常微分方程发展简史—解析理论与定性理论阶段

第三讲常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段

3、常微分方程解析理论阶段：19世纪

19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy开创的. 在Cauchy之后,重点转向大范围的研究。

（常微分方程解析理论：复域上的常微分方程理论；应用复变函数论研究微分方程的性状，以及把微分方程的解视为由方程定义的解析函数，并直接从微分方程本身研究解的性质的理论。这是基于A.-L.柯西的基本定理,即在对微分方程作极为广泛的假设下，它的积分是复变数的解析函数。常微分方程解析理论与复变函数理论的发展密切相关。它的先驱性工作是由柯西、（G.F.）B.黎曼、I.L.富克斯、（J.-）H.庞加莱以及P.班勒卫等人所作。）

级数解和特殊函数

这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.

常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel方程.

                         

其中参数和都可以是复的.

对Bessel来说, 和都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi给Leibnitz的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel、Euler、Fourier、Poisson等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel在研究行星运动时作出的. 对每个, 此方程存在两个独立的基本解, 记作和, 分别称为第一类Bessel函数和第二类Bessel函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式

1818年Bessel证明了有无穷多个零点. 1824年, Bessel对整数给出了递推关系式

和其他的关于第一类Bessel函数的关系式.

后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel函数及其表达式和关系式. Bessel为微分方程解析理论作出了巨大贡献。

解析理论中另一重要内容是Legendre方程的级数解和Legendre多项式方面的结果. 1784年, Legendre研究了Legendre方程, 给出了幂级数形式的解, 得到了Legendre多项式. 与此同时, Hermite C研究了方程, 得到了其幂级数解,当为非负偶数时即为著名的Hermite多项式. Tchebyshevy在研究方程的解时, 得到了Tchebyshevy多项式.

1821年, Gauss研究了Gauss几何方程

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这个方程及其级数解

早已为人们所熟知了，因为它已由Euler研究过. 此级数称为超几何级数, 包含了几乎所有的当时已知的初等函数和许多像Bessel函数、球函数那样的超越函数. 除了证明此级数的一些性质外，Gauss还建立了著名的关系式

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Gauss还建立了此级数的收敛性。记号应归源于Gauss.

这一时期关于常微分方程级数解和特殊函数方面的工作还有很多, 这里不一一介绍.

奇点理论、自守函数

19世纪中期，常微分方程的研究走上了一个新的历程。存在性定理和Sturm-Liouville理论都预先假设在考虑解的区域内，微分方程包含解析函数或至少包含连续函数。另一方面，某些已经考虑过的微分方程，如Bessel方程、Legendre方程、Gauss超几何方程，如果表示成具有变系数的线性齐次$n$解常微分方程且最高阶导数项系数为1时，它们的系数具有奇异性，在奇异点的邻域内级数解的形式是特别的，所以数学家们便转而研究奇点邻域内的解，

也就是一个或多个系数在其上奇异的那种点的邻域内的解。对于这个问题，Gauss关于超几何级数的工作指明了道路。先导者是Riemann和Fuchs（Weierstrass的学生和他在柏林的继承者）。此理论被称为线性常微分方程的Riemann-Fuchs L奇点理论，这是19世纪常微分方程解析理论中一个非常重要的成果。奇点邻域内的解的研究是由Briot(1866年)和Bounque(1856年)起始的，他们的关于一阶线性方程的结果很快就得到了推广，在这个新领域中，人们的注意力集中于形为

的线性常微分方程，其中除在孤立奇点外是复变数$z$的单值解析函数。此方程之所以受到重视，是因为它的解包括所有初等函数甚至某些高等函数。

这方面的重要工作还有Briot A A和Bouquet J的由常微分方程出发建立的椭圆函数（特殊的自守函数）的一般理论、Fuchs和Poincare 的关于一阶非线性微分方程的理论, 最后是1882年至1884年Poincare J的工作和Klein F在1884年的工作由于自守函数理论而使微分方程解析理论臻于顶峰. 这样, 微分方程和自守函数建立了密切的联系.

当自守函数理论还正处在创立的阶段时，天文学方面的工作激起了对一个二阶常微分方程的兴趣。此方程源于著名的体问题。体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。我们知道地球和月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。所以大家不难想象周期运动可能是三体问题的一种解。

1877年Hill George William（美国数学家）私人出版了关于月球近地点运动的一篇具有卓越创见性的论文。1878年，他在AJM上又发表了一篇关于月球运动的论文，创立了周期系数的线性齐次微分方程的数学理论。Hill的一个基本思想是对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解。于是他对这个周期解变差写出方程，便得到了一个带有周期系数的四阶线性常微分方程组。知道了某些积分后，他将此四阶方程组化简为单独一个二阶线性微分方程

