第三章：不等式

1、不等式的基本性质

①（对称性） ②（传递性） ③（可加性）

（同向可加性） （异向可减性）

④（可积性）       

⑤（同向正数可乘性）      （异向正数可除性）

⑥（平方法则）   ⑦（开方法则）

⑧（倒数法则）

2、几个重要不等式

①,（当且仅当时取号）.   变形公式：

②（基本不等式）   ,（当且仅当时取到等号）.

变形公式：     用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.

④（当且仅当时取到等号）.

⑤（当且仅当时取到等号）.

⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）

⑦其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.

⑧   

⑨绝对值三角不等式

3、几个著名不等式①平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

 变形公式： 

②幂平均不等式：

③二维形式的三角不等式：

④二维形式的柯西不等式当且仅当时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

⑥一般形式的柯西不等式：

⑦向量形式的柯西不等式：

设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设为两组实数.是的任一排列，则

（反序和乱序和顺序和）

当且仅当或时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.

4、不等式证明的几种常用方法

 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如

②将分子或分母放大（缩小），如

 等.

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则  （时同理）

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解

⑴⑵

⑶⑷

⑸

规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.

9、指数不等式的解法：

⑴当时,⑵当时,

规律：根据指数函数的性质转化.

10、对数不等式的解法

⑴当时, ⑵当时,

规律：根据对数函数的性质转化.

11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：

⑶同解变形法，其同解定理有：

①②

③④

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含参数的不等式的解法

解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：

⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题

⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时 ②当时          ⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时

⑶恒成立恒成立

⑷恒成立恒成立

15、线性规划问题

⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：

    法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：  不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：

  法一：角点法：

如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值

法二：画——移——定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.

①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；

②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型：

①“截距”型：  ②“斜率”型：或

③“距离”型：或   或

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

35. 利用均值不等式：

 

值？（一正、二定、三相等）

    注意如下结论：

 

    

  

   

  

  36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

    并注意简单放缩法的应用。

   

  

 

    （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

  38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

   

  39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

   

  40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

    （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

     

 

     

    证明： 

   

   （按不等号方向放缩）

  42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

     

     

   

   

   

第二篇：高中不等式知识点总结

1．不等式的解法

（1）同解不等式（(1)与同解；

（2）与同解，与同解；

（3）与同解）；

2．一元一次不等式

情况分别解之。

3．一元二次不等式

或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。

4．分式不等式

分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。

5．简单的绝对值不等式

解绝对值不等式常用以下等价变形：

|x|<ax²<a²－a<x<a(a>0)，   |x|>ax²>a²x>a或x<－a(a>0)。

一般地有：

|f(x)|<g(x)－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。

6．指数不等式；

；

7．对数不等式（1）当时，；（2）当时，。

8．线性规划

（1）平面区域

一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念

引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值。

由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。

由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，

当直线经过点时，对应的最小，所以，，。

在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫目标函数。又由于是的一次解析式，所以又叫线性目标函数。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。

第三篇：一元一次不等式知识点总结

四、列一元一次方程解应用题的步骤有：

1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。

2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。

3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。

4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。

5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。

6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。

7、作答：正确回答题中的问题。

五、常见的一元一次方程应用题：

1、和差倍分问题:

（1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量

2、等积变形问题：

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。

2 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝?rh

（2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽

3、数字问题：

一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c 。

十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a 。

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。

4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ）

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝商品利润×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) 商品成本价

（4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x折： 折后价（售价）=标价×x计算。 10

5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。

（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

6、工程问题：

（1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间

（2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1

（3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和

（4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和

7、储蓄利息问题：

利息＝本金×利率×期数

利息税=利息×税率（目前，规定为20%。注：教育储蓄不收利息税）

实得本利和=本金+利息-利息税

实得利息（税后利息）=利息-利息税= 利息×(1-税率)

第五章：一元一次不等式复习

一、不等式的性质

1、不等式的概念：用不等号连接的式子。

2、不等式的基本性质：（对比等式基本性质）

不等式的基本性质1：若a＞b，则a+c＞b+c，且a-c＞b-c ；

不等式的基本性质2：若a＞b，c＞0，则ac＞bc，且＞ ；

不等式的基本性质3：若a＞b，c＜0，则ac＜bc，且a＜b 。 ccacbc

二、基本概念：

1、不等式的解：满足一个不等式的未知数的每一个值称为这个不等式的一个解。

2、不等式的解集：一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集。

（注意以上两个概念的区别）

3、解不等式：求一个不等式的解集的过程称为解不等式。

三、解一元一次不等式的方法：

去分母、去括号、移项、化简、化系数为一（对比一元一次方程的解法）。

四、在数轴上表示不等式的解集。例： x > 2

（1）先画出一条数轴；

（2）在数轴上标上表示2的点A；（把点A画成空心圆圈，表示解集不包括2）

（3）点A右边的所有的点表示的数都大于2，而点A左边的所有的点表示的数都小于2；

（4）用一条方向向右的折线，来表示

x > 2.

★注意两点：

（1）折线的方向；

（2）何时用空心圆点？（不包括该点时）；何时用实心圆点？（包括该点时）。

五、求不等式的特殊解：（常见为正整数解）

先求出不等式的解集，然后在解集中筛选出符合题意的特殊解.

六、一元一次不等式的应用：

利用不等式解决实际问题类似于利用方程解决实际问题，步骤大致相同，需要区别的是：利用方程解实际问题时，问题中存在的是等量关系；而利用不等式解决实际问题，问题中是不等关系．可以通过诸如“不小于”“超过”等字眼来判断是不等式问题还是方程问题．找出题中的不等关系，是利用不等式解决实际问题的关键．

★主要步骤有：审、设、找、列、解、验、答