29789 常微分方程

一、课程性质及其设置目的与要求

（—）课程性质及其设置目的

常微分方程是江苏省高等教育自学考试数学教育专业的一门重要的基础理论课程，它具有非常重要的应用价值，它的设置目的是：

1、使应考者系统地获得常微分方程中最基本的知识和必要的基础理论，能比较熟练的掌握基本的运算技能，为学生进一步学习数学其它有关课程提供必要的数学工具。

2、为应考者今后应用数学（如数学建模等）解决实际问题提供必要训练和准备。通过学习，使应考者能掌握一阶微分方程的初等积分法，能求解常系数高阶线性微分方程、常系数线性微分方程组。

3、通过学习，使应考者受到数学思想方法，尤其是数学化归思想的教育。

（二）本课程的基本要求

本课程共分六章。通过学习，使应考者能了解常微分方程中最基本的知识和应用价值，以及有关数学思想方法，理解必要的常微分方程基础理论，重点掌握一阶微分方程的初等积分法和求解常系数高阶线性微分方程以及常系数线性微分方程组。

（三）本课程与相关课程的联系

常微分方程应是数学分析和高等代数的后继课程。

二、课程内容与考核目标

第一章 初等积分法

（一）课程内容

1、微分方程和解

2、变量可分离方程

3、线性方程与常数变易法

4、全微分方程与积分因子

5、一阶隐式方程

6、几种可降阶的高阶方程

7、一阶微分方程的应用举例

（二）学习要求

熟练掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和全微分方程以及几种可降阶高阶方程的的解法，会求一些简单的积分因子，了解一阶隐式方程的求解方法，具有应用变量变换求解微分方程的能力，能应用微分方程分析和解决一些简单实际问题。

（三）考核知识点和考核要求

29789 常微分方程

1、领会：微分方程概念

2、掌握：一阶微分方程的一般解法和各类型方程的转化关系，以及一阶微分方程的应用

3、熟练掌握：变量可分离方程的解法，线性方程和伯努利方程的解法，全微分方程的解法，几种可降阶的高阶方程的解法，一阶微分方程的简单几何应用

第二章 基本定理

（一）课程内容

1、常微分方程的解的几何解释

2、存在唯一性定理与逐步逼近法

3、解的延拓

4、奇解

（二）学习要求

了解常微分方程的解的几何解释，掌握了解一阶微分方程解的存在唯一性定理的条件和结论以及利普希茨条件的检验方法。了解解的存在唯一性定理的全部证明过程和证明中所用方法的原因。掌握利用Picard逐步逼近法求所给方程的近似解。

（三）考核知识点和考核要求

1、领会：常微分方程的解的几何解释，解的存在唯一性定理的全部证明过程和证明中所用方法

2、掌握：掌握了解一阶微分方程解的存在唯一性定理的条件和结论以及利普希茨条件的检验方法，掌握利用Picard逐步逼近法求所给方程的近似解。

第三章 一阶线性微分方程组

（一）课程内容

1、一阶微分方程组和一阶线性微分方程组的基本概念

2、一阶线性齐次微分方程组的一般理论

3、一阶线性非齐次微分方程组的一般理论

4、常系数线性微分方程组的解法

（二）学习要求

了解线性微分方程组的一般理论，, 了解应用常数变易公式求线性非齐次微分方程组的特解的方法，重点掌握常系数线性微分方程组的求解方法。

（三）考核知识点和考核要求

1、领会：一阶微分方程组和一阶线性微分方程组的基本概念， 一阶线性齐次微分方程组的一般

29789 常微分方程

理论和一阶线性非齐次微分方程组的一般理论

2、掌握：常系数线性微分方程组的求解方法。

3、熟练掌握：常系数线性齐次微分方程组的解法

第四章 n阶线性微分方程

（一）课程内容

1、n阶线性微分方程的一般理论

2、n阶常系数线性齐次方程的解法

3、n阶常系数线性非齐次方程解的解法

（二）学习要求

了解n阶线性方程的解的性质与结构和利用常数变易法求 n阶线性方程的特解的一般理论。 熟练掌握n阶常系数线性方程的解法和利用待定系数法求两种类型n阶非齐次线性方程的特解。

（三）考核知识点和考核要求

1、领会：n阶线性方程的解的性质与结构和利用常数变易法求 n阶线性方程的特解的一般理论。

2、掌握：n阶线性方程的解的结构

3、熟练掌握：n阶常系数线性方程的解法和n阶常系数线性非齐次方程解的解法。

第五章 定性与稳定性理论简介

（一）课程内容

1、稳定性概念

2、李雅普诺夫第二方法

3、平面自治系统的基本概念

4、平面定性理论简介

（二）学习要求

了解相平面及其有关的定义和概念、掌握各种类型的初等奇点及其相应的稳定性态。能利用李雅普诺夫第二方法判断零解的稳定性。了解平面系统极限环的有关概念，会求简单方程组的极限环和稳定性。

