一元一次方程

1.         关于x的方程的根是3 ， 则 a  的值是（       ）。

解方程

只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

2.         等式的基本性质：(1)对称性 （2）传递性 （3）等式两边同时加减一个数或一个整式，或者同时乘除一个不为零的数，等式同样成立。        依据等式的基本性质，我们可以对一元一次方程进行同解变形。

移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程一边移到另一边，依据是等式的基本性质。

练习： ；关于x 的方程无解，则 a 的值是

二元一次方程组

1.         的解是

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

2.        

代入法、加减法基本思想就是消元。      对于一般的二元一次方程组；约定四个系数不都为零。那么方程组的解有三种情况：（1）当

时，也就是x的系数和y的系数不成比例时，方程组有且仅有一组解，还可以写成下面的的形式： 。（2）当时，即x的系数和y的系数成比例，但是和常数项不成比例时，方程组没有解。（3）当时，就是x的系数和y的系数和常数项都成比例时，方程组有无穷多组解。

一元一次不等式（组）

1.         解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。

一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。求不等式的解集的过程，就叫解不等式。 在数轴上表示不等式的解集的方法。

2.         若，则有A.；B. ；C.；D.

不等式的基本性质：（1）对于任意两个实数a、b ，在三种情况中，有且仅有一种成立，这叫做三歧性。（2）如果a>b ，那么b<a ，这个性质叫不等关系的互逆性。（3）如果a>b 且b>c ，那么a>c ，这个性质叫不等关系的传递性。（4）两边同时加减同一个数或整式，不等号不变向。（5）两边乘除同一个正数，不等号不变向；两边乘除同一个负数，不等号要变向。

补充（6）如果a>b ， c<d ， 那么 ；（7）如果a>b , c>d ,并且a、b、c、d都是正数，那么ac>bd  （8）如果a>b ，且a、b都是正数，那么 （9）如果a>b ，

c<d ，且a、b、c、d都是正数，那么 ；（10）如果a>b ，且a、b都是正数，n是自然数，那么 （11）如果a>b ，且a、b都是正数，n是大于1的整数，那么

3.         解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来。

解一元一次不等式的步骤：去分母（后分子应加上括号）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 。    解一元一次不等式组时，先求出各个不等式的解集，然后按不等式组解集的四种类型所反映的规律，写出不等式组的解集：不等式组解集的确定方法，若a<b ,则有（1）的解集是 ，即“小小取小”（都是小于，则取小于小的一个）

（2）的解集是 ，即“大大取大”（都是大于，则取大于大的一个）

（3）的解集是 ，即“大小小大取中间”（大于小的一个，小于大的一个）

（4）的解集是空集，即“大大小小取不了”（大于大的一个，小于小的一个）

4.         若a<0 ，关于x 的不等式的解集是___________.

解字母系数的不等式，要掌握ax>b  (或 ax<b) 的形式的解集：

当a>0 时，（或）；当a<0 时，（或） ；当a=0 时，若,不等式无解（或为一切实数），若b<0 ，解为一切实数（或无解）。

练习：不等式的整数解是_________________.

不等式的解集是，那么a 的取值范围是______________.

已知关于x 的不等式组无解，则a 的取值范围是___________________.

一元二次方程

1.         方程的根是

一元二次方程的一般形式为（a、b、c 是已知数，） ，正确理解二次项系数、一次项系数、常数项的概念。

2.         解方程                  

一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：形如的方程，根据平方根的定义，可采用直接开平方法求解。  （2）配方法：两边同除以二次项系数，移项，配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方），直接开平方。 （3）公式法：将方程化为一般形式，确定a、b、c的数值，在a 不等于零的情况下（如果a =0 ，则谈不上求根公式），对判别式进行求值（或化简），若判别式大于或等于零，代入求根公式 。 （4）因式分解法；对于一边是零，另一边易于分解成两个一次因式的一元二次方程，可采用因式分解法来解，一般步骤是：先将方程右边化为零，再把左边分解成两个一次因式的积，然后令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解。

3.         不解方程，判别方程的根的情况。

叫做一元二次方程的根的判别式，

当时，方程有两个不相等的实根；

当时，方程有两个相等的实根；

当时，方程没有实根。

4.         不解方程，判别方程的二根之和与二根之积。

韦达定理：如果一元二次方程的两根为 ，则

可化为一元二次方程的分式方程

1.         方程的增根是

解分式方程，主要有两种方法：换元法和去分母法，体现了由分式方程化为整式方程的思想。根据方程的特点选用适当的方法，切记验根步骤。（去分母后只要验根就可以了，不要与不等式两边同乘以一个负数，不等号要变向  搞混了）

