一阶常微分方程习题（一）

1．=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：=2xdx   两边积分有：ln|y|=x+c

y=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1

特解为y= e.

2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

 解：ydx=-(x+1)dy    dy=-dx

两边积分: -=-ln|x+1|+ln|c|   y=

另外y=0,x=-1也是原方程的解    x=0,y=1时 c=e

特解：y=

3．=

   解：原方程为：=

dy=dx

两边积分：x(1+x)(1+y)=cx

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

  解：原方程为： dy=-dx

两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x）dy+(x-y)dx=0

  解：原方程为：

     

=-

令=u  则=u+x 代入有：

-du=dx

ln(u+1)x=c-2arctgu

即 ln(y+x)=c-2arctg.

6. x-y+=0

  解：原方程为： =+-

则令=u   =u+ x

 du=sgnx dx

arcsin=sgnx ln|x|+c

7. tgydx-ctgxdy=0

  解:原方程为：=

两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|

siny==  另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.

所以原方程的通解为sinycosx=c.

8 +=0

  解：原方程为：=e

2 e-3e=c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0

  解：原方程为：=ln

令=u ,则=u+ x

u+ x=ulnu

ln(lnu-1)=-ln|cx|

1+ln=cy.

10. =e

  解：原方程为：=ee

e=ce

11 =(x+y)

   解：令x+y=u,则=-1

-1=u

du=dx

arctgu=x+c

arctg(x+y)=x+c

12. =

解：令x+y=u,则=-1

    -1=

  u-arctgu=x+c

  y-arctg(x+y)=c.

13. =

解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx

    xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0

    dxy-d(y-y)-dx+x=c

    xy-y+y-x-x=c

14: =

解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx

    xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0

    dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0

    y+4y+x+10x-2xy=c.

15: =(x+1) +(4y+1) +8xy

   解：原方程为：=（x+4y）+3

令x+4y=u 则=-

-=u+3

=4 u+13

u=tg(6x+c)-1

tg(6x+c)=(x+4y+1).

16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：

1）  y(1+xy)dx=xdy

2）  =

   证明： 令xy=u,则x+y=

          则=-，有：

          =f(u)+1

          du=dx

        所以原方程可化为变量分离方程。

1）  令xy=u  则=-      (1)

原方程可化为：=[1+（xy）]    (2)

将1代入2式有：-=(1+u)

u=+cx

17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y

    则与x轴，y轴交点分别为：

    x= x -     y= y - x y’

    则    x=2 x = x -     所以 xy=c

18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 = 。

解：由题意得：y’=     dy= dx

    ln|y|=ln|xc|    y=cx.

  =      则y=tgx    所以 c=1   y=x.

19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。

   证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx

         则：y=kx +c 即为所求。

                                               

第二篇：《常微分方程》答案 习题4.1

                           习题4.1

                

1.       设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。

证明：假设在，在区间上线形相关

则存在不全为零的常数，，使得

那么不妨设不为零，则有

显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关

2.       证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程

                   （1）

                   （2）

的解，则+是方程   +的解。

证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解

则：             （3）

                （4）

那么由（3）+（4）得：

+

即+是方程是+的解。

3.       试验证0的基本解组为，并求方程的通解。

 证明：由题将代入方程0得：-=0,即是该方程的解，

同理求得也是该方程的解

又显然线形无关，故是0的基本解组。                 由题可设所求通解为：，则有：

解之得：

故所求通解为：

4.       试验证0有基本解组t，，并求方程

t-1的通解。

解：由题将t代入方程0得：

     ，即t为该方程的解

     同理也是该方程的解，又显然t，线形无关，

     故t，是方程0的基本解组

由题可设所求通解为，则有：

解之得：

故所求通解为

5.       以知方程0的基本解组为，求此方程适合初始条件的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。

 解：时间方程0的基本解组，故存在常数使得： 

于是：

令t=0,则有方程适合初始条件，于是有：

解得：   故

又该方程适合初始条件，于是：

解得：   故

显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：

，  

而此方程同时满足初始条件，于是：

解得：

故满足要求的解。

6.       设是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为，试证明满足一阶线形方程，因而有：

                       

 解：

又满足

即

则：

即       则有：

即：    

7.       假设是二阶齐线形方程（*）的解，这里 

在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：,其中为常数,

　证：（１）

（２）因为为方程的解，则由刘维尔公式

     

       两边都乘以则有：，于是：

     

     

从而方程的通解可表示为：,其中为常数,。

8.       试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。

 证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则：  （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。

    事实上：假设存在常数，使得：

   

（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！

从而有

又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，

故有：

    即（1）是线形无关的。