一阶微分方程的应用

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(...计算机学院，...1201)

摘  要：学习数学知识最重要的一点就是应用，文章通过对一阶微分方程的典型例题的讲解总结出解决一阶微分方程应用的一般方法。

关键词：一阶微分方程；应用；方法

1 引       言

在学习微分方程的过程中，我们通常把自己的注意力集中到了怎么去解那些微分方程，而有意无意地忽略了一些微分方程的应用。的确，复杂多变的微分方程的解法是学习微分方程的一个重要点，但是，我们不能忘了，任何数学知识的学习都是为了应用，虽然一些常微分方程的应用可能解起来比较简单，但是，构造模型的第一步却是对于一些人来说比较困难的。有一些人对于解各种微分方程得心应手，但是一遇到常微分方程的应用就不知道从哪里下手。下面，我们通过几个常微分方程的经典应用题来总结一下解决常微分方程应用的一般方法。

 

2 几个常微分方程应用的典型例题

2.1容易建模，但是需要我们知道些基本的其它科目的知识(书本P94 第六题)

一个质量为m的物体，在介质中静止下落。设介质阻力与运动速度成正比，并且介质的比重是物体的比重的,落体的极限速度是24m/s.试求该物体3s末的速度和运动过的距离。

分析：这种类型的题目在高中的物理里面经常接触过，所以建立模型比较简单。

解:   由于介质阻力与速度呈正比，所以，设阻力f = kv。

由ma = F可知，.

因为极限速度为24m/s，此时加速度为0，即，所以,

物体静止下落，我们又可以得到初始条件，。

所以，我们可以得到：

到现在，条件足够了，显然，这是一个变量可分离的方程，代入数据我们可最终求得：

，.

小结：这类题目是我们所接触的最简单的常微分方程应用的一种类型，因为这些题目很容易让我们抓住关系，因为以前高中的时候做的多了，唯一需要注意的是这类题目一般要求一些简单的物理知识，比如说F = ma,由比如说在介质中重力加速度的变化，如果这类额外的知识我们能够掌握了，那解题就不在话下了。

2.2题目中会告诉我们模型的建立方法

物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例，假设室温为20时，一物体由100冷却到60需经过20分钟，试问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始的100降低到30？

分析：题目简单，因为题目的第一句话已经告诉了我们模型的建立方法。

解：设物体的温度函数为，由题意。

对应的齐次方程为，分离变量得，解得。

设原方程的解为，代入原方程得，

解得。

又得，得。

由题意，解得

小结：类似这类题目，一般都是给我们一个崭新的场景，然后让我们自己构造出相应的数学模型，比如说这道题目，是温度和时间的模型，而且这道题目的第一句话就已经提示你了用什么变量怎么去建立这个模型，所以还是比较简单的。

2.3不容易建模的题目

一场降雪开始于午前某时刻，并持续到下午，雪量稳定，某人从中午开始清扫某街的人行道，他的铲雪速度和清扫面宽度均不变，到下午2点他扫了两个街区，到下午4点他又扫了一个街区，问雪是什么时候开始下的？

第一感觉：看到题目感觉少了好多条件。读了之后云里雾里。

解：设午前至中午降雪量为,单位时间降雪量为，时刻行进的路程为

因其行进速度与降雪量成反比，故有

解得。又由得

由得，由得   

从而，即

设，则，。

小结：类似这种题目，一些关键的信息是需要我们来提取的，比如说行进速度与降雪量成反比，而且，这种题目给的信息感觉特别少，若要建模需要假设的东西特别多，这是这类题目的一个困难点。遇到这类题目，我们要好好读题，可以适当简化信息（比如这道题目还可以将街道考虑为一条直线，即清扫面宽度为0.并且设一个街区的长度为1），这样的话建模就容易多了。

3 解决常微分方程应用的归纳

解决常微分方程的应用方面问题的最难的地方就是建立模型，这点对我们的要求最高，我们要根据实际的问题建立适当的微分方程，这需要我们对问题有深刻的理解，并进行必要的假设，忽略一些次要的因素，选取变量，建立起变量之间的关系。

所以，在日常生活中遇到常微分方程之类的问题的时候，第一，读题目时，我们应该格外仔细，注意题目中所有的条件，并判断它们是否可以利用，做出相应的删选；第二，抓住各个变量之间的关系，特别是XX与XX呈正比，这些是建立常微分方程的必要条件！第三，找到变量变化的初始值，这是对常微分方程求解的关键；第四，对做起来比较困难的题目做出总结和归纳，看自己哪些地方需要增加练习，并做好整理。

希望这对大家有所作用。

4 常微分方程的实际应用

如常微分方程的应用，数学学习的最终目的是为了解决生活中的问题，做应用题知识面向实际的一小部分，我们还应该看看些实际问题的例子。这些实际的例子比一般的题目更复杂，但也是最有用的，也可以激发我们对数学的兴趣。如果有空的话可以看看《常微分方程及其应用》的P91和p92页，里面列举了放射性废物的处理和我国人口发展预测的两个问题，并且用了常微分方程的知识对问题进行了求解，相信大家看后一定获益匪浅！

参考文献：

常微分方程及其应用 （第二版） 周义仓等          ---科学出版社

第二篇：常微分方程课程论文参考课题

常微分方程课程论文参考课题

1．              人口预测模型研究

2．              传染病模型研究

3．              经济增长模型研究

4．              饮酒驾车模型研究

5．              吸烟模型研究

6．              烟雾扩散模型研究

7．              捕鱼业持续收获模型研究

8．              军备竞赛模型研究

9．              种群竞争模型研究

10．         种群依存模型研究

11．         食饵—捕食者模型研究

12．         船舶航行的微分方程模型

13．         供应链系统的微分方程模型

14．         航空发动机的微分方程模型

15．         广告投入策略的微分方程模型

16．         河流污染的微分方程模型

17．         动态投入产出模型

18．         矿产资源投入产出模型

19．         水产品价格模型

20．         企业员工动态稳定模型

21．         信贷风险管理问题

22．         价格动态模型（价格系统）

23．         污水处理系统模型

24．         动态金融资产配置的微分方程模型

25．         汽车悬架系统的微分方程模型

26．         地震预报的微分方程模型

27．         网络数据传输的微分方程模型

28．         ***中的微分方程模型

29．         微分方程理论在***方面的应用

30．         二阶常系数微分方程的解法研究

31．         一阶常系数微分方程的积分因子研究