练习：解方程         

2.         关于x的方程有实数根，求m的取值范围。（运用根的判别式，须使二次项系数不为零）

由方程的增根、失根或无解的情况，求字母的值或取值范围，一般地，都是将原方程化为整式方程，再根据根的情况，解决相应问题。若有增根，将增根代入整式方程，求出字母的值，若无解，则方程有增根，同时要考虑化成的整式方程无实根。

练习：若关于x的方程有增根，则a 的值为

      若关于x的方程无解，则m的值是

简单的二元二次方程组

1.         解方程组  

简单的二元二次方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，或由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次的方程组成的，一般可用代入法解。解方程组的基本思想是消元和降次，降次一般采用换元或因式分解，经常与根的判别式及韦达定理相结合。

2.         解方程组  

根据方程组的特点，利用一元二次方程根与系数的关系求解。

练习：  

设方程组的解是，求和的值。

第二篇：中考专题训练：方程(组)与不等式(组)

方程（组）与不等式（组）

一、选择题：

1、点P（1，–2）关于原点对称的点的坐标是（    ）

（A）（1，2）  （B）（–1，2）  （C）（–1，–2）  （D）（–2，–1）

2．已知x₁，x₂是方程的两个根，则（     ）。

（A），（B），

（C），（D），

3、若x₁、x₂是一元二次方程的两个根，则的值是（    ）

（A）–1    （B）0    （C）1      （D）2

4、在一元二次方程中，若a与c异号，则方程（    ）

（A）有两个不相等的实数根    （B）有两个相等的实数根

（C）没有实数根              （D）根的情况无法确定

5、下面是某同学在一次测验中解答的填空题：

（1）若，则。

（2）方程的解为。

（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为x=0。

其中答案完全正确的题目个数为（   ）

（A）0个   （B）1个 （C）2个    （D）3个

6、不等式的整数解的个数是（    ）

（A）1个     （B）2个  （C）3个  （D）4个

7、方程的根是（    ）

（A）（B）（C）（D）无实数根

8、不等式的解集是（    ）

（A）–4＜x＜l  （B）–4＜x ＜–1（C）l＜x＜4  （D）1＜x＜4

9、已知一元二次方程的两根是，则的值是（    ）

（A）（B）2（C）（D）–2

10、已知代数式的值为8那么代数式的值为（    ）

（A）l    （B）2      （C）3  （D）4

11、不等式组的整数解的个数是（    ）

（A）1（B）2（C）3（D）4

12、若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ）

（A）（B）（C）且（D）且

13．方程组的解是（     ）。

（A）（B）（C）（D）

14、方程的根的情况是（   ）

（A）有两个不等的有理数根。      （B）有两个相等的有理数根。

（C）有两个不等的无理数根。      （D）有两个相等的无理数根。

15、解方程时，设，则原方程可化为（    ）

（A）（B）（C）（D）

16、关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ）

（A）（B）且（C）（D）

17．制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本

（A）8.5% （B）9% （C）9.5% （D）10%

18、方程的根是

（A）–2（B）（C）–2，（D）–2，1

二、填空题:

1、若，则x=__________。

2、不等式解集是____________________。

3、用换元法解分式方程时，若设，则原方程化成的关于y的整式方程是____________________________________

4．若关于x的方程x²-ax-3a=0的一个根是-2，则它的另一个根是____________.

5、关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m=____________。

6、已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值是_____________.

7、解方程时，若设，则原方程可变形为关于y的方程是_________________________________________.

8、不等式的解集是__________。

9、方程组的解是_________。

三、解答题:

1、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。

2、解方程  

3、用换元法解方程：。

4、解方程：。

5、解方程组：。

1、若关于x的方程有增根，则a的值为____________。

2、用换元法解方程，如果设，于是原方程变形为__________________________________________。

3、已知方程的两根为x₁，x₂，求的值。

4、解不等式，并把这个不等式组的解集在数轴上表示出来。

5、解方程组： 

6、列方程（组）解应用题：

  商场销售某种商品，今年四月份销售了若干件，共获毛利润3万元（每件商品毛利润=每件商品的销售价格一每件商品的成本价格）．五月份商场在成本价格不变的情况下，把这种商品的每件销售价降低了4元，但销售量比四月增加了500件，从而所获毛利润比四月份增加了2千元。问调价前，销售每件商品的毛利润是多少元？