目 录
摘 要 ........................................................................................................ 0 关键词 ........................................................................................................ 0 Abstract ..................................................................................................... 0 Keywords ................................................................................................... 0 前言 ............................................................................................................ 0
1．变量分离方程 ...................................................................................... 0
1.1变量分离方程 .................................................................................... 0
1.2可化为变量分离方程 .......................................................................... 1
2．线性微分方程 ...................................................................................... 4
2.1一阶非齐次线性微分方程 ................................................................... 4
2.2恰当微分方程 .................................................................................... 5
3．一阶隐式微分方程 .............................................................................. 8
3.1可以解出y?x?的方程 ......................................................................... 8
3.2不显含y?x?的方程 ........................................................................... 11 结束语 ....................................................................................................... 12 参考文献 ................................................................................................... 12
一阶常微分方程的初等解法
摘 要：本文对一阶常微分方程的初等解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量分离方程，线性微分方程，恰当微分方程，一阶隐式方程的初等解法． 关键词：一阶常微分方程；常微分方程；初等解法
Elementary Solution of First-order Differential Equations Abstract: Elementary solution of first-order differential equations is summarized simply in the paper, and some examples are applied to analyze the elementary solution of equation of separated variables, linear differential equations, exact differential equations, first-order implicit equation．
Keywords: first-order differential equations; ordinary differential equations; elementary solution
前言
一阶常微分方程是常微分方程中基本的一类微分方程，其一些基本解法是整个常微分方程的基础，下面就一阶常微分方程的初等解法做主要的讨论．
1．变量分离方程
1.1变量分离方程 dy?f(x)?(y) (1.1) dx
其中f(x)，?(y)为关于x，y的连续函数，为变量分离方程．
若?(y)?0，(1.1)变形为
dy?f(x)dx， ?(y)
积分得
dy??(y)??f(x)dx?C， (1.2)
此为(1.1)的解．
若?(y)?0，若?y0使?(y0)?0，则y?y0也是(1.1)的解．
注 当y?y0不包含于(1.2)时要要特别补上解y?y0． 例1[1] 求解方程dy?y2
dx??x2．
解 当y??1时，方程的通积分为
?dy
?y2??dx?x2?C，
即 arcys?ianrcxs?iCn， 即 y?sin(axr?cC)s，i n 另外，方程还有解y??1，不包含在通解中．
1.2可化为变量分离方程
(1)齐次微分方程
dy
dx?g(y
x)
其中g(u)是u的连续函数．
作变量变换
u?y
x，
于是y?ux，从而
dy
dx?u?xdu
dx，
把(1.4)，(1.5)代入(1.3)得
xdu
dx?u?g(u)，
即
du
dx?g(u)?u
x，
则(1.6)为可分离变量方程的解．
注 若有u0使g(u)?u?0，则y?u0x为(1.3)的解． 例2[2] 求解方程xdy
dx?2xy?y (x?0)．
1 (1.3 (1.4 (1.5 (1.6 ) ) ) )
解 将方程变形为
以dyyy?2?， dxxxydydu?u及?u?x代入得 xdxdx
xdu?2， dx
分离变量得
du
2u?dx
x，
两边积分得
u?lnx?C， 即当lnx?C?0时
u?(lnx?C)2，
另外，方程还有解
u?0，
此解并不包含于(1.7)中．
(2)形如
dya
dx?1x?b1y?c1
a2x?b2y?c2
其中a1，b1，c1，a2，b2，c2均为常数． ?i?c1?c2?0
dya1x?b1y
dx?a
2x?b2y
即
ay
dy?1?b1dxay 2?b2x
用变量代换y
x?u即可化为可分离变量的微分方程．
2 (1.7 (1.8 ) )
?ii?a1b1c??k?1 a2b2c2
令u?a2x?b2y
则
ku?c1dudy ?a2?b2?a2?b2dxdxu?c2
是可分离变量的微分方程．
?iii?a1b1? a2b2
若c1，c2不全为零，则
?a1x?b1y?c1?0 ?ax?by?c?0?222
代表oxy平面上的两条相交的直线有且只有唯一的交点．设为??,??
?X?x??令?，则上述方程变为 Y?y???
?a1X?b1Y?0 ??a2X?b2Y?0
则(1.8)变为?x?dXa1X?b1Y?为可分离变量的微分方程． ??g???dYa2X?b2Y?y?