（三）考核知识点和考核要求

1、领会：稳定性概念和平面自治系统的基本概念，李雅普诺夫第二方法。

2、掌握：初等奇点和极限环的有关概念。

3、熟练掌握：各种类型的初等奇点及其相应的稳定性态的确定，确定简单方程组的极限环和稳定性方法

29789 常微分方程

第六章 一阶线性偏微分方程初步

（一）课程内容

1、基本概念

2、一阶常微分方程组的首次积分

3、一阶线性齐次偏微分方程

（二）学习要求

了解一阶偏微分方程的基本概念、一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系以及常微分方程组首次积分的概念。能够利用首次积分求解常微分方程组. 了解一阶偏微分方程的解法。

（三）考核知识点和考核要求

1、领会：一阶偏微分方程的基本概念和一阶偏微分方程的解法。

2、掌握：首次积分的概念

3、熟练掌握：用首次积分求解常微分方程组

三、有关说明和实施要求

（一）关于“课程内容与考核目标”中的有关说明

在大纲的考核要求中，提出了“领会”、“掌握”“熟练掌握”等三个能力层次的要求，它们的含义是：

1、领会：要求应考者能够记忆规定的有关知识点的主要内容，并能够理解规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能根据考核的不同要求，作出正确的解释、说明和阐述。

2、掌握：要求应考者掌握有关的知识点，正确和记忆相关内容的原理、方法步骤等。

3、重点掌握：要求应考者必须掌握的核心内容和重要知识点。

（二）自学教材

本课程使用教材为：《常微分方程》，东北师范大学微分方程教研室主编，高等教育出版社，20xx年。

（三）自学方法的指导

本课程作为一门的专业课程，综合性强、内容多、难度大，自学者在自学过程中应该注意以下几点：

1、学习前，应仔细阅读课程大纲，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。

2、在阅读某一章教材内容前，应先认真阅读大纲中该章的考核知识点、自学要求和考核要求，

29789 常微分方程

注意对各知识点的能力层次要求，以便在阅读教材时做到心中有数。

3、认真学习各章节例题，熟悉各种类型习题解法。

4、学完教材的每一章节内容后，应完成教材的习题，进一步理解和巩固所学的知识，增强解题能力。

（四）对社会助学的要求

1、应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章的知识点。

2、应掌握各知识点要求达到的层次，并深刻理解各知识点的考核要求。

3、对应考者进行辅导时，应以指定的教材为基础，以考试大纲为依据，不要随意增删内容，避免与考试大纲脱节。

4、辅导时应对应考者进行学习方法的指导。

5、辅导时要注意基础、突出重点，注意帮助学生归纳对各类型方程的解法。

（五）关于命题和考试的若干规定

1、本大纲所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。

2、试卷对不同能力层次要求的试题所占的比例大致是：“领会”10 ，“掌握”20 ，“熟练掌握”为70 。

3、试题难易程度要合理，可分为四档：易、较易、较难、难，这四档在各份试卷中所占的比例约为2 ：3 ：3 ：2。

4、本课程考试试卷可能采用的题型有：单项选择题、填空题等类型。

5、考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟。评分采用百分制，60分为及格。

附录 题型举例

第二篇：常微分方程(第三版)答案

常微分方程习题答案

2.1

1.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

       解：对原式进行变量分离得

并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得：

3  

  解：原式可化为：

 

12．

解

15．

16．

解：

 ，这是齐次方程，令

17.

解：原方程化为

 令

方程组

则有

令

当当

另外

 

19. 已知f(x).

解：设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得

20.求具有性质  x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0   x(0)== 若x(0)0 得x=-1矛盾。

所以x(0)=0. x’(t)=)

      两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c  所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时  x(0)=0  故c=0 所以

x(t)=tg[x’(0)t]

习题2.2

求下列方程的解

1．=

解：  y=e (e)

=e[-e()+c]

=c e- ()是原方程的解。

2．+3x=e

解：原方程可化为：=-3x+e

所以：x=e (e e)    

       =e (e+c)

       =c e+e  是原方程的解。

3．=-s+

解：s=e(e )

=e()

= e()

=   是原方程的解。

4．  ，   n为常数.

解：原方程可化为：

                 

                     是原方程的解.

5．+=

解：原方程可化为：=-

                  ()

=  是原方程的解.

6．

解：

       =+

令   则    =u

因此：=

         

         

         

             （*）

  将带入  （*）中   得：是原方程的解.

