《光的衍射》计算题
1. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长l1和l2，垂直入射于单缝上．假如l1的第一级衍射极小与l2的第二级衍射极小相重合，试问
(1) 这两种波长之间有何关系？
(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？
解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得
由题意可知 
, 
代入上式可得 
3分
(2) 
(k1 = 1, 2, ……)
(k2 = 1, 2, ……)
若k2 = 2k1，则q1 = q2，即l1的任一k1级极小都有l2的2k1级极小与之重合． 2分
2. 波长为600 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直入射到宽度为a=0.10 mm的单缝上，观察夫琅禾费衍射图样，透镜焦距f=1.0 m，屏在透镜的焦平面处．求：
(1) 中央衍射明条纹的宽度D x0；
(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x2 ．
解：(1) 对于第一级暗纹，有a sinj1≈l
因j1很小，故 tgj1≈sinj1 = l / a
故中央明纹宽度 Dx0 = 2f tgj1=2fl / a = 1.2 cm 3分
(2) 对于第二级暗纹，有 a sinj2≈2l
x2 = f tgj2≈f sinj2 =2f l / a = 1.2 cm 2分
3. 在用钠光(l=589.3 nm)做光源进行的单缝夫琅禾费衍射实验中，单缝宽度a=0.5 mm，透镜焦距f=700 mm．求透镜焦平面上中央明条纹的宽度．(1nm=10-9m)
解： a sinj = l 2分
= 0.825 mm 2分
Dx =2x1=1.65 mm 1分
4. 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm．缝后放一个焦距f = 400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm，求入射光的波长．
解：设第三级暗纹在j3方向上，则有
a sinj3 = 3l
此暗纹到中心的距离为 x3 = f tgj3 2分
因为j3很小，可认为tgj3≈sinj3，所以
x3≈3fl / a ．
两侧第三级暗纹的距离是 2 x3 = 6f l / a=8.0mm
∴ l = (2x3) a / 6f 2分
= 500 nm 1分
5. 用波长l=632.8 nm(1nm=10?9m)的平行光垂直照射单缝，缝宽a=0.15 mm，缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7 mm，求此透镜的焦距．
解：第二级与第三级暗纹之间的距离
Dx= x3 –x2≈f l / a． 2分
∴ f ≈a Dx / l=400 mm 3分
6. (1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，l1=400 nm，l2=760 nm (1 nm=10-9 m)．已知单缝宽度a=1.0×10-2 cm，透镜焦距f=50 cm．求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离．
(2) 若用光栅常数d=1.0×10-3 cm的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．
解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知
(取k＝1 ) 1分
1分
, 
由于 
, 
所以 
1分
1分
则两个第一级明纹之间距为
=0.27 cm 2分
(2) 由光栅衍射主极大的公式
2分
且有 
所以 
=1.8 cm 2分
7. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，l1=440 nm，l2=660 nm (1 nm = 10-9 m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角j=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d．
解：由光栅衍射主极大公式得
4分
当两谱线重合时有 j1= j2 1分
即 
．．．．．．． 1分
两谱线第二次重合即是
， k1=6， k2=4 2分
由光栅公式可知d sin60°=6l1
=3.05×10-3 mm 2分
8. 一束具有两种波长l1和l2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长l1的第三级主极大衍射角和l2的第四级主极大衍射角均为30°．已知l1=560 nm (1 nm= 10-9 m)，试求:
(1) 光栅常数a＋b
(2) 波长l2
解：(1) 由光栅衍射主极大公式得
3分
(2) 
nm 2分
9. 用含有两种波长l=600 nm和
500 nm (1 nm=10-9 m)的复色光垂直入射到每毫米有200 条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为f=50 cm的凸透镜，在透镜焦平面处置一屏幕，求以上两种波长光的第一级谱线的间距Dx．
解：对于第一级谱线，有：
x1 = f tgj1， sinj1= l / d 1分
∵ sinj≈tgj ∴ x1 = f tgj1≈f l / d 2分
l和l＇两种波长光的第一级谱线之间的距离
Dx = x1 –x1＇= f (tgj1 – tgj1＇)
= f (l－l＇) / d=1 cm 2分
10. 以波长400 nm─760 nm (1 nm＝10-9 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．
解：令第三级光谱中l=400 nm的光与第二级光谱中波长为l¢ 的光对应的衍射角都为q， 则 d sinq =3l，d sinq =2
= (d sinq / )2=
600nm 4分
∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm 1分
11. 氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长l1=0.668 mm的谱线的衍射角为
j=20°．如果在同样j角处出现波长l2=0.447 mm的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少？
解：由光栅公式得
sinj= k1 l1 / (a+b) = k2 l2 / (a+b)
k1 l1 = k2 l2
将k2/ k1约化为整数比k2/ k1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ......
