第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程：

①、形如 dy

dx?f(x)g(y)

当g(y)?0时，得到dy

g(y)?f(x)dx，两边积分即可得到结果；

当g(?0)?0时，则y(x)??0也是方程的解。

例1.1、dy

dx?xy

解：当y?0时，有

x2dyy?xdx，两边积分得到lny?x22?C(C为常数) 所以y?C1e2(C1为非零常数且C1??e) C

y?0显然是原方程的解； x2

综上所述，原方程的解为y?C1e2(C1为常数)

②、形如M(x)N(y)dx?P(x)Q(y)dy?0

M(x)

P(x)Q(y)N(y)当P(x)N(y)?0时，可有dx?dy，两边积分可得结果；

当N(y0)?0时，y?y0为原方程的解，当P(x0）?0时，x?x0为原方程的解。 例1.2、x(y?1)dx?y(x?1)dy?0

解：当(x?1)(y?1)?0时，有2222y

1?y2dy?xx?1

22dx两边积分得到 lnx?1?lny?1?lnC

2222(C?0)，所以有(x?1)(y?1)?C2(C?0)； 当(x?1)(y?1)?0时，也是原方程的解；

综上所述，原方程的解为(x?1)(y?1)?C

⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如dy

dx?g(

y

xyx) dudx?u?g(u)为变量可分离方程，得到22(C为常数)。 解法：令u?，则dy?xdu?udx，代入得到x

f(u,x,C)?0(C为常数)再把u代入得到f(

yx

,x,C)?0(C为常数)。

②、形如

dydx

?G(ax?by),(ab?0)

adx

?dub

解法：令u?ax?by，则dy?得到f(u,x,C)?0

dydx

，代入得到

1dubdx

?

ab

?G(u)为变量可分离方程，

(C为常数)再把u代入得到f(ax?by,x,C)?0

a1x?b1y?c1a2x?b2y?c2

(C为常数)。

③、形如

?f()

解法：10、

a1a2

a1a2

b1b2

?0，转化为

dydx

?G(ax?by)，下同①；

2、

?u?x?x0?a1x?b1y?c1?0

?0，?的解为(x0,y0)，令?

v?y?yax?by?c?0b2

220?2?b1

a1u?b1va2u?b2v

a1?b1

)?f(

a2?b2

v

)?g(v)，下同②；

vuu

得到，

dvdu

?f(

还有几类：yf(xy)dx?xg(xy)dy?0,u?xy

x

2

dydx

?f(xy),v?xy

dydx

?xf(

yx

2

),w?

yx

2

M(x,y)(xdx?ydy)?N(x,y)(xdy?ydx)?0,x?rcos?,y?rsin?

以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、

dydx

?

x?y?5x?y?2

dudx

u?7u

2

解：令u?x?y?2，则dy?dx?du，代入得到1?

u

2

?，有udu??7dx

所以

2

??7x?C

（x?y?2）

(C为常数)，把u代入得到?7x?C

2

(C为常数)。

例2.2、

dydx

?

2x?y?1x?2y?1

11??x??u?x????2x?y?1?0?dy?dv33解：由?得到?，令?，有?，代入得到

11x?2y?1?0dx?du???y??v?y?33??

dvdu

?

2u?vu?2v

2??1?21?2t

v

u，令t?v，有dv?tdu?udt，代入得到t?udt?2?t，化简vdu1?2tuudt??

d(1?t?t)2(1?t?t)

22

得到，

duu

?

2?2t?2t

C1?t?t

2

2

，有ln??

13

nl(1?t?t)

2

2

?C(C为常数)，

所以有u?

C，(C1??e)，故代入得到x?

?

y?

C1

1?

?y?3??3?

1?1x?x??

3?3

1

?

?????

2

,(C1?0)

（3）、一阶线性微分方程：

（x)一般形式：a1

dydx

?a0(x)y?h(x)

标准形式：

dydx

?P(x)y?Q(x)

解法：1、直接带公式：

?P(x)dx?P(x)dx

?P(x)dxQ(x)dx?e??P(x)dx(e?P(x)dxQ(x)dx?C) y?Ce??e?e??

2、积分因子法： y(x)?

1

?(x)

dydx

?P(x)dx [??(x)Q(x)dx?C]，?(x)?e

?P(x)y?Q(x)，y(x0)?y0

x

3、IVP：

?

x

y?e

?x0P(s)ds

dydx

(?Q(t)e

x0

x

?x0P(s)ds

x

?

dt?y0)?y0e

?x0P(s)ds

t

?