13

这是n=-1时的伯努利方程。

两边同除以，

令   

P(x)=    Q(x)=-1

由一阶线性方程的求解公式

  =

14 

两边同乘以  

令   

   这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以       令

   

P（x）=    Q(x)=

由一阶线性方程的求解公式

  =

  =

15

 

这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以    

  令   

  =   P(y)=-2y    Q(y)=

  由一阶线性方程的求解公式

 

=

=

16  y=+

P(x)=1    Q(x)=   由一阶线性方程的求解公式

  =

  =

c=1

y=

设函数(t)于∞<t<∞上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)

试求此函数。

令t=s=0  得(0+0)=(0)(0)  即(0)=  故或

（1） 当时     即 

∞,∞)

 (2)   当时   =

                          ==

                          =

于是  变量分离得  积分 

由于，即t=0时    1=c=1

故

  20.试证：

   （1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；

   （2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.

（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.

证明：         （2.28）

            （2.3）

设，是（2.28）的任意两个解

则        （1）

     （2）

（1）-（2）得

    

即是满足方程（2.3）

所以，命题成立。

由题意得：

               （3）

        （4）

1）先证是（2.28）的一个解。

于是   得

故是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式

设是(2.28)的一个解

则              （4’）

于是 （4’）-（4）得

从而 

即    

所以，命题成立。

设，是（2.3）的任意两个解

则                （5）

            （6）

于是（5）得    

即          其中为任意常数

也就是满足方程（2.3）

（5）（6）得

 

即

也就是满足方程（2.3）

所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；

曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；

解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为

即 横截距为 ，

   纵截距为 。

由题意得：

（5） 

方程变形为

      

      

于是  

       

       

       

       

       

所以，方程的通解为。

（6）

方程变形为 

       

       

于是   

        

        

        

        

        

所以，方程的通解为。

22．求解下列方程。

（1）

解：

   

      =  

      =

      =

 

  （2）

P(x)=    Q(x)=

由一阶线性方程的求解公式

  =

  =

  =

习题2.3

1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1. 

解：   ，=1 .

则

所以此方程是恰当方程。

凑微分，

得 ：

2． 

解：    ， .

则 .

所以此方程为恰当方程。

凑微分，

得 

3．  

解：    

则 .

因此此方程是恰当方程。

                                  （1）

                                  （2）

对（1）做的积分，则

=        （3）

对（3）做的积分，则

=

=

则

故此方程的通解为

4、 

解：   ， .

 .

则此方程为恰当方程。

凑微分，

得 ：

5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0

解：  M=sin-cos+1    N= cos- sin+

=- sin-cos- cos+sin

=- sin-cos- cos+sin

所以，=，故原方程为恰当方程

因为sindx-cosdx+dx+ cosdy- sindy+dy=0

d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0

所以，d(sin-cos+x -)=0

故所求的解为sin-cos+x -=C

求下列方程的解：

6．2x(y-1)dx+dy=0

解：=  2x  ,     =2x

所以，=，故原方程为恰当方程

又2xydx-2xdx+dy=0

所以，d(y-x)=0

故所求的解为y-x=C

7.(e+3y)dx+2xydy=0

解：edx+3ydx+2xydy=0

exdx+3xydx+2xydy=0

所以，d e( x-2x+2)+d( xy)=0

即d [e( x-2x+2)+ xy]=0

故方程的解为e( x-2x+2)+ xy=C

8. 2xydx+( x+1)dy=0

解：2xydx+ xdy+dy=0

d( xy)+dy=0

即d(xy+y)=0

故方程的解为xy+y=C

9、

解：两边同除以  得

即，

故方程的通解为

10、

解：方程可化为：

即，

故方程的通解为： 即：

同时，y=0也是方程的解。

11、

解：方程可化为：

  即：

故方程的通解为：

12、

解：方程可化为：

故方程的通解为 ： 即：

13、

解：这里 ，

     方程有积分因子

两边乘以得：方程是恰当方程

故方程的通解为：

即：

14、

解：这里

因为

故方程的通解为：

        即：

15、

解：这里

 方程有积分因子：   两边乘以得：

方程为恰当方程

故通解为 ：

即：

16、

解：两边同乘以得：

故方程的通解为：

17、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。

解：若方程具有为积分因子，

     （是连续可导）

令

， .

，

 ，

 ，  

方程有积分因子的充要条件是：是的函数，

此时，积分因子为 .

 令

 ，

此时的积分因子为

18. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.

证:必要性  若该方程为线性方程,则有 ,

此方程有积分因子,只与有关 .

充分性  若该方程有只与有关的积分因子 .

则为恰当方程 ,

从而 , ,

 .

其中 .于是方程可化为

即方程为一阶线性方程.

20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0

有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])

证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：

uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0

则=uf+uy+yf=+-yf

==

=

而=ug+ux+xg=+- xg

==

故=，所以u是方程得一个积分因子

21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系=

Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）

有积分因子u=exp(+)

证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

即证u+M=u+N

u(-)=N- Mu(-)=Nef(x)

-M eg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y))

由已知条件上式恒成立，故原命题得证。

22、求出伯努利方程的积分因子.