其中为周期的偶函数。Hill证明了此二阶方程存在周期解，因而证实了月球近地点的运动是周期性的，开创了周期系数方程的研究。

在他的证明中，首先将展开为Fourier级数，然后用待定系数法确定级数解。他的方法用到了无穷行列式和无穷线性方程组，证明不够严格，他的工作一直受人嘲笑。1885-1886年，Poincare证明了Hill的证明手法的收敛性。Poincare对Hill的成就的注意和完善，使Hill和有关课题著名了。

Poincare参与了Hill方程的研究，在Hill的工作的刺激下，Poincare为支配行星运动以及行星和卫星轨道稳定性的微分方程的周期解的研究开辟了一条新的途径，开创了常微分方程定性研究的新时代。

4、常微分方程定性理论阶段：19世纪末期和20世纪初期

从时间上看, 19世纪末期和20世纪初期是常微分方程发展的第三个阶段. 这个阶段常微分方程在三个方面有重大发展, 都与Poincare的工作相联系。一是微分方程的解析理论, 前面已作论述；二是Poincare的定性理论；三是Liapunov的稳定性理论.

Poincare的定性理论

在代数学中，五次代数方程没有一般的根式求解公式这一事实并不防碍Sturm创立用代数方法决定实根个数的新成就。类似地，在非线性方程一般不能求``初等解"的事实下，Poincare独立开创了常微分方程实域定性理论这一新分支。

1881-1886年, Poincare 同一标题下连续发表了四篇论文,开创了常微分方程实域定性理论. 他只求通过考察微分方程本身就可以回答的关于稳定性等问题的方法, 为微分方程定性理论奠定了坚实的基础.

1892年至1898年间, Poincare刻画了天体力学系统运动的特征, 并引导到微分方程定性理论的创立. 他发现微分方程的奇点起着关键作用.

他把奇点分为鞍点、结点、焦点和中心四类, 讨论了解在各种奇点附近的性态. Poincare将他的论文定名为《论微分方程所定义的积分曲线》是突出了他所研究的主题和应用的方法。 这一新分支的内容包括奇点附近积分曲线的分布、极限环（即孤立周期解）、奇点的大范围分布、环面上的积分曲线、以及三维空间周期解附近积分曲线的情形等等。Poincare关于常微分方程定性理论的一系列课题, 成为动力系统理论的开端.

Poincare的定性理论在研究思想上成功突破了常微分方程定量求解的束缚, 其创新之处体现在以下几个方面：由复域的研究又转到实域的研究，由定量研究转向定性研究，由分析方法转为分析和几何方法的有机结合，由函数作为对象的研究转到曲线作为对象的研究，由个别解的研究转到解的集体的研究，由解的解析性质的研究转到解所定义的积分曲线的几何拓扑性质的定性研究，由应用等式转到应用不等式，由局部研究转向全局研究。

常微分方程定性理论另一位主要创始人是挪威数学家Bendixson, 从1900年起，他开始从事Poincare所开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作, 1901年发表了著名论文《由微分方程定义的曲线》。

1926年至1927年Birkhoff G以三体问题为背景继承和发展了Poincare的工作, 创立了动力系统理论. 到了20世纪30年代, 由于新的物理、力学以及工程技术和自动控制等问题的推动, 使微分方程定性理论中的概念、问题和方法又在新的条件下得到发展.

1937年, Andronov A和Pontryagin L提出了结构稳定性概念, 并严格证明了其充要条件, 使动力系统的研究向大范围发展.

由于天体力学，特别是"三体问题"的需要，庞加莱总结了天文学家A.林斯泰特等人的方法，系统地整理在《天体力学的新方法》一书中，并加以发展成为摄动理论或小参数理论。

Liapunov的稳定性理论

稳定性理论是微分方程理论的重要组成部分, 研究方程的解当时间趋于无穷时解的性态. 该理论在自然科学、工程技术、社会经济等方面有着广泛的应用。

众所周知, 任何一个实际系统总是经受着各种各样的干扰. 对于某些系统，微小干扰的影响并不显著，而对另外一些系统，微小干扰对系统的影响可能很显著. 承受干扰之后, 首先要考虑的性能就是系统能否稳妥地保持预定的运动或工作状态, 这就是稳定性. 严格地说, 数学模型仅是实际系统的近似刻画, 这主要是由于在建立数学模型过程中, 不得不忽略某些次要因素, 或者存在测量误差或计算的舍入误差等. 近似的数学模型能否如实地反映客观实际的动态, 在某种意义上说, 也是一个稳定性问题.

