常微分方程

第八章   常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程  贝努利（Ber-noulli）方程 全微分方程 可用简单变量代换求解的微分方程 可降阶的高微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二姐常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 Euler方程 微分方程的简单应用

考试要求

1.  了解微分方程及其阶，解，通解，初始条件及特解等概念。

2.  掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。

3.  会解Ber-noulli方程和全微分方程（数二，三不要求），会用简单的变量代换解某些微分方程。

4.  会用降阶法解下列微分方程：

5.  理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6.  掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会街某限额高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.  会解自由项多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非其次线性微分方程。

8.  会解Euler方程（数二，三不要求）。

9.  会用微分方程解决一些简单的应用问题。

重点内容和长常见题型

1.  求五类典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接而属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x与y对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型;

2.  求解可降阶方程；

3.  求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解；

4.  根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解；通常是引用物理，力学的定律，几何知识等，运用数学的工具建立微分方程与相应的定解条件（重要）。

5.  综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。

8,1  一阶微分方程的类型与解法

一．基本内容

一阶微分方程的一般形式为其中为（x，y）的已知函数，可以缺x或缺y，或者两者都缺。为x，y，的已知函数，x或y或（x，y）可缺，但必须含有。

  微分方程的求解：认清类型，按类型求解、一阶微分方程最基本的类型,特征及其解法总结如下:

评注：①在微分方程中不定积分等只表示一个固定的原函数，积分常熟总是另外标出，这是与不定积分不同的习惯。

②在分离变量方程中，使g（y）=0的点为原方程的特解，在求解过程中不可丢弃。

③对一阶线性微分方程，积分因子法避免了常数变易法的麻烦，又避免记错一阶线性方程解解的公式，希望考生掌握。

  

通过简单变量代换化为三种基本类型的方程主要有（列表如下）

评注：关于齐次方程的判定采用如下方法较为简便：用tx和ty（t0）代替方程x和y，经过化简方程的形式不变，则方程应判为齐次微分方程。

二．解题方法，技巧与例题分析

例8,1,1（1994，Ⅲ）填空题：微分方程的通解为（       ）。

解：方程为可分离变量方程，变形为，两端积分得通解为

注：一般来说，当y=0时，不能用y来除，所以y-=0是方程的特解，这是在方程求解中应予注意，不过在这里只要允许C=0，特解y=0依然包含在通解之中。》

例8,1,2（1998,1，II）填空题：已知函数y=f（x）在任意点x处的增量，且当0时，的高阶无穷小，y（0）=，则y（1）等于（    ）。

解：由微分的定义可知：，这是一个可分离变量方程，注意到y（0）=，解得y（x）=，因此y（1）=。

例8.1.3（2002，II）已知函数f（x）在（0,）内可导，f（x）>0. .且满足 。求f（x）。

解：因为所以解之得f（x）=C。再由，可得C=1，因此f（x）=。

例8,1,2（2004，II）函数f（x）在上可导，f（0）=1，且满足等式。

（1）  求导数.

（2）  证明：当x 时，成立不等式：。

解：（1）由题设知。上式两端关于x求导。得。于是，解上述方程可得：。

再由f（0）=1和题中等式可得，因此。

（3）  由，可得。注意到。当。故知。

例8,1,5（1992,1，II）填空题：微分方程的通解为y=（     ）

、解：方程为一阶线性方程，用乘以方程两端，得两端积分得.

例8,1,6（1991，Ⅲ）求微分方程的特解。

解:原方程可改写为，因此对方程两端从1到x积分得，故。

  注：一般的，对求特解问题，先求通解，然后利用定律条件确定通解中的积分常数，但是，在实际计算中，如果直接作定积分，可避免确定定积分常数，直接得到特解。

例8,1,7（1999，Ⅲ）设微分方程试求在（）内连续函数y=y（x），使之在内满足方程，且满足条件y（0）=0.