解：已知伯努利方程为：

两边同乘以，令，

线性方程有积分因子：

，故原方程的积分因子为：

，证毕！

23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，

使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。

证明：若，则

又

即为的一个积分因子。

24、设是方程的两个积分因子，且常数，求证（任意常数）是方程的通解。

证明：因为是方程的积分因子

所以   为恰当方程

即 ，

下面只需证的全微分沿方程恒为零

事实上：

即当时，是方程的解。证毕！

习题 2.4

求解下列方程

1、

解：令，则，

   从而，

   于是求得方程参数形式得通解为.

2、

解：令，则，即，

从而

    

    

     ，

于是求得方程参数形式得通解为.

3、

解：令，则，

从而

   

     =

     ，

于是求得方程参数形式的通解为,

另外，y=0也是方程的解.

4、, 为常数

解：令，则，

从而

     

      ，

于是求得方程参数形式的通解为.

5、1

解：令，则，

从而

     

      ，

于是求得方程参数形式的通解为.

6、

解：令，则，得，

所以，

从而，

于是求得方程参数形式的通解为，

因此方程的通解为.

习题2.5

2．

解：两边同除以，得：

即

4．

解：两边同除以，得

  

     令

      则

       即

得到，

即

另外也是方程的解。

6．

    解：

     

        得到

        即

        另外也是方程的解。

8.

            解：令

则：

     即

          得到

        故

           即

            另外也是方程的解。

10．

            解：令

           即

          而故两边积分得到

         

           因此原方程的解为，。

       12.

           解：

           令 

则  

 

  即

  

  故方程的解为

   

14．

  解： 令

       则

     那么

      

      求得：

       故方程的解为

       或可写  为

 16．

       解：令  则

        

即方程的解为

18．

 解： 将方程变形后得

  

 

 同除以得：

 令  则

 

                即原方程的解为

19.X(

解：方程可化为2y(

    令

   

27. 

解： 令，，则

，                      ，

，

两边积分得            

即为方程的通解。

另外，，即也是方程的解。

28. 

解： 两边同除以，方程可化为：

                         

令，则

                      

即                          ，

两边积分得                    

即                         

为方程的解。

29. 

解： 令，则 ， 

，

那么                   

即                          

两边积分得                 

即为方程的解。

30. 

解： 方程可化为 

两边积分得              

即                       

为方程的解。

31. 

解： 方程可化为       

两边同除以，得        

即                        

令，，则

                          

即                           

两边积分得                     

将代入得，              

即                            

故                       

32. 

解： 方程可化为               

两边同加上，得                                    （*）

再由，可知

                   （**）

将（*）/（**）得            

即                               

整理得                          

两边积分得                       

即                           

另外，也是方程的解。

求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。

解： 设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：

                                  

由题意得                         

即                                

也即                           

两边同除以，得              

即                              

即                                

为方程的解。

摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。

解：，又，由此

                                   

即                                 

其中，解之得

                                  

又时，；时，。

故得                            ，

从而方程可化为                      

当时，有      米/秒

即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。

35. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。

解：由物理知识得：

根据题意：

故：

即：

(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有

又当t=0时，V=0，故c=

因此，此质点的速度与时间的关系为：

36. 解下列的黎卡提方程

（1）

解：原方程可转化为：

观察得到它的一个特解为：，设它的任意一个解为，

代入（*）式得到：

由（**）-（*）得：

变量分离得：

两边同时积分：

即：

故原方程的解为 

（2）

解：原方程可化为：

由观察得，它的一个特解为，设它的任意一个解为，故

变量分离再两边同时积分得：即

故原方程的解为

（3）

解：原方程可化为：

由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，故

，该式是一个的伯努利方程

两边同除以得到：

即：，令，

则：，根据一阶非齐线性方程的求解公式得：

故：

因此：原方程的解为：

（4）

解：原方程可化为：

由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，于是

，这是的伯努利方程

两边同除以得到：

即：

则：

即：

故：原方程的解为：

（5）

解：原方程可化为：

由观察得，它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是

，这是的伯努利方程

两边同除以得到：

即：

则：

故：原方程的解为：，即.