?

x

x0

Q(t)e

?x0P(s)ds

t

dt

例3、(x?1)?ny?e(x?1)dydx

?

nx?1

P(x)dx

n?1

n

解：化简方程为：y?e(x?1)，则P(x)??

x

nx?1

,Q(x)?e(x?1);

xn

代入公式得到?(x)?e?

?e

??x?1dx

n

?(x?1)

(C为常数)

-n

所以，y(x)?(x?1)n[?(x?1)?nex(x?1)ndx?C]?(x?1)n(ex?C)(4)、恰当方程：

形如M(x,y)dx?N(x,y)dy?0,?G(x,y),s.t.dG?M(x,y)dx?N(x,y)dy 解法：先判断是否是恰当方程：

如果有

?M(x,y)

?y

?

?N(x,y)?x

恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个

G(x,y),s.t?G(x,y)

?x?M(X,y),?G(x,y)

?y?N(x,y),

有G(x,y)?C,(C为常数)；

例4、(3x2?6xy2)dx?(6x2y?4y3)dy?0

解：由题意得到，M(x,y)?3x2?6xy2,N(x,y)?6x2y?4y3 由?M

?y?12xy??N

?x得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个G(x,y),s.t

?G(x,y)

?x?G(x,y)?x2?M(X,y),?G(x,y)?y3?N(x,y) 由?M(X,y)?3x?6xy得G(x,y)?x?3xy??(y)，两边对y求偏222

导得到?G

?y223?6xy???(y)?6xy?4y，得到??(y)?4y，有?(y)?y， 34故G(x,y)?x3?3x2y2?y4，由dG?0，得到

x?3xy?y?C,(C为常数) 3224

(5)、积分因子法：

方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0,??(x,y),s.t.?Mdx??Ndy?0是一个恰当方程那么称?(x,y)是原方程的积分因子；积分因子不唯一。 ?M?N

?x?(x)dx??(x)，原方程有只与x有关的积分因子，且为?(x,y)?e?，，①当且仅当?y?

N

两边同乘以?(x,y)，化为恰当方程，下同(4)。 ?M?N

?x?(y)dy??(y)，原方程有只与y有关的积分因子，且为?(x,y)?e?，②当且仅当?y?

?M

两边同乘以?(x,y)，化为恰当方程，下同(4)。

例5.1、(e?3y)dx?2xydy?0 x2

解：由M(x,y)?ex?3y2,N(x,y)?2xy得

?M?y

?

?N?x

?6y?2y?4y

，且有

?M?y

?N

?N?x

??(x)?

2x

3

，有?(x,y)?e

?xdx

2

?x

2

，原方程两边同乘x2，得到

x(e?3y)dx?2xydy?0,化为d((x?2x?2)e?xy)?0，得到解为

(x?2x?2)e?xy?C,(C为常数)

2

x

3

2

2x22x32

例5.2、ydx?(x?y3)dy?0

解:由题意得到，M(x,y)?y,N(x,y)??(x?y3)，有

?M?y

??N?x

?1?(?1)?2

?M

有

?y

?

?N?x

??(y)??

2y

?M

，有?(x,y)?e?

2

?(y)dy

?e

??ydy

2

?y

?2

，原方程两边同乘y?2，得

到

dxy

?(?

xy

2

?y)dy?d(

xy

xy

?

y

y

2

2

)?0，得到原方程的解为：

?

2

?C,(C为常数)

(6)、贝努力方程： 形如

dydx

?P(x)y?Q(x)y,

1?n

n

解法：令u?y同（3） 例6、

dydx

?6

?1

，有du?(1?n)y

?n

dy，代入得到

dudx

?(1?n)P(x)u?(1?n)Q(x)，下

yx

?xy

?2

2

解：令u?y，有du??ydy，代入得到

dudx

?

6x

u?x，则P(x)?

2

6x

,Q(x)?x，

P(x)dxxC?666

?6,?x，u(x)?x[?x?xdx?C]?有?(x)?e?

8x

(C为常数)，把u代入得

到

1y

?

x

2

8

?

Cx

6

,(C为常数).