稳定性的概念, 最早源于力学. 一个力学系统具有某种平衡状态, 在微小干扰的作用下, 这种平衡状态能否保持, 这就是稳定性的雏形. 在静力学方面, 早在17世纪, Torricelli E就给出了Torricelli原理: 若物体仅受重力作用, 则当其重心位置最低时, 其平衡是稳定的, 当重心位置最高时, 其平衡是不稳定的; 后来, Laplace P证明了太阳系的稳定性, 建立了微分方程模型并提出了Laplace方程; 1788年, Lagrange L也证明了太阳系的稳定性, 建立了力学系统孤立平衡的稳定性定理: 当作用于系统的力函数在这一平衡位置有极大值时, 平衡是稳定的 (Dirichlet J第一个给出了证明), 奠定了近代力学的基础; 1868年, Maxwell J关于离心调速系统的研究以及Thomson W和Tait P也采用过稳定性的概念, 但都没有给出稳定性的精确的数学定义; 1877年, Routh E给出了某些循环运动稳定性的判别法; 1895年, Hurwitz A也提出了现在的Routh-Hurwitz判别法, 但这些工作都有一定的局限性, 没有在理论上解决一般稳定性问题. 至于对某些具体问题所建立的非线性微分方程组稳定性的研究, D'Alambert,

Lagrange, Maxwell, Minkowski, Ctodola等都曾应用一次近似的线性方程组来代替非线性微分方程组研究稳定性, 但未能从数学上证明这种代替的合理性. 稳定性的一般理论迟迟未建立起来.

1892年, Lyapunov A在其博士学位论文(运动稳定性的一般问题)中将Poincare 关于在奇点附近积分曲线随时间变化的定性研究发展至高维一般情形而形成专门的“运动稳定性”分支. Poincare在平面上引入的“无切线段”的概念被Liapunov推广成高维空间中的“Liapunov函数”的概念。Liapunov第一次给出了运动稳定性的精确的数学定义, 建立了运动稳定性的一般理论. 给出了判定运动稳定性的普遍的数学方法与理论基础.

1892年, Liapunov在其博士学位论文中提出了研究稳定性的两类方法. 第一类方法是归结为把一般解表示成某种级数的形式, 称为Liapunov第一方法; 第二类方法是归结为寻找具有某种特性的辅助函数, 称之为Liapunov第二方法或直接法.

Liapunov第一方法在理论上是比较完整的, 但一般推理较长, 条件也较多, 它要确定解的幂级数, 判定它的收敛性, 确定一次近似系统的Liapunov示性数的符号与性质等, 但把解表示成级数以及检验级数的收敛性却并非易事, 因此, 这一方法在实用上有很大的局限性,  “第一方法”在20世纪60年代末以前还有一些发展. Liapunov第二方法或直接法虽然减轻了求解的负担, 但构造函数却没有一个普遍的方法可循, 从而引起了一系列需要解决的理论和技术困难, 如的存在性和构造方法等. 近年来, Liapunov第二方法得到了长足的发展, 成为研究稳定性的基本方法.

研究非线性ODEs系统的稳定性, 主要采用Liapunov直接法, Liapunov直接法是整个稳定性理论的核心, 其基本思想是引入一个称为 Liapunov函数的辅助函数, 这一方法的优点在于避免十分困难的方程求解.

1892年, Liapunov以Liapunov函数为基础首先提出了稳定、一致稳定、渐近稳定和不稳定的四个定理(称为Liapunov基本定理), 这四个基本定理奠定了运动稳定性理论的基础. 自此以后, 许多学者对Liapunov直接法的基本理论进行了深入而广泛的研究.

5、20世纪中期以后

20世纪中期起，常微分方程的发展既深又广，进入了一个新的阶段，包括了四个方面的工作。

第一是由于工程技术的需要而产生新型问题和新的分支。如：泛函微分方程、随机微分方程、分数阶微分方程、时标动力学方程等.

第二是由于应用问题需要解析形式的解，虽然明知一般非线性问题得不到精确的解析形式的解，但退而要求给出近似的解析形式的解。这方面包括PLK（庞加莱-莱特希尔-郭永怀）方法、WKB（文策尔-克拉默斯-布里尤安）方法、КБМ（克雷洛夫-博格柳博夫-米特罗波利斯基）方法、多尺度法、匹配法、奇摄动法、区域分析法，等等；以及由于电子计算机的出现而产生的其他近似的解析形式的解的求法。

第三是电子计算机的出现与发展对于常微分方程研究的推动及由此产生的成果。包括常微分方程的数值求解法（如“刚性”方程的求解），常微分方程的数值模拟，（如用于洛仑茨方程的定性研究），常微分方程中若干公式的机器推导(如中心焦点判定公式的机器推导)，等等。常微分方程由解析解难求而转到定性研究，当定性研究也困难时,又转而用计算机“强攻”, 得出一定的数值模拟结果后，为定性研究提供了感性的新信息。这方面的发展正在兴起。

第四是常微分方程理论本身向高维数、抽象化的方向发展。包括从普通空间常微分方程向抽象空间常微分方程发展，具体动力系统向抽象动力系统发展，实域定性理论向复域定性理论发展，二维平面上的一维积分曲线的研究向四维空间中二维积分曲面的研究发展等等。

常微分方程在实际问题中有着广泛的应用. 为了弄清楚一个实际系统随时间变化的规律, 需要讨论微分方程解的各种性态. 通常有三种主要方法: 求方程的解析解(包括级数形式的解); 求方程的数值解; 对解的性态进行定性分析. 三种方法各有特点和局限性, 在ODEs的研究中, 它们相互补充, 相辅相成.