注 若c1?c2?0，则为?i?的情形．
dyey?3x[2]例3 求解方程??0． dxy
dy1y23x??ee，即 解 原方程可以变形为dxy2
de?y
?2e3x， dx2
分离变量得
de?y?2e3xdx，
3 2
积分得
e?y?2e3x?C，
此即为原方程的解． 2
2．线性微分方程
2.1一阶非齐次线性微分方程
形如
dy?p(x)y?Q(x) (2.1 )dx
为一阶非齐次线性微分方程，其中p(x)，Q(x)均为考虑区间上关于x的连续函数．
例4[3] 求解方程dyayx?1?? ?a为常数?． dxxx
解 此方程为一阶非齐次线性微分方程．
首先考虑齐次线性微分方程
dyay?， dxx
其通解为y?cxa，微分得
dydc(x)a?x?ac(x)xa?1， dxdx
代入原方程得
dc(x)?x?a?x?a?1， dx
积分得
x1?ax?ac(x)???C， 1?a?a
从而，原方程的通解为
x1??cxa (a?0,1)， 1?aa
dyx?1?当a?0时，方程变为为可分离变量的微分方程． dxxy?
分离变量，积分得
?， y?x?lnx?C ?C为任意的常数
当a?1时，方程变为dyyx?1??，为一阶非齐次线性微分方程 dxxx
4
其通解为
y?xlnx?cx?1．
2.2恰当微分方程
若一阶微分方程
M(x,y)dx?N(x,y)dy?0 (2.2 )
的左端恰好是某个二元函数的全微分，即
M(x,y)dx?N(x,y)dy?du(x,y)??u?udx?dy ?x?y
则(2.2)为恰当微分方程，其中M(x,y)，N(x,y)为某矩形区域上连续且具有连续的一阶偏导数．
那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢，下面给出其判别方法． 若(2.2)为恰当微分方程，则
M?
N??u (2.3 ) ?x?u (2.4 ) ?y
对(2.3)，(2.4)分别求关于y，x的偏导数，有
?M?2u ??y?x?y
?N?2u ??x?y?x
由?N?M，的连续性，可知 ?x?y
?2u?2u ??x?y?y?x
故?M?N?，此即为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件． ?y?x
下面来讨论(2.2)的通解形式
5
由(2.3)知
u??M(x,y)dx??(y)
??y?是y的可微函数，下面来求??y?使??y?也满足 (2.4)
?u?d?(y)?M(x,y)dx??N ?y?y?dy
由此知
d?(y)??N??M(x,y)dx dy?y
下证N??M(x,y)dx与x无关即可． ?y?
??N?????N?????N?MN??M(x,y)dx????M(x,y)dx?????M(x,y)dx????0?x?x?x??y?x?y?x?x?y???
所以左边与x无关．
积分得 ??
?(y)???N??
所以 ???M(x,y)dx?dy ?y??
???u(x,y)??M(x,y)dx???N??M(x,y)dx?dy ?y??
从而，原方程的通解为
???u(x,y)??M(x,y)dx???N??M(x,y)dx?dy?C ?y??
C为任意常数．
例5[4] 求解方程3x2?6xy2dx?6x2y?4y3dy?0． 解 由于 ????
M?x,y??3x2?6xy2，N?x,y??6x2y，
所以
6
?N?M?12xy， ?12xy，?x?y
因此原方程为恰当微分方程．
现在求u使其满足
?u?3x2?6xy2 (2.5 )?x
?u?6x2y?4y3 (2.6 )?y
由(2.5)得
u??3x2?6xy2dx???y??x3?3x2y2???y? (2.7 )
为了确定??y?对(2.7)求关于y的导数
?ud??y??6x2y??6x2y?4y3， ?ydy
即得
d??y??4y3， dy
两边积分得
??y??y4，
所以
u?x3?3x2y2?y4，
从而，原方程的解为
x3?3x2y2?y4?C．
注 对于一些恰当微分方程不需要如此复杂的过程，通过观察可以采用“分项组合”的方法．
?1?1xyy?yxx1???sin?cos?1dx?cos?sin?2?dy?0． 例6[4] 求解方程?22?y???yxxxyyy????x
解 原方程可以变形为
7
sin?x?1xy?y1?dy??dx?dy?cos?dx?dy?dx??0， ??222??y?yy?x?xx?y
即
sinx
yd???x?
