0
??P???PP?P?P???????y?yy?y 即： ?y
??Q???Q?Q?Q???Qf(x)????x?x?x?x
若要使得?(x,y)是积分因子，必须满足：
??Q??P??x?y
P?P?Q????Qf(x)????y?x 则 y
?P???Q?P??Qf(x)???y???x??y????? 即 ?
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?Q?PP???Qf(x)
即要满足： ?x?yy． 若满足以上定理可得到如下定理：
??(x,y)?e定理2 如果
f(??(x,y2)?(ex)dxf(x)dx?y是方程P(x,y)d?xy也是该方程的积分因子 Q(,x)y?dy0积分因子，则的?y2?)?2ef(x)dx2?
22?Pdx??Qdy?0 证明 ：∵
?(?2P)???P?2?P??2
?y?y ∴ ?y
?2?2P?P??2
y?y ?(?2Q)???Q?2?Q??2
?x?x ?x
?2?2Qf(x)???2?Q?x
???P???Q?(?2P)?(?2Q)??2)?(2?Q??2)??(2?P?y?y?x?x?y?x ?2?(P?????P?Q?Q)??2(?)?y?x?y?x
P?P?Q?2?(??Qf(x)?)??2(?)y?y?x ?2?2(P?P?Q?Qf(x))??2(?)y?y?x
12
因为f(x)，y分别是x，y的连续函数，则由连续函数的局部性质知2f(x)，y也分别是
x，y的连续函数．
?P?Q2P??2Qf(x)?y 又因为 ?y?x
P?P?Q?(?2P)?(?2Q))??2?2(?Qf(x))??2(?y?y?x?y?x
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?2?2(
=0 PP?Qf(x))?2?2(?Qf(x))yy
22?Pdx??Qdy?0是全微分方程． 所以
2?所以 也是该方程的积分因子．
3yyxdx?esinxdy?0的积分因子． 例3 求
?P?Q??x3?eycosx
解 ： ?y?x
f(x)??cotx
可以由上面的定理得到方程的积分因子：
??e??cotxdx?y．
23yysinxdx?xyedy?0的积分因子． 例 4 求
?M?N??sin2x?3x2yey
解 ： ?y?x
?3x2yey?3f(x)?3y?xyex 从而使该方程能够满足定理1所需条件 可以取
则有：
?31dx?3?dx1y???ex?y?ex?y?3?y?3xx
所以方程的积分因子是：
??y
x3．
y2
??6x 也是该方程的积分因子． 同理，由定理2知：
m?1m?123422m???(m?3)x?mxy?3xydx?6y?3xy?3xy????dy?0积分因子 3.2 方程?
定理3 齐次方程为：
m?1m?123422m???(m?3)x?mxy?3xydx?6y?3xy?3xy?????dy?0
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1
22则该方程有积分因子：??(x?y)．
证明： 令z?(x?y)
1??z??z222222?y(x?y)?x(x?y)则知 ?x ?y 221221
∵ ?(x,y)Pdx??(x,y)Qdy?0 ∴
若有： 也即是有： P?(m?3)xm?1?mxm?1y2?3xy3 Q?6y4?3x2y2?3xmy ??Pd???y?Pz?Pdz?y???y 1?Py(x2?y2)?2d?dz???P?y ??Qd?x?Q??zdz?x???Q?x 1?Qx(x2?y2)?2d??Qdz???x ??P?? ?y?Q?x 1(Py?xQ)(x2?y2)?2d?dz??(?Q?P?x??y)?Q?P1d??x??y1??dz?(Py?xQ)?(x2?y2)?2 ?Qdln??x??P?ydz??(Py?Qx)?(x2?y2)?12 ?11(x2?y2)2
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?1
1
222(x?y)dz∴ ?(x,y)?e
2122?y)?
?e
?e(x12?y2)2d(x 1
ln(x2?y2)2
?(x?y)．
例 5 求解齐次方程
3234222??6cosx?3ycosx?3ycosx??d(cosx)???6y?3cosxy?3xy??dy?0的积分因2122
子．
解：由定理3得方程的积分因子是： ??(x?y)
mm?1m??3x?m(x?y)xdx?3xdy?0?3.3 方程?积分因子 2122
定理4 齐次方程：
mm?1m??3x?m(x?y)xdx?3xdy?0??