(7)、一阶隐式微分方程：

一般形式：F(x,y,y?)?0，解不出y?的称为一阶隐式微分方程。

下面介绍四种类型：

(1)y?f(x,y?) (2)x?f(y,y?) (3)F(x,y?)?0 (4)F(y,y?)?0 ①、形如y?f(x,dy

dx

dy

dx)， 一般解法：令p?，代入得到y?f(x,p)，两边对x求导得到p??f

?x??fdp

?pdx，这是

关于x，p的一阶线性微分方程，仿照(3)，

1、得出解为p??(x,C),C为常数，那么原方程的通解为

y?f(x,?(x,C)),C为常数

2、得出解为x??(p,C),C为常数，那么原方程的通解为

x??(p,C)?,C为常数 ??y?f(?(p,C),p)

3、得出解为?(x,p,C)?0,C为常数，那么原方程的通解为

??(x,p,C)?0,C为常数 ??y?f(x,p)

②、形如x?f(y,dy

dx

dy

dx) 一般解法：令p?，代入有x?f(y,p)，两边对y求导，得到1

p??f

?y??fdp

?pdy，此方

程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解?(y,p,C)?0,C为常数，那么原方程的通解为

??(y,p,C)?0,C为常数 ?x?f(y,p)?

③、形如F(x,y?)?0

?x??(t)

?y???(t)一般解法：设?

y?,(t为参数)，dy?y?dx??(t)??(t)dt，两边积分得到??(t)??(t)dt?C,C为常数，于是有原方程的通解为

?y??

???(t)??(t)dtx??(t)?C,C为常数

④、形如F(y,y?)?0

?y??(t)

?y???(t)一般解法：设?,(t为参数)，由关系式dy?y?dx得??(t)dt??(t)dx，有

dx???(t)

?(t)dt，两边积分得到x????(t)

?(t)dt?C，C为常数，于是有

??(t)?x?dt?C??，C为常数 ?(t)?

?y??(t)?

例7.1 xy?3?1?y?

解：令p?y?，得到x?1?p

p3，两边对y求导，得到1p?(1

p3?3(1?p)dp， )4pdy

有dy?(?2

p2?3p)dp，得到y?32p?3

2p2?C,C为常数，于是通解为

1?p?x?3??p，C为常数 ?23?y???C2?p2p?

例7.2 y?y?2ey

解：令p?y?，得到y?p

p?2ep，两边对x求导，得到p?(p?2p)ep2pdpdx，有 dx?(p?2)edp，两边积分得到x?(p?1)e?C,C为常数，于是通解为

?x?(p?1)ep?C,C为常数 ?2py?pe?

例7.3 x?y??1

?x?cost

?y??sintcos2t?1222解：设?,有dy?y?dx?sint?(?sint)dt?

sin2t

4t2dt，所以 y???C,C为常数

于是通解为

sin2tt??y???C

,C为常数 ?42

?x?cost?

例7.4 y2(1?y?2)?1

?y??sint

dy?sint1?dt?

解：设?1,有dx??dt??d(?tant)，所以 22

y??ycostsintcost?cost?

x??tant?C,C

于是通解为

x??tant?C??

,C为常数 ?y?1

?cost?

(8)、里卡蒂方程： 一般形式：

dydx

?P(x)y?Q(x)y?R(x)

1z

2

一般解法：先找出一个特解y0(x)，那么令y?y0?程得到

dy0dxdzdx?1dzz

2

，有

dydx

?

dy0dx

?

1dzz

2

dx

，代入原方

dx

?P(x)(y0?

1z

)?Q(x)(y0?

2

1z

)?R(x)，

化简得到

?(2P(x)y0?Q(x))z?P(x)?0，为一阶线性微分方程，解出

z(x)??(x,C),C为常数

那么原方程的通解为

y?y0?

1

,C为常数

?(x,C)

例8 xy??(xy?2)?0

1x

?

?1x

2

22

解：我们可以找到一个特解y0?令y?

1x?1z

，验证：y0?

2

，代入满足原方程。

1dzz

2

，y???

?2x

1x

2

?

1dzz

2

dx

，代入有x(?

1e?x

2dx

1x

2

?

2

dx

)?(x(

1x

?

1z

)?2)?0，

2

化简得到，

dzdx

z?1，所以有z(x)?

[?e

?xdx

dx?C]?

x3

?

Cx

2

,C为常数

所以原方程的解为

y?

1x?

1x3?Cx

2

,C为常数 或 y?

1x

第二篇：总结一阶常微分方程奇解的求法

                     总结一阶微分方程奇解的求法

摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用

Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples.