（6）

解：原方程可化为：

由观察得到它的一个特解为，设它的任一个解为，于是

，这是的伯努利方程

两边同除以得到：

即：

则：

从而：

故原方程的解为：

即：

（7）

解：由观察得到它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是

，这是n=2的佰努利方程，

两边同除以得：

即：

从而：

故原方程的解为：

1．Proof若（1）成立则及，，使当

         

时，初值问题    

的解满足对一切有,                    

由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解及都过点，由解的存在唯一性

，当时

故

若（2）成立，取定，则，，使当

              

时,对一切有

因初值问题

的解为，由解对初值的连续依赖性，

对以上，，使当

时

对一切有

而当时，因

故

这样证明了对一切有

2．Proof：因及都在G内连续，从而在G内关于满足局部Lipschitz条件，因此解在它的存在范围内关于是连续的。

设由初值和足够小）所确定的方程解分别为

，

即，

于是

        

因及、连续，因此

这里具有性质：当时，；且当时，因此对有

即

是初值问题

的解，在这里看成参数0显然，当时，上述初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定理，知是的连续函数，从而存在

而是初值问题

的解，不难求解

         

它显然是的连续函数。

3．解：这里满足解对初值的可微性定理条件

故：

         

满足的解为

            

故

    

    

  

4．解：这是在（1，0）某领域内满足解对初值可微性定理条件，由公式

易见是原方程满足初始条件的解

 

故

习题 3.4

(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：

1、

解：令，则，

两边对x求导，得

               

从得 时，；

从得 ，

  为参数，为任意常数.

经检验得 ，是方程奇解.

2、

解：令，则，

两边对x求导，得

                 ，

解之得 ，

所以，

且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.

3、

解：这是克莱洛方程，因此它的通解为，

从  中消去c,

得到奇解.

4、

解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 ，

从  中消去c,

得到奇解 .

5、

解：令，则，

两边对x求导，得

                 ，

解之得 ，

所以 ，

可知此方程没有奇解.

6、

解：原方程可化为，

这是克莱罗方程，因此其通解为，

从 中消去c，得奇解.

7、

解：令，则，

两边对x求导，得 ，

所以 ，

可知此方程没有奇解.

8、

解：

可知此方程没有奇解.

9、

解：令，则，

两边对x求导，得

                

解之得 ，

所以 ，

且 也是方程的解，但不是方程的奇解.

10、

解：

这是克莱罗方程，因此方程的通解为，

从中消去c,

得方程的奇解.

（二）求下列曲线族的包络.

1、

解:对c求导，得 x+2c=0,  ,

   代入原方程得，，

   经检验得，是原方程的包络.

2、

解：对c求导，得 ，

代入原方程得 ，即，

经检验得是原方程的包络.

3、

解：对c求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0,  ,

代入原方程得.

经检验,得 是原方程的包络.

4、

解：对c求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,

代入原方程得 ，,

经检验，得是原方程的包络.

(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.

解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为，

它与X轴、Y轴的截距分别为，，

按条件有 ，化简得，

这是克莱洛方程，它的通解为一族直线，

它的包络是，

消去c后得我们所求的曲线.

(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.

证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，

从 中消去p后而得的曲线；

 c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程

中消去c而得的曲线，

显然它们的结果是一致的，是一单因式，

因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.

                           习题4.1

                

1.设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有常数或常数，则和在区间上线形无关。

证明：假设在，在区间上线形相关

则存在不全为零的常数，，使得

那么不妨设不为零，则有

显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关

2.证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程

                   （1）

                   （2）

的解，则+是方程   +的解。

证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解

则：             （3）

                （4）

那么由（3）+（4）得：

+

即+是方程是+的解。

试验证0的基本解组为，并求方程的通解。

 证明：由题将代入方程0得：-=0,即是该方程的解，

同理求得也是该方程的解

又显然线形无关，故是0的基本解组。                 由题可设所求通解为：，则有：

解之得：

故所求通解为：

试验证0有基本解组t，，并求方程

t-1的通解。

解：由题将t代入方程0得：

     ，即t为该方程的解

     同理也是该方程的解，又显然t，线形无关，

     故t，是方程0的基本解组

由题可设所求通解为，则有：

解之得：

故所求通解为

以知方程0的基本解组为，求此方程适合初始条件的基本解组（称为标准基本解组，即有）并求出方程的适合初始条件的解。

 解：时间方程0的基本解组，故存在常数使得：

于是：

令t=0,则有方程适合初始条件，于是有：

解得：   故

又该方程适合初始条件，于是：

解得：   故

显然，线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：

，  

而此方程同时满足初始条件，于是：

解得：

故满足要求的解。

设是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为，试证明满足一阶线形方程，因而有：

                       

 解：

又满足

即

则：

即       则有：

即：    

假设是二阶齐线形方程（*）的解，这里

在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：,其中为常数,

　证：（１）

（２）因为为方程的解，则由刘维尔公式

     

       两边都乘以则有：，于是：

     

     

从而方程的通解可表示为：,其中为常数,。

试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。

 证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则：  （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。

    事实上：假设存在常数，使得：

   

（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！

从而有

又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，

故有：

    即（1）是线形无关的。

　　　习题4.2

            

解下列方程

（1）

 解：特征方程

故通解为x=

(2)