?y????cosy?y?dy
xd??x???dx?y2?0，
即
?d???cosx???y?
x???dx?d???1?
?y???d??sin?y????0，
所以，原方程的通解为
siny
x?cosx
y?x?1
y?C，
同理，可以得到原方程只含有与y有关的积分因子的充要条件是 ?M?
?y?N
?x
?M???y?，
这里??y?仅为y的函数．求得原方程的一个积分因子
u?e???y?dy ．
3．一阶隐式微分方程
3.1可以解出y?x?的方程
(1)形如
y?f??dy?
?x,dx??
这里函数f???x,dy?
dx??有连续的偏导数．
引进参数p，dy
dx?p，则(3.1)变为
y?f?x,p?
两边求关于x的导数
8 (3.1)
p??f?fdp? (3.2 )?x?pdx
其解的形式为
p???x,c?
所以
y?f?x,??x,c??
注 若(3.2)解的形式为x???p,c?，则得到的参数(3.1)形式的解为
?x???p,c? ??y?f???p,c?,p?
其中p为参数，c为任意的常数．
(2)形如
?dy? x?f?y,? (3.3 )?dx?
?dy?其中f?y,?有连续的偏导数． ?dx?
引进参数p，dy?p，则(3.3)变为 dx
x?f?y,p?，
两边求关于y的导数有
1?f?fdp??， p?y?pdy
设其通解为??y,p,c??0则(3.1)的通解为
?x?f?y,p?． ????y,p,c?0?
dy?dy?例7[5] 求解方程???2x?y?0． dx?dx?
解 令dy?p，则原方程可以变形为 dx3
9
p3?2px?y?0，
解出y
y?p3?2px，
两边求关于x的导数
p?3p2dpdp?2p?2x， dxdx
即
3p2dp?pdx?2xdp?0，
当p?0时
3p3dp?p2dx?2pxdp?0，
即
?3p4
2?d??px??4??0， ??
从而有
3p4
?p2x?c， 4
解出x
c3p2
， x?2?4p
进一步
2cp3
， y??p2
所以原方程的解为
??x????y???c3p2?4p22cp?p23 ?p?0?．
易知，当p?0时，y?0也是原方程的解． 10
3.2不显含y?x?的方程
(1)形如
F?x,y'??0 (3.4 ) 记p?y'?dy
dx，找出原方程的参数形式
??x???t?
?p???t? t为参数
从而
dy???t??'?t?dt
两边积分得
y????t??'?t?dt?c
得到参(3.4)数形式的通解为
??x???t?
???y????t??'?t?dt?c
(2)形如
F?y,y'??0
记p?y'?dy
dx，找出原方程(3.5)的参数形式
??y???t?
?p???t? t为参数，
由dy?pdx得，?'?t?dt???t?dx，由此得
?'
dx??t?
?tdt， x???'?t?
?t?c，
于是
???x???'?t?
?dt?c，?t ?y???t?
11 (3.5 )
为方程参数形式的通解，其中c为任意的常数．
例8[5] 求解方程y'3?x31?y'?0．
解 令p?y'?dy?tx，则原方程的参数形式为 dx??
?1?t3
?x?t， ??p?1?t3?
?2t3?1?41?dy?pdx?1?t?2t?t?dt， ?2?t2t???3?
所以
1?2t5t21?4y???2t?t?2?dt?c????c， 52tt??
从而原方程的通解为
?1?t3
x???t． ?52?y?2t?t?1?c?52t?
结束语
一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，是常微分方程发展初期数学家辛勤成果．对于一个给定的常微分方程，不仅要准确判断它属于何种类型，还要注重学习解题的技巧，从中总结经验，对各种方法的推导进行分析归纳，并根据方程特点，引进适当的变换，将方程转化为能求解的类型．
参考文献：
[1] 东北师范大学数学系．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社出版，1986.
[2] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社出版，2008.
[3] 徐品芳．数学简明史[M]．北京：学苑出版社出版，1992.
[4] 石瑞青，闫晓红，齐霄霏，郭红建．常微分方程全程导学及习题全解[M]．北京：中国时代经济出版社，2009.
[5] 沈宇春，梁俊兰．一阶微分方程的初等解法[J]．科技信息．2011(08).
12