 关键词：常微分方程  奇解  c-判别式  p-判别式

方法一：利用c-判别式求奇解

 设一阶微分方程                ①

可求出方程①的通解为            ②

如果        ③

是微分方程①的解，且对③式满足：   ④

则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。

例1：方程的奇解

解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为与

      其中c为任意常数

      当时，

     其相应的c-判别式为

                         

    易得到：

    代入原微分方程，可知不是原微分方程的解；

    当时，易求出，则有

故为原微分方程的奇解

例2：试求微分方程的奇解

  解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：

      其中c为任意常数

      再由相应的c-判别式：

                

易求出：  或    

当 时，代入原微分方程成立；

所以 为原微分方程的解

且有；

     满足(Φ^‘_x )²+(Φ^‘_y)²≠0

    易验证不是原微分方程的解

    故x=c,  y=0 是元微分方程的奇解。

方法二：利用p-判别法求奇解

  在微分方程①中，设y′=p,则此方程的p-判别式为：

   ⑤

  消去p之后得到的函数y=(x)是微分方程①身为解，

而且设条件  成立，

则是微分方程①的奇解。

例1：求微分方程的奇解

 解：令，则原微分方程可化为：

     则此微分方程的p-判别式为：

   

     消去p之后得到p-判别式曲线y=0， 易知y=0是原微分方程的解；

     但

      

      故y=0是原微分方程的奇解

方法三：利用c-判别式和p-判别式共同求奇解

若由③式和⑤式分别得到 的公共解，则可能是微分方程①的奇解；值得注意的是，此方法用于当c-判别式和p-判别式均易求出时。

  例：求出微分方程 的奇解

  解：令，则原微分方程可化为：

则其p-判别式为

消去p后得到

又由原微分方程得到其通解为

则其c-判别式为

消去c后得到

经验证不是微分方程的解，是原微分方程的解；

所以是原微分方程的奇解。

方法四：若易求出微分方程的参数解，且参数不易消去时求奇解的方法

       设微分方程①有形如的通解，其中p为参数

       则奇解可由所确定，其中为雅克比行列式，

       且要满足

例：求微分方程的奇解

解：设，则原微分方程可化为

对其两边进行求导，再积分可得：

原微分方程的通解为

即：

这是

所以 

经计算得： 或

当时，，易知

                     

则有

所以是原微分方程的奇解

当时，，易知，，

故有 

所以不是原微分方程的奇解

综上所述，是原微分方程的奇解。

                          

参考文献

[1] 王佩伦，李凤庭，吕延华.常微分方程[M].1版.武汉：武汉大学出版社， 1993：108-110

[2]王高雄，周之铭，朱思铭等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006:103-111

[3]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].1版.北京：高等教育出版社，1991:101-113

[4]曾庆健.一类常微分方程奇解的求法[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2004,3:234-235

[5]王五生，付美玲，侯宗毅.一阶非线性常微分方程奇解的求法[J].高等数学研究，2010,13(4):65-67

致谢信

光阴似箭，岁月如梭，不知不觉我即将走完大学生涯的第四个年头，回想这一路走来的日子，父母的疼爱关心，老师的悉心教诲，朋友的支持帮助一直陪伴着我，让我渐渐长大，也慢慢走向成熟。 

首先，我要衷心感谢一直以来给予我无私帮助和关爱的老师们，特别是我的辅导员XXX老师，指导老师XXX老师，专业课XXX老师、XXX老师、XXX老师，谢谢你们这四年以来对我的关心和照顾，从你们身上，我学会了如何学习，如何工作，如何做人。 

其次，我还要真诚地谢谢我的室友和同学，在这四年当中，你们给予了我很多帮助，在我的学习工作生活各个方面，你们给我提出了很多宝贵的建议，我的成长同样离不开你们。同窗的友情同样难忘，芙蓉湖畔、南强灯下，我们一同嬉笑过、拼搏过，这一路与你们同行真好!感谢我所有朋友对我的包容、体谅，谢谢大家 

最后，我要感谢我的父母及家人，没有人比你们更爱我，你们对我的关爱让我深深感受到了生活的美好，谢谢你们一直以来给予我的理解、鼓励和支持，你们是我不断取得进步的永恒动力。

    也许永远没有那一天，前程如朝霞般绚烂；也许永远没有那一天，成功如灯火般辉煌；也许只能是这样,攀援却达不到顶峰，也许一路走来，只为今天在我毕业论文的最后, 对所有关心帮助我的人说一声：谢谢……