一阶常微分方程初等解法
摘 要: 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.
关键词: 一阶常微分方程;变量变换;恰当微分方程;积分因子
First-order Differential Equation With The Pirmary
Method For Nalysis
Abstract: Based on the first-order differential equations of the elementary solution of the induction and conclusion, and the separation of variables, integrating factor, equations, etc. summary analysis of various elementary solution, combined with examples the problem of solving ordinary differential equations into integral on the problem solving.
Key Words: First-order differential equation;cain declined equations;variable transformation;appropriate differential equation; integrating factor
1.预备知识
1. 1 变量分离方程
形如
dy?f(x)?(y) (1) dx
的方程，称为变量分离方程，f(x)，?(y)分别是x，y的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．
如果?(y)?0，我们可将(1)改写成
了.两边积分，得到
dy??(y)??f(x)dx?c， dy?f(x)dx，这样变量就分离开来?(y)
c为任意常数．由该式所确定的函数关系式y?y(x,c)就是常微分方程(1)的解． - 1 -
1. 2 积分因子
恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念．
如果存在连续可微函数????x,y??0，使得
??x,y?M?x,y?dx???x,y?N?x,y?dy?0
为一恰当微分方程，即存在函数u，使
?Mdx??Ndy?du，
则称??x,y?为方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0的积分因子．
函数??x,y?为M?x,y?dx?N?x,y?dy?0积分因子的充要条件是
?(?M)?(?N)?， ?y?x
即
N?????M?N?M?(?)?． ?x?y?y?x
???0，则?为原方程的积?x假设原方程存在只与x有关的积分因子????x?，则
(?M?N?)???M?N?y?x?(?)?，即??x??分因子的充要条件是仅是关于x的函N?x?y?x
数．此时可求得原方程的一个积分因子为??e?
(??x?dx．同样有只与y有关的积分?M?N?)?y?x因子的充要条件是??y??是仅为y的函数，此时可求得方程(11)的一?M
个积分因子为??e???y?dy
1. 3恰当微分方程
考虑微分形式的一阶微分方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0(11)，如果该式的左端恰好是某个二元函数u?x,y?的全微分，即
- 2 -
M?x,y?dx?N?x,y?dy?du?x,y???u?udx?dy ?x?y
则称(11)为恰当微分方程．
对于一阶微分方程
M?x,y?dx?N?x,y?dy?0， 若有?M?N，则该方程必为恰当微分方程．我们接着讨论如何求得该恰当微??y?x
?u?M?x,y?看作只关于自变量x的函数，对它积分可?x分方程的解．我们可以把
得u??M?x,y?dx???y?，由此式可得
d??y??u?， ??M?x,y?dx??x?xdy
又因为有?u?N?x,y?，故 ?x
d??y???N??M?x,y?dx， dy?x
对该式积分可得
??y????N??
???Mx,ydxdy， ????x??
将该式代入，得恰当微分方程的通解为
???Mx,ydx?N?Mx,ydxdy?c． ??????????x??
2.基本方法
2. 1一般变量分离
形如
dy?f(x)?(y) (1) dx
的方程，称为变量分离方程，f(x)，?(y)分别是x，y的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．
- 3 -
如果?(y)?0，我们可将(1)改写成
两边积分，得到 dy?f(x)dx，这样变量就分离开来了.?(y)
dy??(y)??f(x)dx?c，
c为任意常数．由该式所确定的函数关系式y?y(x,c)就是常微分方程(1)的解．
2. 2齐次微分方程
2. 2. 1齐次微分方程类型一
一阶线性微分方程
dy?P?x?y?Q?x?, dx
其中P?x?,Q?x?在考虑的区间上是x的连续函数,若Q?x??0,变为
dy?P?x?y, dx
称为一阶齐次线性微分方程,若Q?x??0,称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为
y?ce?P?x?dx,
这里c是任意常数.