分析：所给方程为一阶线性非齐次方程。非齐次项为分段函数，故应分段求解。因y（0）=0.应先在上求解，再注意到y（x）在（）上连续，即，即可得到在上的解。

解：当时，有因此由y（0）=0可得，因此y（x）在（）上连续，所以=。

又当x>1时，有,故在[1,x]上积分可得，故得在（）的连续函数

例：8,1,8（1996，Ⅲ）设f（x）为连续函数，

（1）  求初值问题的解y（x），其中a是正常数；

（2）  若（k为常数），证明当。

解：（1）在方程两端同乘，得，故得

（2）。

例8,1,9（1993,1，II）求微分方程满足初始条件y（1）=1的特解。

分析：首先注意到所给的方程为齐次方程，故可按齐次方程的解法求解。又若将方程改写为，可见方程也是Bernoulli方程，因此也可按Bernoulli方程的解法求解。

解①：因方程为齐次方程，令y=xu，方程化为分离变量后，积分得再利用y（1）=1得C=-1，故。

解②因方程为Bernoulli方程，令，解得。再利用y（1）=1得C=，故得

解③：原方程可改写为。令u=xy，则，解得。因此。利用，故得。

评注：本题的关键是判别方程的类型，解法③是针对方程的具体特点给出的特殊解法。

例8,1,10（1997，II）求微分方程的通解。

分析：可以判断此方程既是齐次方程，又是全微分方程，故他有若下几种基本解法。

解①：因方程为齐次方程，令y=xu，方程化为。解得，即

解②：因方程为全微分方程，可采用特殊路径积分法。取（0,0）为起点，（x，y）为终点，可得其通解为。

解③：用凑微分方法求解如下：，所以，方程的通解为。

解④：用不点积分求解如下：设其通解为u(x,y)=C,则由第一式关于x积分得，代入第二个式子，得，由此可得因此原方程的通解为。

评注：对于全微分方程，一般由上述三种解法，通常凑微分法比较简便。

例8，1,11（1994,1，II）设f（x）具有二阶连续导数，f（0）=0，且。为一全微分方程，求f（x）及此微分方程的通解。

解：由全微分方程的充要条件知。

由f（0）=0.，可得。

于是原方程为，其通解为。

例8,1,12（1998，II）设函数f（x）在连续，若由曲线y=f（x），直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为。试求y=f（x）所满足的微分方程，并求该方程满足条件的解。

解：依题意得，即。两边对t求导得。此方程是Bernoulli方程，也是齐次微分方程。这里采用特殊解法：将方程化为。注意到f（2）=，两端关于x从2到x积分可得。

例8,1,13（2009，Ⅲ）设f（x）是可数函数，且f（x）>0,已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t>1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体的体积是曲边梯行面积值的倍，求曲线方程。

解：由题设可知，两边关于t求导两次可得。记y=f（t），则（2y-t），即，于是两边关于y在上积分可得。

例8,1,12（2001，II）一个半球体的雪堆，其体积融化的速度与半球面面积S成正比，比例系数为K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少时间？

解：设雪堆在时刻t的体积V=，侧面积，由题设知

，于是

积分得r=-Kt+C,又即 ，这样K=,从而r=C-t 。因雪堆全部融化时r=0，故得t=6，即雪堆全部融化需六小时。

  例8.1.15（1998，I,II）从船上向海中沉放探测仪器，安探测要求，需确定仪器的下沉速度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力与浮力的作用，设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k）0）。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y（v）。

   解：取沉放点为坐标原点o，oy轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 ，将 代入消去t，得v与y之间的微分方程。         分离变量，积分得。由初始条件=0定出常数C，可得所求函数关系式为 。

  例;8.1.16(2000,II)某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，已知1999年底湖中A的含水量为5，超过国家固定指标。为了治理污染，从20##年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过，问至少需经过多少年，湖泊中污染物A的含量可降至以内？（设湖水中A的浓度时均匀的）

    解：设从20##年初（令此时t=0）开始，第t年湖泊中污染物A的总量为m，浓度为，则在时间段【t，t+dt】内，排入湖泊中A的量为，流出湖泊的水中A的量为，因而在此时间段内湖泊中污染物A的改变量为。注意到，可得，令，得t=6ln3，即至少经过6ln3 年，湖泊中污染物A的含量降至以内。

 

      8.2 可降阶的高阶微分方程及其解法

一．基本内容

可降阶的微分方程主要有三种，其特征和解法总结如下：

二．解题方法,技巧与例题分析

 例 8.2.1(2007,II) 求微分方程满足初始条件y（1）=（1）=1的特解。

  解：令，则，于是，注意到x=1时p=1，所以，因此 

 例8.2.2（1991，I，II）在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P（x，y）处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数（Q是法线与x轴的交点），且曲线在点（1,1）处的切线与x轴平行。

  解：曲线y=y（x）在P（x，y）处的法线方程是  （）。它与x轴的交点是（x +y，0），从而P点到x轴的法线段PQ的长度是 ，=0也满足上式。根据题意得微分方程，即，且当x=1时，y=1，=0.令=p，则，代入方程，得， 或    。