解：特征方程

有三重根

故通解为x=

（3）

解：特征方程

有三重根，2，-2

故通解为

（4）

解：特征方程有复数根-1+3i,-1-3i

   故通解为

(5)  

解：特征方程有复数根

故通解为

(6)

解：特征方程有根a,-a

当时，齐线性方程的通解为s=

代入原方程解得

故通解为s=-

当a=0时,代入原方程解得

故通解为s=-

(7)

解：特征方程有根2,两重根1

齐线性方程的通解为x=

又因为0不是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1

故通解为x=-4-t

(8)

解：特征方程

故齐线性方程的通解为x=

取特解行如代入原方程解得A=1，B=0,C=1

故通解为x=+

(9)

解：特征方程有复数根

故齐线性方程的通解为

取特解行如代入原方程解得A=

故通解为

(10)

解：特征方程有根-2,1

故齐线性方程的通解为x=

因为+-2i不是特征根

取特解行如代入原方程解得A=

故通解为x=

（11）

解：特征方程有复数根

故齐线性方程的通解为    1是特征方程的根，故代入原方程解得A=

故通解为+

（12）

解：特征方程有2重根-a

当a=-1时，齐线性方程的通解为s=,

1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=

通解为s=,

当a-1时，齐线性方程的通解为s=,

1不是特征方程的根，故代入原方程解得A=

故通解为s=+

（13）

解：特征方程有根-1,-5

故齐线性方程的通解为x=

2不是特征方程的根，故代入原方程解得A=

故通解为x=+

（14）

解：特征方程有根-1+i,-1-i

故齐线性方程的通解为

  不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得A=

故通解为+

(15)

解：特征方程有根i,- i

故齐线性方程的通解为

,i,是方程的解 代入原方程解得

A= B=0 故

    代入原方程解得

A= B=0 故

故通解为

习题5.1

1.给定方程组

x=x   x=       （*）

 a)试验证u(t)=,v(t)=分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)=, v(0)=的解.

 b)试验证w(t)＝cu(t)+cv(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)=的解，其中是任意常数.

 解：a)      u(0)==

             u(t)==u(t)

        又  v(0)==

            v(t)== =v(t)

因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.

b)     w(0)=u(0)+u(0)= +=

       w(t)=  u(t)+  v(t)

           = +

           =

           =

           =w(t)

因此 w(t)是给定方程初值问题的解.

2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：

a) x+2x+7tx=e,x(1)=7, x(1)=-2

b) x+x=te,x(0)=1, x(0)=-1,x(0)=2,x(0)=0

c)

           x(0)=1, x(0)=0,y(0)=0,y(0)=1

解：a）令 x＝x, x= x, 得

      

     即

又 x＝x(1)=7  x(1)= x(1)=-2

于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：

x＝   x(1)＝

其中 x＝.

   b) 令＝x  ＝  ＝  ＝ 则得：

     

     且 (0)=x(0)=1, =(0)=-1, (0)= (0)=2,

        (0)= (0)=0

于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：

=   x(0)=, 其中 x=.

c) 令w＝x， w＝，w＝y，w＝y，则原初值问题可化为：

    且

  即  w

     w(0)=   其中 w＝

3. 试用逐步逼近法求方程组

             ＝x   x＝

   满足初始条件   

              x(0)=

  的第三次近似解.

  解：

     

     

     

习题5.2

02412—02  02412—03

1.试验证=

是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。

解：令的第一列为(t)= ,这时(t)==(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。

2.考虑方程组x=A(t)x        (5.15)其中A(t)是区间a上的连续nn矩阵，它的元素为a(t),i ,j=1,2,…,n

如果x(t),x(t),…,x(t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式W[x(t),x(t),…,x(t)]W(t)满足下面的一阶线性微分方程W=[a(t)+a(t)+…+a(t)]W

解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t)e t,t[a,b]

解：w(t)=++…+

=+…+=+…+整理后原式变为

（a+…+a）=（a+…+a）w(t)

=（a(t)+…+a(t)）w(t)

b)由于w(t)=[ a(t)+…+a(t)] w(t),即=[ a(t)+…+a(t)]dt

两边从t到t积分ln-ln=即w(t)=w(t)e,t[a,b]

3.设A(t)为区间a上的连续nn实矩阵，为方程x=A(t)x的基解矩阵，而x=(t)为其一解，试证：

对于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常数；

b)(t)为方程y=-A(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使(t) (t)=C.