2.2.2齐次微分方程类型二
有些方程本不是可分离变量微分方程的类型，但经过变量变换可化为分离变量的微分方程．可分为三种情况来讨论:
?1?c1?c2?0的情形
这时，有
y
dya1x?b1yx?g?y? ????ydxa2x?b2y?x?a2?b2xa1?b1
因此,只要作变换u?y,则方程就转化为变量分离方程. x
- 4 -
?2?a1b1?k的情形. ?a2b2
这时方程可写为
dyk?a2x?b2y??c1??f?a2x?b2y?. dxa2x?b2y?c2
令a2x?b2y?u,则方程化为
du?a2?b2f?u?. dx
这是变量分离方程.
?3?a1b1?及c1,c2不全为零的情形 a2b2
因为方程右端分子,分母都是x,y的一次多项式,因此
?a1x?b1y?c1?0, ?ax?by?c?0.22?2
代表Oxy平面上两条相交的直线,设交点为??,??,若令
?X?x??, ??Y?y??,
则化为
?a1x?b1y?0, ??a2x?b2y?0,
从而变为
dYa1X?b1Y?Y???g??. dXa2X?b2Y?X?
因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,,即可得到原方程的解.
2. 3常数变易法
一阶线性微分方程
dy?P?x?y?Q?x?, dx
其中P?x?,Q?x?在考虑的区间上是x的连续函数,若Q?x??0,变为 - 5 -
dy?P?x?y, dx
称为一阶齐次线性微分方程,若Q?x??0,称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为
y?ce?P?x?dx,
这里c是任意常数.
现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.
不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c变易为x的待定函数,使它满足方程,从而求出c?x?,为此,令
y?c?x?e?P?x?dx,
微分之,得到
P?x?dxdydc?x??P?x?dx?e?c?x?P?x?e?. dxdx
以代入得到
P?x?dxP?x?dxdc?x??P?x?dxe?c?x?P?x?e??P?x?c?x?e??Q?x?, dx
即
?P?x?dxdc?x??Q?x?e?, dx
积分后得到
?P?x?dxc?x???Q?x?e?dx?c1,
这里c1是任意常数.将代入得到
y?e?P?x?dx?Q?x?e??P?x?dxdx?c?. ??1???
这就是方程的通解.
3.基本方法的应用
3. 1. 一般变量分离应用举例
3.1.1应用举例
- 6 -
例1 求解方程dyy?? dxx
解 将变量分离，得到
??xdx ydy
两边积分，即得
y2x2c??? 222
因而，通解为
x2?y2?c 这里c是任意正常数，或者解出y，写出显函数形式的解
y??c?x2
3.1.2应用举例
例2 求解方程
dy
dx?p(x)y
的通解，其中p(x)是x的连续函数
解 将变量分离，得到
dy
y?p(x)dx
两边积分，即得
ln|y|??p(x)dx?~c
这里~c是任意常数。由对数定义，既有
|y|?e?p(x)dx?~c，
即
y??ec~?e?p(x)dx
令?ec~?c，得到
y?ce?p(x)dx - 7 - (2.3)(2.4)
此外，y?0显然也是方程(2.3)的解，如果允许(2.4)中允许c?0则y?0也就包括在(2.4)中，因而(2.3)的通解为(2.4)，其中c为任意常数。
3. 2齐次微分方程应用
3.2.1类型一应用举例
dyyy??tan dxxx
ydydu?x?u代入，则原方程变为 解 这是齐次微分方程，以?u及xdxdx
du?u?u?tanu, xdx
dutanu?即 (2.9) dxx 例1 求解方程
将上式分离变量，既有
cotudu?dx, x
两边积分，得到
~ ln|sinu|?ln|x|?c
~是任意常数，整理后，得到 这里c
sinu=?ec?x,
~?c得到 ?e
sinu?cx ~
此外，方程(2.9)还有解
tanu?0
anu?0也就包括在(2.10)中，如果在(2.9)中允许c?0，则t这就是说，方程(2.9)
的通解为(2.10)
带回原来的变量，得到方程的通解为
siny?cx. x
3.2.2类型一应用举例
例2 求解方程xdy?2xy?y（x?0） dx
解 将方程改写为
- 8 -
这是齐次微分方程.以dyyy?2? dxxxydydu?u及?x?u代入，则原方程变为 xdxdx
du?2u. (2.11) xdx
分离变量，得到
两边积分，得到(2.11)的通解
即当ln(?x)?c?0时，
u?[ln?(x)?c]2 这里c时任意常数.此外，方程(2.11)还有解
u?0.
