20##-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB卷答案
理学 院 年级 信息与计算科学 专业
填空题（每题4分，共20分）
1. 形如
（
连续）的方程是 一阶线性微分
方程，它的通解为
.
2. 形如
的方程是 3 阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为
.
3. 形如
的方程为 欧拉方程, 可通过变换
把它转化成常系数方程.
4. 
满足初始条件：
=0, 
=1的特解
5．5.微分方程
的解存在且唯一的条件是:
在R上连续且满足利普希茨条件
一、下列微分方程的解（每题5分，共30分）
1．
=
解：令x+y=u,则=
-1 ……………………….3
-1=
u-arctgu=x+c
y-arctg(x+y)=c. ……………………….5
2．
解：两边同乘以
得：
……………………….3
故方程的通解为：
……………………….5
3．
解：令
，则
，
两边对x求导，得
， ……………………….3
解之得 
，
所以
， ……………………….4
且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. ……………………….5
4. 
解：特征方程
有三重根
，
，
……………………….3
故通解为
……………………….5
5. 
解：特征方程
有根
0,
齐线性方程的通解为x=
……………………….3
又因为
0是特征根，故可以取特解行如
代入原方程解得A=
，B=
……………………….4
故通解为x=
……………………….5
6. 
解: 原方程可化为 
………………………1
分离变量可得 
…………………………………………………..3 两边积分可得
…………………………………………………..4 将初值代入上式求得方程的解: 
……………………….5
二、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）
1．求一曲线，使其任一点的切线在
轴上的截距等于该切线的斜率.
解： 设
为所求曲线上的任一点，则在
点的切线
在
轴上的截距为：
……………………….3
由题意得 
即 
也即 
两边同除以
，得 
………………….5
即 
……………………….7
即 
……………………….10
为方程的解。
2. 
满足初值条件
解:
方程组的特征值
, ……………………….2
对应特征值
的特征向量
应满足
对任意常数
, 
, 取
, 得
……………………….4
对应特征值
的特征向量
应满足
对任意常数
, 
, 取
, 得
……………………….6
所以基解矩阵为: 
……………………….8
=
………….10
3.求方程 
通过点
的第二次近似解.
解: 令
，于是
…………………….5
…………….10
五、应用题（10分）
33. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至
米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。
解：
，又
，由此
即 
………………….5
其中
，解之得
又
时，
；
时，
。
故得 
，
从而方程可化为 
………………….7
当
时，有 
米/秒 ……………….8
即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。 ………………….10
六、证明题 （10分）
1、试证: 非齐次线性微分方程组的叠加原理:
即: 设
分别是方程组
的解，则
是方程组
的解.
证明： （1）
（2）
分别将
代入（1）和（2）
则 
………………….5
则
令
即证 ………………….10
20##-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 B卷答案
理学 院 年级 信息与计算科学 专业
一、填空题（每题4分，共20分）
1. 
是恰当方程的充要条件是
；
其通解可用曲线积分表示为 
.
2．方程
叫 克莱罗 方程，其通解是
，其奇解是 
.
3. 形如
的方程是 2 阶 非齐次(“齐次”还是”非齐次”)_常系数的微分方程,它的特征方程的特征根为 
.
4. 若 
是同一线性方程 
的基解方阵，则它们间有关系
.
5．5.微分方程的解存在且唯一的条件是:
在R上连续且满足利普希茨条件
二、下列微分方程的解（每题5分，共30分）
1. 
解： 令
…………….1
则：
即
得到
故
即
…………………….4
另外
也是方程的解。 . …………………….5
2. =
解： y=
(
) …………………….3
=
[-
e
(
)+c]
=c e
- ()是原方程的解。 …………………….5
3．
。
设
…………………….3
…………………….4
，
解为 
…………………….5
4. 
解：特征方程
有复数根
,
……….3
故通解为
…………………….5
5.
解: 原方程可化为 
故
…………………….5
6. 