解a)[ (t) (t)]= (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t)

又因为=-A(t) (t)，所以=-(t) A(t)

[ (t) (t)]=- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,

所以对于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常数

“”假设为方程y=-A(t)y的基解矩阵，则

[ (t) (t)]= [(t)]+(t) (t)=[- A(t) (t)]+ (t) A(t) )+ (t)[ A(t) (t)]=- (t) A(t) +(t) A(t) =0,故(t) (t)=C

“”若存在非奇异常数矩阵C，detc0,使(t) (t)=C，

则[ (t) (t)]= (t)+ (t)=0，故(t)(t)=- (t) (t)A(t) (t)=- (t) A(t) 所以(t)=- (t) A(t), (t)=- (t) A(t)即(t)为方程y=-A(t)y的基解矩阵

4.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:

(t)=(t- t)其中t为某一值.

证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。

   （2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)

5.设A(t),f(t)分别为在区间a上连续的nn矩阵和n维列向量，证明方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。

证明：设x,x,…x是x=A(t)x的n个线性无关解， 是x=A(t)x+f(t)的一个解，则x+, x+,…, x+,都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C,(I=1,2,…,n)使得+c=0,从而x+, x+,…, x+,在a上线性相关，此与已知矛盾，因此x+, x+,…, x+,线性无关，所以方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。

6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：

    的解，则是方程组

    的解。 

证明：  （1）      （2）

分别将代入（1）和（2）

则           

则

令

即证  

7．考虑方程组，其中

                 

a)试验证   是的基解矩阵；

b)试求的满足初始条件的解。

证明：a)首先验证它是基解矩阵

以表示的第一列  

则

故是方程的解

如果以表示的第二列 

我们有

故也是方程的解

从而是方程的解矩阵

又

故是的基解矩阵；

b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件的解

而

8、试求，其中

                   

满足初始条件

的解。

解：由第7题可知的基解矩阵  

则

若方程满足初始条件

则有

若

则有9、试求下列方程的通解：

a)

解：易知对应的齐线性方程的基本解组为

这时

由公式得

  通解为

b)

解：易知对应的齐线性方程的基本解组为

是方程的特征根

故方程有形如的根

代入得

故方程有通解

c)

解：易知对应的齐线性方程对应的特征方程为故方程的一个基本解组为

因为是对应的齐线性方程的解

故也是原方程的一个解

故方程的通解为

10、给定方程其中f(t)在上连续，试利用常数变易公式，证明：

a)如果f(t)在上有界，则上面方程的每一个解在上有界；

b)如果当时，，则上面方程的每一个解（当时）。

证明：a)上有界

  存在M>0,使得

又是齐线性方程组的基本解组

非齐线性方程组的解

又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)，都存在固定的常数

使得

从而

故上面方程的每一个解在上有界

b) 时，

当t>N时

由a)的结论

故时，原命题成立

11、给定方程组           （5.15）

这里A(t)是区间上的连续矩阵，设是（5.15）的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在，上连续，试证明初值问题：             （*）

的唯一解是积分方程组

        （**）

的连续解。反之，（**）的连续解也是初值问题（8）的解。

证明：若是（*）的唯一解

则由非齐线性方程组的求解公式

即（*）的解满足（**）

反之，若是（**）的解，则有

两边对t求导：

即（**）的解是（*）的解

习题5.3

假设A是nn矩阵，试证：

对任意常数、都有

exp(A+A)=expA·expA

对任意整数k,都有

(expA)=expkA

                 (当k是负整数时，规定(expA)＝[(expA)])

证明：a) ∵（A）·（A）＝（A）·（A）

 ∴ exp(A+A)= expA·expA

b)  k>0时，(expA)＝expA·expA……expA

                  ＝exp（A+A+……+A）

                  ＝expkA

    k<0时，-k>0

            (expA)＝[(expA)]=[exp(-A)] = exp(-A)·exp(-A)……exp(-A)

                   ＝exp[(-A)(-k)]

                   ＝expkA

 故k，都有(expA)=expkA

试证：如果是=Ax满足初始条件＝的解，那么

＝[expA(t-t)]

证明：由定理8可知＝Ф(t)Ф-1(t0) ＋Ф(t)

又因为Ф(t)= expAt , Ф-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0),  f(s)=0,

又因为矩阵 （At）·（- At0）=（- At0）·（At）

所以 ＝[expA(t-t)]

试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量

a）             b）

c）         d）

解：a）det（E－A）==(－5)(+1)=0

∴=5,  =－1

对应于=5的特征向量u=,  ()