注意，此解并不包括在通解(2.11)中.
代回原来的变量，即得原方程的通解为
y?x[ln?(x)?c]2. 当ln(?x)?c?0 及y?0.
3.2.3类型二应用举例
dy?xy?y2． dx
ydyyydydu??()2，令u?，将?x?u代入上式， 解 方程可化为xdxxxdxdx
du??u2，易知u?0是上式的一个解，从而y?0为原方程的一个解．当可得xdxdu2?dx, x?ln?(x)?c. 例3 求解方程x2
u?0时，分离变量得?dudx1?u?，两边积分得，故可得原方程的通解2uxlnx?c为y?x． lnx?c
- 9 -
3.2.4类型二应用举例
例4 求解方程dy1??1. dxx?y?1解 令u?x?y?1,则有
?y?u?x?1,
代入所求方程
?d?u?x?1?1??1, dxu
整理可得
du1??, dxu
由变量分离得
u2??2x?c,
故所求方程的解为
?x?y?1?2?2x?c.
3. 2. 5类型二应用举例
例5 求解方程
dyx?y?1? dxx?y?3
?x?y?1?0 解 解方程组? ?x?y?3?0
?x?X?1得x?1,y?2.令? y?Y?1?
代入上式方程，则有
再令u?dYX?Y? dXX?YY即Y?uX,则上式可化为 X
dX1?u?du, 2X1?2u?u
~ lnX2??ln|u2?2u?1|?c
- 10 -
因此
X2(u2?2u?1)??ec 记?e?c1,并带回原变量，得
Y2?2XY?Y2?c1,
(y?2)2?2(x?1)(y?2)?(x?1)2?c1.~c~
此外容易验证
u2?2u?1?0, 即
Y2?2XY?X2?0, 也是方程的解 ，因此方程的通解为 y2?2xy?x2?6y?2x?c, 其中c为任意的常数.
3. 3利用积分因子求解
例6 求解方程ydx?(y?x)dy?0. 解 这里M?y,N?y?x,?M?N?1,??1,方程不是恰当的。 ?y?X因为?M2??只与y有关，故方程有只与y的积分因子 ?yy
u?e
1乘方程两边，得到 2y??y2?e?2ln|y|?1 2y以u?
或者写成
11xdydx?dy?2?0 yyyydx?xdydy??0 2yy
- 11 -
因而通解为
3. 4利用恰当微分方程求解
11x例7 求解方程(cosx?)dx?(?2)dy?0. yyyx?ln|y|?c. y
解 因为
项组合，得到 ?M1?N1??2,??2，故方程是恰当微分方程。把方程重新分?yy?xy
11x (coxs?)dx?(?2)dy?0.， yyy
即
dsinx?dln|y|?
或者写成
xn?ln|y|?)?0. d(sixyydx?xdy?0, 2y
于是，方程的通解为
x?ln|y|? sinx?c, y
这里c是任意常数
结束语
一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果。对于一个给定的常微分方程,不仅要准确判断它属于何种类型,还要注意学习的解题技巧,从中总结经验, ,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据方程特点,引进适当的变换,将方程换为能求解的类型.
参考文献
- 12 -
[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程（第三版）[M].北京:高等教育出版
社;2006.
[2] 杨继明,常系数线性微分方程组的解法[J];宝鸡文理学院学报（自然科学
版）;2001.