两端积分并注意到y=1时，p=0，即得，于是有  或 ，积分上式，并注意到x=1时，y=1得，因此，所求的曲线方程为，即。

注：将代回原方程可得，从而 再由y（1）=1，可得 。

 例 8.2.3（2002，I,II）填空题：微分方程满足条件的特解是（      ）

解：原方程可化为，两端关于x从0到x积分得 即  两端再对x从0到x积分得

  评注：此题属于类型（3）的可降介微分方程，但按一般解法比较复杂，根据方程的特殊结构给出的上述解法比较简单。

例8.2.4（1996，I,II）设对任意 x.>0 ,曲线 y=f（x）上点（x，f（x））处的切线在y轴上的截距等于．求f（x）的一般表达式。

解：曲线y=f（x）上点（x，f（x））处的切线方程为.  令X=0，得截距。由题意知 ，即 。上式对x求导，化简得 ，积分得 ，因此  .

 例：8.2.5（1999，I,II）设函数y（x）（x》0）二阶可导且， y（0）=1，过曲线y=y（x）上任意一点P（x，y）作该曲线的切线即x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积即为，区间【0.x】上以y=y（x）为曲边的曲边梯形面积记为，并设，求此曲线的y=y（x）的方程。

解：

 曲线y=y（x）上点（x，y）处的切线方程为  。它与x轴的交点为，由于， y（0）=1，从而y（x）>0,于是 又,故 两边对x求导并简化得  ,则上述方程可化为 解之得  于是 。注意到y（0）=1, ,可得。

例：8.2.6（1993.I,II）设物体A从（0,1）出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点（-1,0）与A同时出发，其速度大小为2v方向始终指向A，势建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件。

解： 轨迹如图所示。设在时刻t，B位于点（x，y）处，则，两边对x求导得 。由于，， 所以，要求的微分方程为 ，其初始条件为。

 注：由方程和初始条件可以得到物体B的运动轨迹方程，作为习题。

             8.3 线性微分方程解的结构

一．基本内容

  这里只限于讨论二阶线性方程，其结论可推广到高阶的线性方程，二阶线性方程的一般形式为          （1）

当f（x）=0时，有

                    （2）

称之为与（1）对应的二阶线性齐次方程，同时称（1）为二阶线性非齐次方程。

  1.如果是齐次方程（2）的特解，则其线性组合

                     （，是任意常数）

   仍是方程（2）的解，特别地，当和线性无关时，

                    （，是任意常数）

是方程（2）的通解。

2.如果 ，是非齐次方程（1）的两个解，则-是齐次方程（2）的解。

3.设是非齐次方程（1）的一个特解，Y是齐次方程（2）的通解，则y=Y+是非齐次方程（1）的通解

4.设方程（1）中，，而y分别是方程

     与

的特解，则就是方程

的特解。

  注：结论2,3和4对一阶线性微分方程也成立。

   对于二阶常系数齐次线性方程

                     （p，q为常数）              （3）

称代数方程

                   

为方程（3）的特征方程，特征方程的解称为方程（3）的特征根。由特征根可得方程（3）通解的结构如下表：

 注：对高阶线性常系数齐次微分方程有类似的通解结构。

二.解题方法，技巧与例题分析

 例 8.3.1（1995，III）设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解。

  解：以代入原方程，得，解出，将p（x）代入原方程得。

由于是方程的一个特解，所以只需解其对齐次方程的解。将齐次方程分离变量，并积分得

                   ，

即齐次方程的通解为，所以，原方程的通解为

                      

把代入，得，故所求特解为

                         。

 例 8,3,2（1989，I,II）选择题：设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是【】

     （A）                     (B)

      (C )            (D) 

分析：根据线性方程解的结构定理知，对本题中的二阶线性方程，非齐次方程的通解为,其中和是对应的齐次方程的两个线性无关的特解，是非齐次方程的特解，又由于非齐次方程两个解之差事齐次方程的一个解，由此很快求出和。

 解：由题设-和-是对应齐次方程的两个解，且-与-线性无关。事实上，若令

                  ，

则    

由线性无关，则必有==0，因此-与-线性无关。从而

 y=

 是原方程的通解。故应选（D）。

例 8.3.3 （1997，II）已知，，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

 解①：由线性微分方程解的结构定理知-=，为相应齐次微分方程的特解。因此，相应齐次方程有两个线性无关解与，是线性非齐次方程的一个特解，故是所求非齐次方程的童鞋，从而有

      ，，

消去，，得所求方程为。

  解②：由线性微分方程解的结构定理知与是相应齐次方程的两个无关解，是线性非齐次方程的一个特解，故可设此方程为。

将代入，得。因此所求方程为。

例 8.3.4（2000，II）选择题：具有特解的三阶常系数线性微分方程是【】

 （A）     （B）

  (C )    ( D)    

解：甴题设知r=-1,-1,1 为所求齐次线性微分方程对应特征方程的三个根，而，故应选（B）.