k2/ k1 = l1/ l2=0.668 / 0.447 3分
取最小的k1和k2， k1=2，k2=3， 3分
则对应的光栅常数(a + b) = k1 l1 / sinj =3.92 mm 2分
12. 用钠光(l=589.3 nm)垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°．
(1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．
(2) 若以白光(400 nm－760 nm) 照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角．
(1 nm= 10-9 m)
解：(1) (a + b) sinj = 3l
a + b =3l / sinj ， j=60° 2分
a + b =2l'/sin
=30° 1分
3l / sinj =2l'/sin
1分
l'=510.3 nm 1分
(2) (a + b) =3l / sinj =2041.4 nm 2分
=sin-1(2×400 / 2041.4) (l=400nm) 1分
=sin-1(2×760 / 2041.4) (l=760nm) 1分
白光第二级光谱的张角 Dj =
= 25° 1分
13.某种单色光垂直入射到每厘米有8000条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为
30°那么入射光的波长是多少？能不能观察到第二级谱线？
解：由光栅公式 (a＋b)sinj =kl
k =1， f =30°，sinj1=1 / 2
∴ l=(a＋b)sinj1/ k =625 nm 3分
实际观察不到第二级谱线 2分
若k =2, 则 sinj2=2l / (a + b) = 1, j2=90°
14. 用波长为589.3 nm (1 nm = 10-9 m)的钠黄光垂直入射在每毫米有500 条缝的光栅上，求第一级主极大的衍射角.
解： d=1 / 500 mm，l=589.3 nm，
∴ sinq =l / d=0.295 q =sin-10.295=17.1° 3分
第一级衍射主极大： d sinq = l 2分
15. 一块每毫米500条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱．钠黄光包含两条谱线，其波长分别为589.6 nm和589.0 nm．(1nm=109m)求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度．
解：光栅公式， d sinq =kl．
现 d=1 / 500 mm=2×10-3 mm，l1=589.6 nm，l2=589.0 nm，k=2．
∴ sinq1=kl1 / d=0.5896， q1=36.129° 2分
sinq2=kl2 / d=0.5890， q2=36.086° 2分
dq=q1－q2=0.043° 1分
16.波长范围在450～650 nm之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为35.1 cm．求透镜的焦距f． (1 nm=10-9 m)
解：光栅常数 d = 1m / (5×105) = 2 ×10-5m． 2分
设 l1 = 450nm， l2 = 650nm,
则据光栅方程，l1和l2的第2级谱线有
dsinq1 =2l1； dsinq2=2l2
据上式得： q1 =sin-12l1/d＝26.74°
q2 = sin-12l2 /d＝40.54° 3分
第2级光谱的宽度 x2 -x1 = f (tgq2-tgq1)
∴ 透镜的焦距 f = (x1 -x2) / (tgq2 -tgq1) ＝100 cm． 3分
17.设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察钠黄光（l=589 nm）的光谱线．
(1)当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次km是
多少？
(2)当光线以30°的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入
射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次
是多少？ (1nm=10-9m)
解：光栅常数d=2×10-6 m 1分
(1) 垂直入射时，设能看到的光谱线的最高级次为km，则据光栅方程有
dsinq =kml
∵ sinq ≤１ ∴ kml / d ≤1 ， ∴ km≤d / l=3.39
∵ km为整数,有 km=3 4分
(2) 斜入射时，设能看到的光谱线的最高级次为，则据斜入射时的光栅方程有 
∵ sinq＇≤1 ∴ 
∴ 
=5.09
∵ 为整数，有 =5 5分
18. 一双缝，缝距d=0.40 mm，两缝宽度都是a=0.080 mm，用波长为l=480 nm (1 nm = 10-9 m) 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f =2.0 m的透镜求：
(1) 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距l；
(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N和相应的级数．
解：双缝干涉条纹：
(1) 第k级亮纹条件： d sinq =kl
第k级亮条纹位置：xk = f tgq ≈f sinq ≈kfl / d
相邻两亮纹的间距：Dx = xk+1－xk=(k＋1)fl / d－kfl / d=fl / d
=2.4×10-3 m=2.4 mm 5分
(2) 单缝衍射第一暗纹： a sinq1 = l
单缝衍射中央亮纹半宽度：Dx0 = f tgq1≈f sinq1
≈fl / a＝12 mm
Dx0 / Dx =5
∴ 双缝干涉第±5极主级大缺级． 3分
∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9 1分
分别为 k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹 1分
或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论的3分．