[3] 伍卓群，李勇编，常微分方程（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2004
[4] 杨继明,蔡炯辉;常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式[J].宝鸡文
理学院学报（自然科学版）;20xx年01期
- 13 -
第二篇：一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程：
①、形如 dy
dx?f(x)g(y)
当g(y)?0时，得到dy
g(y)?f(x)dx，两边积分即可得到结果；
当g(?0)?0时，则y(x)??0也是方程的解。
例1.1、dy
dx?xy
解：当y?0时，有
x2dyy?xdx，两边积分得到lny?x22?C(C为常数) 所以y?C1e2(C1为非零常数且C1??e) C
y?0显然是原方程的解； x2
综上所述，原方程的解为y?C1e2(C1为常数)
②、形如M(x)N(y)dx?P(x)Q(y)dy?0
M(x)
P(x)Q(y)N(y)当P(x)N(y)?0时，可有dx?dy，两边积分可得结果；
当N(y0)?0时，y?y0为原方程的解，当P(x0）?0时，x?x0为原方程的解。 例1.2、x(y?1)dx?y(x?1)dy?0
解：当(x?1)(y?1)?0时，有2222y
1?y2dy?xx?1
22dx两边积分得到 lnx?1?lny?1?lnC
2222(C?0)，所以有(x?1)(y?1)?C2(C?0)； 当(x?1)(y?1)?0时，也是原方程的解；
综上所述，原方程的解为(x?1)(y?1)?C
⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如dy
dx?g(
y
xyx) dudx?u?g(u)为变量可分离方程，得到22(C为常数)。 解法：令u?，则dy?xdu?udx，代入得到x
f(u,x,C)?0(C为常数)再把u代入得到f(
yx
,x,C)?0(C为常数)。
②、形如
dydx
?G(ax?by),(ab?0)
adx
?dub
解法：令u?ax?by，则dy?得到f(u,x,C)?0
dydx
，代入得到
1dubdx
?
ab
?G(u)为变量可分离方程，
(C为常数)再把u代入得到f(ax?by,x,C)?0
a1x?b1y?c1a2x?b2y?c2
(C为常数)。
③、形如
?f()
解法：10、
a1a2
a1a2
b1b2
?0，转化为
dydx
?G(ax?by)，下同①；
2、
?u?x?x0?a1x?b1y?c1?0
?0，?的解为(x0,y0)，令?
v?y?yax?by?c?0b2
220?2?b1
a1u?b1va2u?b2v
a1?b1
)?f(
a2?b2
v
)?g(v)，下同②；
vuu
得到，
dvdu
?f(
还有几类：yf(xy)dx?xg(xy)dy?0,u?xy
x
2
dydx
?f(xy),v?xy
dydx
?xf(
yx
2
),w?
yx
2
M(x,y)(xdx?ydy)?N(x,y)(xdy?ydx)?0,x?rcos?,y?rsin?
以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、
dydx
?
x?y?5x?y?2
dudx
u?7u
2
解：令u?x?y?2，则dy?dx?du，代入得到1?
u
2
?，有udu??7dx
所以
2
??7x?C
（x?y?2）
(C为常数)，把u代入得到?7x?C
2
(C为常数)。
例2.2、
dydx
?
2x?y?1x?2y?1
11??x??u?x????2x?y?1?0?dy?dv33解：由?得到?，令?，有?，代入得到
11x?2y?1?0dx?du???y??v?y?33??
dvdu
?
2u?vu?2v
2??1?21?2t
v
u，令t?v，有dv?tdu?udt，代入得到t?udt?2?t，化简vdu1?2tuudt??
d(1?t?t)2(1?t?t)
22
得到，
duu
?
2?2t?2t
C1?t?t
2
2
，有ln??
13
nl(1?t?t)
2
2
?C(C为常数)，
所以有u?
C，(C1??e)，故代入得到x?
?
y?
C1
1?
?y?3??3?
1?1x?x??
3?3
1
?
?????
2
,(C1?0)
（3）、一阶线性微分方程：
（x)一般形式：a1
dydx
?a0(x)y?h(x)
标准形式：
dydx
?P(x)y?Q(x)
解法：1、直接带公式：
?P(x)dx?P(x)dx
?P(x)dxQ(x)dx?e??P(x)dx(e?P(x)dxQ(x)dx?C) y?Ce??e?e??
2、积分因子法： y(x)?
1
?(x)
dydx
?P(x)dx [??(x)Q(x)dx?C]，?(x)?e
?P(x)y?Q(x)，y(x0)?y0
x
3、IVP：
?
x
y?e
?x0P(s)ds
dydx
(?Q(t)e
x0
x
?x0P(s)ds
x
?
dt?y0)?y0e
?x0P(s)ds
t
?
?
x
x0
Q(t)e
?x0P(s)ds
t
dt
例3、(x?1)?ny?e(x?1)dydx
?
nx?1
P(x)dx
n?1
n
解：化简方程为：y?e(x?1)，则P(x)??
x
nx?1
,Q(x)?e(x?1);
xn
代入公式得到?(x)?e?