  评注：此题的另一种解法是，由条件知所求方程的通解为，然后通过消去 ，， 得所求方程。

 例： 8.3.5（2001，I）   填空题：设（，为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为（）

 解：由题设可知方程特征根为，则其特征方程为，故所求方程为。

  评注：此题可先求出，，然后消去和得出方程。

           8.4高阶微分方程的解法

 一．基本内容

  1.二阶常系数线性微分方程的解法

   二阶常系数微分方程

                    ，   （p，q为常数）

当f（x）=0时，其解可由特征方程的根和解的结构定理直接得到。

当f（x）0时，其解法为：，其中为对应齐次方程通解，为非齐次方程的一个特解。对某些特殊的非齐次项f（x），特解可用待定系数法求出，它的形式如下：

                                                                    

 其中表示x的m次多项式。

 评注：由韦达公式可知特征方程的根和满足+=-q  ，  =q。因此方程 可以改写为，即 。若令u（x）=，则二阶常系数非齐次方程可化为方程组，，，进行求解。

2.Euler方程的解法

  形如           ，（x）0）

的方程称为Euler方程，它的解法是做变换或，即将自变量换位t，则有

                                 

                       

           

…  …  …

将这些关系式代入Euler方程，就换为n阶常系数线性方程，从而可利用n阶常系数线性方程的结构得到它的解。

二．解题方法，技巧与例题分析

例 8.4.1（1993，III）设二阶常系数线性微分方程

的一个特解为。试确定常数，并求该方程的通解。

解：由题设知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为（r-1）（r-2）=0，即，故知， 

  为确定，只需将特解代入方程，得，由此可知，从而原方程的通解为.

 评注：本题也可将特解代入原方程，比较方程两端同类项的系数求出

 例 8.4.2（1987，I）求微分方程的通解。

解：该方程对应的七次方程的特征方程为，其根为，则齐次方程的通解为

           时；

           时。

由于r=0为特征方程的单根，则可设非齐次方程的特解为

，

代入原方程得   

故原方程的特解为

，  时；

             ，  a=0时

注：此题可令u=变为二阶线性常系数方程进行求解。

  例 8.4.3（1998，I）设函数y=f（x）满足微分方程，且其图形在点（0,1）处的切线与曲线在该点的切线重合，求函数f（x）。

  解①：本题所给方程对应的齐次方程的特征方程为

                  =0，

其根为，

则齐次方程的通解为  ，

由于r=1为特征方程的单根，则可设非齐次方程的特解为

                            

  代入原方程    A=-2 ，

  故原方程的通解为

                 。

     由题设曲线 与在点（0,1）处的切线重合可知，y（0）=1，  ，则有

                   1=+          ，   -1= +2-2，

解之得=1，，故所求的解为

                    。

解②：令，则得

                        