解：特征方程
有根-2,
-4
…………………….1
故齐线性方程的通解为x=
…………………….3
-2是特征方程的根，故
代入原方程解得A=
……………….4
故通解为x=
……………….5
三、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）
1.
解：特征方程
有2重根-a………………..2
当a=-1时，齐线性方程的通解为s=
,
1是特征方程的2重根，故
代入原方程解得A=
通解为s=
,……………………………………..6
当a
-1时，齐线性方程的通解为s=
,
1不是特征方程的根，故
代入原方程解得A=
故通解为s=+
…………………………..10
2. 
求其基解矩阵.
解: det（
E－A）=0得
＝
，
＝－ ……………….3
对应于的特征向量为u＝
， （ 
0 ）
对应于的特征向量为v＝
， （ 
） ……………….5
∴u＝
，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量
Ф(t)=
是一个基解矩阵 ……………….10
3. 求方程 
通过点
的第二次近似解.
解: 令，于是
……………….5
…………….10
五、应用题（10分）
1．求一曲线，过点(1,1), 其任一点的切线在轴上的截距等于
.
解： 设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：
……………………….3
由题意得 
两边同除以，得 
………………………….5
即 
……………………….7
即 
………………….……….8
将
代入上式得
。………………………………………….10
六、证明题 （10分）
1、 试证：如果
是
=Ax满足初始条件
＝
的解，那么
＝[expA(t-t
)]
证明：由于＝Ф(t)Ф-1(t0)＋Ф(t)
……………………….5
又因为Ф(t)= expAt , Ф-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,
又因为矩阵 （At）·（- At0）=（- At0）·（At） ……………………….7
所以 ＝[expA(t-t)] ……………………….10
第二篇：常微分方程参考试卷及答案
常微分方程参考试卷及答案
一、填空（30分）
1、
称为齐次方程，
称为黎卡提方程。
2、如果
在
上连续且关于
满足利普希兹条件，则方程
存在唯一的解
，定义于区间
上，连续且满足初始条件
，其中
，
。
3、若
1，2，……，
是齐线性方程的
个解，
为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程
。
4、对逼卡逼近序列，
。
5、若
和
都是
的基解矩阵，则和具有关系
。
6、方程
有只含
的积分因子的充要条件是
。有只含的积分因子的充要条件是
。
7、方程
经过
点的解在存在区间是
。
二、计算（60分）
1、 求解方程
。
解：所给微分方程可写成
即有 
上式两边同除以
，得 
由此可得方程的通解为 
即 
2、 求解方程
解：所给方程是关于可解的，两边对求导，有
（1） 当
时，由所给微分方程得
；
（2） 当
时，得
。
因此，所给微分方程的通解为
， （
为参数）
而
是奇解。
3、 求解方程
解：特征方程
，
，
故有基本解组
，
，
对于方程
，因为
不是特征根，故有形如
的特解，
将其代入
，得
，解之得
，
对于方程
，因为
不是特征根，故有形如
的特解，
将其代入，得
，所以原方程的通解为
4、 试求方程组
的一个基解矩阵，并计算
，其中
解：
，
，
，均为单根，
设
对应的特征向量为
，则由
，得
,
取
，同理可得对应的特征向量为
，
则
，
，均为方程组的解，令
，
又
，
所以即为所求基解矩阵
。
5、 求解方程组
的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。
解：令
，得
，即奇点为（2，-3）
令
，代入原方程组得
，
因为
，又由
，
解得
，
为两个相异的实根，
所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。
6、 求方程
经过（0，0）的第二次近似解。
解：
，
，
。
三、证明（10分）
假设
不是矩阵
的特征值，试证非齐线性方程组
有一解形如
其中
，是常数向量。
证：设方程有形如的解，则是可以确定出来的。
事实上，将
代入方程得
，
因为
，所以
，
（1）
又不是矩阵的特征值，
所以
存在，于是由（1）得
存在。
故方程有一解