则该方程有积分因子：
??(x?y)2．
2z?(x?y)证明： 令
?????2x?2y?2x?2y则知 ?x ?y
因为 ?(x,y)Pdx??(x,y)Qdy?0
??Pd??z?P?P??dz?y?y 所以有 ?y
?P(2x?2y)d??P??dz?y
??Qd??z?Q?Q???xdz?x?x d??Q?Q(2x?2y)??dz?x
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??P??Q??x 若有 ?y
则有：
(P?Q)(2x?2y)d??Q?P??(?)dz?x?y ?Q?P?1d??x?y???dz(P?Q)?(2x?2y) ?Q?P?dln??x?y?dz(P?Q)?(2x?2y) ?
?
11(x?y)2
所以 ?(x,y)?e
例 6 求解齐次方程 ?(x?y)2dz?e?(x?y)2d(x?y)122?eln(x?y)?(x?y)． 2
?3sin4x?4(sinx?ey)sin3x?d(sinx)?3sin4xdey?0??
的积分因子．
解： 方程满足定理3方程的形式，因此，方程的积分因子为：
y2??(sinx?e)．
mm?1m???(4?m)x?mxy?4ydx?x?4x?5y?dy?0????3.4 方程积分因子
定理5 若齐次方程的形式为：
mm?1m??(4?m)x?mxy?4y??dx???x?4x?5y??dy?0
则方程的积分因子是：
3??(x?y) ．
证明： 令z?(x?y)
?z?z?3(x?y)2?3(x?y)2
则知 ?x ?y 3
因为 ?(x,y)Pdx??(x,y)Qdy?0
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P?(4?m)xm?mxm?1y?4y Q?x?4xm?5y
??Pd??z?P?P??dz?y?y 所以有 ?y
?3P(x?y)2d??P??dz?y
??Qd??z?Q?Q???xdz?x?x d??Q?3Q(x?y)2??dz?x ??P??Q??x 若有 ?y
即有：
3(P?Q)(x?y)2d??Q?P??(?)dz?x?y ?Q?P?1d??x?y?2??dz(P?Q)?3(x?y) ?Q?P?dln??x?y?dz(P?Q)?3(x?y)2 ?
?
所以 ?(x,y)?e1(x?y)3 ?(x?y)3dz
11 3
?e?(x?y)d(x?y)
ln(x?y)3 ?e
?(x?y)3
所以 方程的积分因子是：
??(x?y)3．
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323(7sinx?3sinxy?4y)dx?(sinx?4sinx?5y)dy?0的积分因子． 例7 求齐次方程
解：方程满足定理5条件，则知方程的积分因子是：
3??(x?y) ．
本章对积分因子的求解方法进行了推广，总结出几类特定方程积分因子的固定求法，以便加深对微分方程积分因子的认识和了解，熟悉一阶微分方程求解方法。
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参考文献:
[1] 滕文凯. 积分因子的分组求法[J]. 承德民族师专学报, 2004, (02) .
[2] 李振东,张永珍. 求积分因子的新方法[J]. 唐山学院学报, 2003, (02) .
[3] 王金诚. 浅析积分因子的求法[J]. 中国科技信息, 2007, (20) .
[4] 龚雅玲. 求解微分方程的积分因子法[J]. 南昌教育学院学报, 2007, (01) .
[5] 温启军,张丽静. 关于积分因子的讨论[J]. 长春大学学报, 2006, (10) .
[6] 杨淑娥. 一阶微分方程的积分因子解法[J]. 彭城职业大学学报, 2000, (01)
[7] 阎淑芳. 积分因子的存在条件及求法[J]. 邯郸师专学报, 2004, (03)
[8] 刘文武. 两类微分方程的积分因子[J]. 黔南民族师范学院学报, 2003, (06)
[9] 刘绛玉. 关于一阶方程的积分因子法[J]. 茂名学院学报, 2000, (01)
[10] Coddington, E. A. An Introduction to Ordinary Differential Equations [M].
New York: Dover, 1989
[11] Morris Tenebaum， Harry Pollard. Ordinary differential equations [M].
Dover Publications, 1963, (01)
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致谢
本课题在选题及研究过程中得到数学与计算科学学院徐俊峰老师的悉心指导，使我得以最终完成毕业论文设计，在此先向尊敬的老师表示衷心的感谢。谢谢老师对毕业设计的完成与说明书的撰写工作给予的关怀和指导。
感谢数学与计算科学学院各位老师在大学四年里对本人的栽培，感谢在大学四年里帮助过本人的各位老师，感谢他们一直来对本人的支持与鼓励。
特别谢谢我的一群同学和朋友们，一起生活和工作学习的美好时间里，你们给予我的真挚的鼓励和无私的帮助是毕生难忘的。
感谢父母和亲人多年来在生活上无微不至的照顾和精力上的支撑，我能长这么大，能够有机会读书，真的不知道对你们的付出说些什么，谁言寸草心，报得三春辉。千言万语化作一句感恩的话：辛苦了！
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