不等式总结
一、不等式的主要性质:
(1)对称性: (2)传递性:
(3)加法法则:;
(4)乘法法则:;
(5)倒数法则:
(6)乘方法则:
(7)开方法则:
二、一元二次不等式和及其解法
注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式
顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间
三、均值不等式
1.均值不等式:如果a,b是正数,那么
2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等
3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数),即
(当a = b时取等)
四、含有绝对值的不等式
1.绝对值的几何意义:是指数轴上点到原点的距离;是指数轴上两点间的距离
2、
3.当时, 或,
;
当时,,.
4、解含有绝对值不等式的主要方法:
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解;
②去掉绝对值的主要方法有:
(1)公式法:,或.
(2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.
五、其他常见不等式形式总结:
①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
②无理不等式:转化为有理不等式求解
③指数不等式:转化为代数不等式
④对数不等式:转化为代数不等式
六、三角不等式:
七、不等式证明的几种常用方法
比较法(做差法、做商法)、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
八、数轴穿跟法: 奇穿,偶不穿
例题:不等式的解为( )
A.-1<x≤1或x≥2 B.x<-3或1≤x≤2
C.x=4或-3<x≤1或x≥2 D.x=4或x<-3或1≤x≤2
九、零点分段法
例题:求解不等式:.
第二篇:精品北师大必修五不等式总结
高二不等式单元知识总结
一、不等式的性质
1.两个实数a与b之间的大小关系
2.不等式的性质
(4) (乘法单调性)
3.绝对值不等式的性质
(2)如果a>0,那么
(3)|a·b|=|a|·|b|.
(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
(6)|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.
二、不等式的证明
1.不等式证明的依据
(2)不等式的性质(略)
(3)重要不等式:①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)
②a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)
2.不等式的证明方法
(1)比较法:要证明a>b(a<b),只要证明a-b>0(a-b<0),这种证明不等式的方法叫做比较法.
用比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——判断符号.
(2)综合法:从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.
(3)分析法:从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法.
证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等.
三、解不等式
1.解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式.
(2)解一元二次不等式.
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.
①解一元高次不等式;
②解分式不等式;
③解无理不等式;
④解指数不等式;
⑤解对数不等式;
⑥解带绝对值的不等式;
⑦解不等式组.
2.解不等式时应特别注意下列几点:
(1)正确应用不等式的基本性质.
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.
(3)注意代数式中未知数的取值范围.
3.不等式的同解性
(5)|f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0)
(6)|f(x)|>g(x)①与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)≥0)同解;②与g(x)<0同解.
(9)当a>1时,af(x)>ag(x)与f(x)>g(x)同解,当0<a<1时,af(x)>ag(x)与f(x)<g(x)同解.