?e
??x?1dx
n
?(x?1)
(C为常数)
-n
所以，y(x)?(x?1)n[?(x?1)?nex(x?1)ndx?C]?(x?1)n(ex?C)(4)、恰当方程：
形如M(x,y)dx?N(x,y)dy?0,?G(x,y),s.t.dG?M(x,y)dx?N(x,y)dy 解法：先判断是否是恰当方程：
如果有
?M(x,y)
?y
?
?N(x,y)?x
恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个
G(x,y),s.t?G(x,y)
?x?M(X,y),?G(x,y)
?y?N(x,y),
有G(x,y)?C,(C为常数)；
例4、(3x2?6xy2)dx?(6x2y?4y3)dy?0
解：由题意得到，M(x,y)?3x2?6xy2,N(x,y)?6x2y?4y3 由?M
?y?12xy??N
?x得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个G(x,y),s.t
?G(x,y)
?x?G(x,y)?x2?M(X,y),?G(x,y)?y3?N(x,y) 由?M(X,y)?3x?6xy得G(x,y)?x?3xy??(y)，两边对y求偏222
导得到?G
?y223?6xy???(y)?6xy?4y，得到??(y)?4y，有?(y)?y， 34故G(x,y)?x3?3x2y2?y4，由dG?0，得到
x?3xy?y?C,(C为常数) 3224
(5)、积分因子法：
方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0,??(x,y),s.t.?Mdx??Ndy?0是一个恰当方程那么称?(x,y)是原方程的积分因子；积分因子不唯一。 ?M?N
?x?(x)dx??(x)，原方程有只与x有关的积分因子，且为?(x,y)?e?，，①当且仅当?y?
N
两边同乘以?(x,y)，化为恰当方程，下同(4)。 ?M?N
?x?(y)dy??(y)，原方程有只与y有关的积分因子，且为?(x,y)?e?，②当且仅当?y?
?M
两边同乘以?(x,y)，化为恰当方程，下同(4)。
例5.1、(e?3y)dx?2xydy?0 x2
解：由M(x,y)?ex?3y2,N(x,y)?2xy得
?M?y
?
?N?x
?6y?2y?4y
，且有
?M?y
?N
?N?x
??(x)?
2x
3
，有?(x,y)?e
?xdx
2
?x
2
，原方程两边同乘x2，得到
x(e?3y)dx?2xydy?0,化为d((x?2x?2)e?xy)?0，得到解为
(x?2x?2)e?xy?C,(C为常数)
2
x
3
2
2x22x32
例5.2、ydx?(x?y3)dy?0
解:由题意得到，M(x,y)?y,N(x,y)??(x?y3)，有
?M?y
??N?x
?1?(?1)?2
?M
有
?y
?
?N?x
??(y)??
2y
?M
，有?(x,y)?e?
2
?(y)dy
?e
??ydy
2
?y
?2
，原方程两边同乘y?2，得
到
dxy
?(?
xy
2
?y)dy?d(
xy
xy
?
y
y
2
2
)?0，得到原方程的解为：
?
2
?C,(C为常数)
(6)、贝努力方程： 形如
dydx
?P(x)y?Q(x)y,
1?n
n
解法：令u?y同（3） 例6、
dydx
?6
?1
，有du?(1?n)y
?n
dy，代入得到
dudx
?(1?n)P(x)u?(1?n)Q(x)，下
yx
?xy
?2
2
解：令u?y，有du??ydy，代入得到
dudx
?
6x
u?x，则P(x)?
2
6x
,Q(x)?x，
P(x)dxxC?666
?6,?x，u(x)?x[?x?xdx?C]?有?(x)?e?
8x
(C为常数)，把u代入得
到
1y
?
x
2
8
?
Cx
6
,(C为常数).