对应于=－1的特征向量v=, ()

det（E－A）=(+1)(+2)(－2)＝0

∴＝－1，＝2，＝－2

对应于＝－1的特征向量u1＝， （ 0 ）

对应于＝2的特征向量u2＝，  （  ）

对应于＝－2的特征向量u3＝，  （  ）

c）det（E－A）=＝(+1)2(－3)＝0

   ∴＝－1（二重），＝3

对应于＝－1（二重）的特征向量u＝， （ 0 ）

对应于＝3的特征向量v＝,  （  ）

det（E－A）==(+3)(+1)(+2)=0

   ∴＝－1，＝－2，＝－3

   对应于＝－1的特征向量u1＝， （ 0 ）

   对应于＝－2的特征向量u2＝，  （  ）

   对应于＝－3的特征向量u3＝，  （  ）

试求方程组=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为：

a）         b）

c）       d）

解：a）det（E－A）=0得＝，＝－

对应于的特征向量为u＝， （ 0 ）

对应于的特征向量为v＝，  （  ）

∴u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量

Ф(t)=是一个基解矩阵

 ExpAt=

由det（E－A）=0得＝5，＝－1

解得u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量

则基解矩阵为Ф(t)＝

Ф(0)＝     Ф－1(0)＝

则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝

  c） 由det（E－A）=0得＝2，＝－2，＝－1

      解得基解矩阵Ф(t)＝

Ф－1(0)＝

           则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝

d）由det（E－A）=0得＝－3，＝2＋，＝2－

   解得基解矩阵Ф(t)＝

则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝

5、试求方程组=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件

   解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为

         

          所以

         

b）由第4题（d）知，基解矩阵为

  Ф(t)＝

所以

由3（c）可知，矩阵A的特征值为＝3，＝－1（二重）

   对应的特征向量为u1＝，u2＝

   ∴＝＋

   解得

  

＝

求方程组=Ax＋f（t）的解：

解：a）令=Ax的基解矩阵为Ф(t)

解得Ф(t)＝， 则Ф－1(t)＝

Ф－1(0)＝

求得＝

b）由det（E－A）=0得＝－1，＝－2，＝－3

   设对应的特征向量为v1，则

   （E－A）v1=0，得v1＝

    取v1＝，同理可得v2 ＝，v3＝

    则Ф(t)＝

从而解得

c）令=Ax的基解矩阵为Ф(t)

由det（E－A）=0得＝1，＝2

解得对应的基解矩阵为Ф(t)＝

∴Ф－1(t)＝  从而Ф－1(0)＝

∴

假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组

   有一解形如

   其中c，p是常数向量。

   证：要证是否为解，就是能否确定常数向量p

则p（mE－A）＝c

由于m不是A的特征值

故

mE－A存在逆矩阵

那么p＝c（mE－A）－1    这样方程就有形如的解

给定方程组

          

试证上面方程组等价于方程组u’=Au,其中

u＝，A=

试求a）中的方程组的基解矩阵

试求原方程组满足初始条件

x1(0)=0,  x1’(0)=1,  x2(0)=0

的解。

 证：a）令   则方程组①化为

即u’＝u’=Au   ①

反之，设x1=u1,x1’=u2,x2=u3    则方程组②化为

 

b）由det（E－A）=0得＝0，＝1，＝2

由  得

同理可求得u2和u3

取

则是一个基解矩阵

c）令，则①化为等价的方程组①且初始条件变为而②满足此初始条件的解为：

    ③

于是根据等价性，①满足初始条件的解为③式

试用拉普拉斯变换法解第5题和第6题。

证明：略。

求下列初值问题的解：

解：a)根据方程解得＝ ， ＝－

∴＝t＋，＝－t＋

∵

∴0＋＝1   ∴＝1    ∴＝t＋1

∵

∴－0＋＝0    ∴＝0    ∴＝－t

综上：＝t＋1

      ＝－t

b）对方程两边取拉普拉斯变换，得

   解得

∴

c）对方程两边取拉普拉斯变换，得

假设y＝是二阶常系数线性微分方程初值问题

         的解，试证是方程

                  

         的解，这里f（x）为已知连续函数。

 证明：y＝

       ∵y’＝

∴

   

习题6.3

试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态

 (1)

解:  由得奇点(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)

对于奇点(0,0),   A=    由=0得=1>0,=1/2>0

所以不稳定

对于奇点(0,2),令X=x,Y=y-2,   则A=    得=-1, =-1/2

所以渐进稳定

同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定

        对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定

 (2)

解:   由  得奇点(0,0),(1,2),(2,1)

对于奇点(0,0)可知不稳定

对于奇点(1,2)可知不稳定

对于奇点(2,1)可知渐进稳定

 (3)

解:由得奇点(0,0),(-1/,0)

对于奇点(0,0)   驻定解不稳定

对于奇点(-1/,0)   得驻定解不稳定

(4)

解:   由得奇点(0,0),(1,1)

对于奇点(0,0)得驻定解不稳定

对于奇点(1,1)得驻定渐进稳定

研究下列纺车零解的稳定性

(1)

解:=1>0,=5>0,=6>0

>0    =1>0    所以零解渐进稳定

 (2)

解:A=   由=0得

   得=, =

i)  +1/2<0  即<-1/2,渐进稳定

ii)  +1/2>0 即>-1/2不稳定

iii)  +1/2=0 即=-1/2稳定