解得                  ，

 因此

                      ，

解得                  

      以下过程同解法①。

例：8.4.4（1991，III）求微分方程 的通解。

  解：由于方程的特征方程，特征根为，故知原方程对应的齐次方程的通解为                     

设非齐次方程的特解为=Ax+B，代入方程得A=1，B=0，所以=x。

设非齐次方程的特解为，代入方程得E=0，D=,所以

因此原方程的通解为

例 8.4.5（1998 ，II）利用代换将方程

                          化简，并求出原方程的通解。

解：由 u=ycosx 两端对x求导，得

             ，    。

  于是  原方程化为 ，

其 通解为      。

从而原方程的通解 为

   。

例 8.4.6 （2003，I,II）设函数y=y（x）在（）内具有二阶导数，且，x=x（y）是

y=y（x）的反函数。

    （1）试讲x=x（y）所满足的微分方程变换为y=y（x）满足的微分方程；

     （2）将变换后的微分方程满足初始条件 y（0）=0，的解

 解：（1）由反函数导数公式可知

                          ，

代入原方程得  

                                     （*）

设方程(*)的特解为y*=A+B，代入方程(*)求得A=0，B=-，故y*=-，从而的通解是

              y(x)=C₁e^x+C₂e^-x-

由y(0)=0，,得C₁=1，C₂=-1，故所求初值问题的解为

                         y(x)=e^x-e^-x-

                  补  充  习  题

1．填空题：

⑴（2005，III，IV）微分方程满足初始条件y⑴=2的特解为＿

⑵（2005，I，II）微分方程满足初始条件的特解为＿

⑶（1996，III）微分方程的通解为＿

⑷（1995，III）微分方程的通解为＿

⑸（1996，I，II）微分方程e^x通解为＿

⑹（1999，I，II）e^2x的通解为＿

⑺（2004，I）欧拉方程的通解为＿

⑻（2007，I，II）二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为＿

⑼（2007，III，IV）微分方程满足的特解为＿

⑽（2000，I）微分方程的通解为＿

⑾（2009，I）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为y=＿

⑿（2011，I，II）微分方程满足条件的解为y=＿

⒀（2012，II）微分方程满足条件的解为＿

2．选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

(1)（2013,II）已知是微分方程的解，则的表达式为

（A）      （B）      （C）      （D）              【　】

(2)（2011，II）微分方程的特解形式为

（A）     （B）

（C）x     （D）                          【　】

3．（1992，III）求微分方程的通解

4．（1991，IV）求微分方程满足条件的特解

5．（1993，III）求微分方程满足初始条件的特解

6.（1999，II）求初值问题  的解

7.（1996，IV）求微分方程的通解

8.（1990，II）求微分方程满足条件的特解

9.（2003，III）设，其中函数在内满足以下条件：

　　　

（1）求F（x）所满足的一阶微分方程；

（2）求出F（x）的表达式。

10.（1998，II）设是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（x，y）的曲率为，又此曲线上点（0,1）处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y（x）的极值

11.

12.（1）（1996，III）求微分方程的通解

  （2）（2000，III）求微分方程满足条件，的特解

13.（1）（1990，I）求微分方程的通解

   （2）（1996，I，II）求微分方程的通解

   （3）（1996，III）求微分方程的通解

   （4）（1994，III）求微分方程的通解，其中常数a>0

14.（1994，IV）设函数满足条件

　　　　　　　　　　　　　

求广义积分

15.（2005，II）用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解

16.（1995，I，II）设曲线L位于第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴相交，交点记为A.已知，且过点，求L的方程

17.（2003，IV）设y=f（x）是第一象限内连接点A（0,1），B（1,0）的一段连续曲线，M（x，y）为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点.若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f（x）的表达式

18.（1995，III）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度.已知阻力与速度成正比（比例系数为1），问t为多少时质点的速度为？并求此时刻该质点所经过的路程

19.（1997，I）在某一个人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x（t）（将x（t）视为可微变量），其变化律与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数k>0，求x（t）

20.（1997，II）设函数f（x）在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内大于零，并且满足方程（a为常数），又曲线y=f（x）与x=1，y=0所围的图形S的面积为2，求函数y=f（x），并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小

21.（1997，II）设曲线L的极坐标方程为，为L上任一点，为L上一定点，若极径与曲线所围成的曲边扇形面积等于L上两点间弧长值的一半，求曲线L的方程

22.（1993，IV）假设

   （1）函数满足条件

   （2）平行于y轴的动直线MN与曲线y=f（x）和分别交于

   （3）曲线y=f（x），直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段的长度，求函数y=f（x）的表达式

23.（2002，II）求微分方程的一个解y=y（x），使得由曲线y=y（x）与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴的旋转体体积最小

24.（2001，II）设L是一条平面曲线，其上任意一点P（x，y）（x>0）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点

（1）试求曲线L的方程；

（2）求位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标所围图形的面积最小

25.（2003，II）设位于第一象限的曲线y=f（x）过点，其上任一点P（x，y）处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分

   （1）求曲线y=f（x）的方程

   （2）已知曲线上的弧长为，试用表示曲线的弧长s

26.（2007，IV）设函数f（x）具有连续的一阶导数，且满足，求f（x）的表达式

27.（2012，I，II，III）已知f（x）满足方程

   （1）求f（x）的表达式

   （2）求曲线的拐点

　　　　　　　　补充习题答案

1.（1）  （2）  （3）  （4）  （5）  （6）  （7）  （8）  （9）  （10）  （11）  （12）  （13）

2.（1）A  （2）C  （3）

27.