(7)、一阶隐式微分方程：
一般形式：F(x,y,y?)?0，解不出y?的称为一阶隐式微分方程。
下面介绍四种类型：
(1)y?f(x,y?) (2)x?f(y,y?) (3)F(x,y?)?0 (4)F(y,y?)?0 ①、形如y?f(x,dy
dx
dy
dx)， 一般解法：令p?，代入得到y?f(x,p)，两边对x求导得到p??f
?x??fdp
?pdx，这是
关于x，p的一阶线性微分方程，仿照(3)，
1、得出解为p??(x,C),C为常数，那么原方程的通解为
y?f(x,?(x,C)),C为常数
2、得出解为x??(p,C),C为常数，那么原方程的通解为
x??(p,C)?,C为常数 ??y?f(?(p,C),p)
3、得出解为?(x,p,C)?0,C为常数，那么原方程的通解为
??(x,p,C)?0,C为常数 ??y?f(x,p)
②、形如x?f(y,dy
dx
dy
dx) 一般解法：令p?，代入有x?f(y,p)，两边对y求导，得到1
p??f
?y??fdp
?pdy，此方
程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解?(y,p,C)?0,C为常数，那么原方程的通解为
??(y,p,C)?0,C为常数 ?x?f(y,p)?
③、形如F(x,y?)?0
?x??(t)
?y???(t)一般解法：设?
y?,(t为参数)，dy?y?dx??(t)??(t)dt，两边积分得到??(t)??(t)dt?C,C为常数，于是有原方程的通解为
?y??
???(t)??(t)dtx??(t)?C,C为常数
④、形如F(y,y?)?0
?y??(t)
?y???(t)一般解法：设?,(t为参数)，由关系式dy?y?dx得??(t)dt??(t)dx，有
dx???(t)
?(t)dt，两边积分得到x????(t)
?(t)dt?C，C为常数，于是有
??(t)?x?dt?C??，C为常数 ?(t)?
?y??(t)?
例7.1 xy?3?1?y?
解：令p?y?，得到x?1?p
p3，两边对y求导，得到1p?(1
p3?3(1?p)dp， )4pdy
有dy?(?2
p2?3p)dp，得到y?32p?3
2p2?C,C为常数，于是通解为
1?p?x?3??p，C为常数 ?23?y???C2?p2p?
例7.2 y?y?2ey
解：令p?y?，得到y?p
p?2ep，两边对x求导，得到p?(p?2p)ep2pdpdx，有 dx?(p?2)edp，两边积分得到x?(p?1)e?C,C为常数，于是通解为
?x?(p?1)ep?C,C为常数 ?2py?pe?
例7.3 x?y??1
?x?cost
?y??sintcos2t?1222解：设?,有dy?y?dx?sint?(?sint)dt?
sin2t
4t2dt，所以 y???C,C为常数
于是通解为
sin2tt??y???C
,C为常数 ?42
?x?cost?
例7.4 y2(1?y?2)?1
?y??sint
dy?sint1?dt?
解：设?1,有dx??dt??d(?tant)，所以 22
y??ycostsintcost?cost?
x??tant?C,C
于是通解为
x??tant?C??
,C为常数 ?y?1
?cost?
(8)、里卡蒂方程： 一般形式：
dydx
?P(x)y?Q(x)y?R(x)
1z
2
一般解法：先找出一个特解y0(x)，那么令y?y0?程得到
dy0dxdzdx?1dzz
2
，有
dydx
?
dy0dx
?
1dzz
2
dx
，代入原方
dx
?P(x)(y0?
1z
)?Q(x)(y0?
2
1z
)?R(x)，
化简得到
?(2P(x)y0?Q(x))z?P(x)?0，为一阶线性微分方程，解出
z(x)??(x,C),C为常数
那么原方程的通解为
y?y0?
1
,C为常数
?(x,C)
例8 xy??(xy?2)?0
1x
?
?1x
2
22
解：我们可以找到一个特解y0?令y?
1x?1z
，验证：y0?
2
，代入满足原方程。
1dzz
2
，y???
?2x
1x
2
?
1dzz
2
dx
，代入有x(?
1e?x
2dx
1x
2
?
2
dx
)?(x(
1x
?
1z
)?2)?0，
2
化简得到，
dzdx
z?1，所以有z(x)?
[?e
?xdx
dx?C]?
x3
?
Cx
2
,C为常数
所以原方程的解为
y?
1x?
1x3?Cx
2
,C为常数 或 y?
1x