基本不等式知识点总结

向量不等式：

【注意】：同向或有；

反向或有；

不共线.(这些和实数集中类似)

代数不等式：

同号或有；

异号或有.

绝对值不等式：     

双向不等式：

（左边当时取得等号，右边当时取得等号.）

放缩不等式：

①，则.

【说明】：（，糖水的浓度问题）.

【拓展】：.

②，，则；

③，；

④，.

⑤,.

函数图象及性质

(1)函数图象如图：

(2)函数性质：

①值域：；

②单调递增区间：，；单调递减区间：，.

  基本不等式知识点总结

重要不等式

1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)．

【变形】：①（当a = b时，）

【注意】： ，

2、均值不等式：

两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”

*.若，则 (当且仅当时取“=”）;                   

    若，则 (当且仅当时取“=”）

若，则  (当且仅当时取“=”）

*.若，则  (当且仅当时取“=”）

若，则  (当且仅当时取“=”）

3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：

（，）；

  

   *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。

   *均为正数，

八种变式：  ① ； ②；  ③ 

④；⑤若b>0,则；⑥a>0,b>0,则；⑦若a>0,b>0,则；  ⑧  若，则。

上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。

最值定理

（积定和最小）

①，若积，则当时和有最小值；

（和定积最大）

②，若和，则当是积有最大值.

【推广】：已知，则有.

（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.

（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.

③已知，若，则有则的最小值为：

④已知，若则和的最小值为：

①.

②

应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：

⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值.

⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值.

⑶调整分子：例3.求函数的值域；

⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视；

例4.求函数的最大值；

⑸连用公式：例5.已知，求的最小值；

⑹对数变换：例6.已知，且，求的最大值；

⑺三角变换：例7.已知，且，求的最大值；

⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值.

“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和为定值

若（为定值，），可设，其中.

①在上是增函数，在上是减函数；

②在上是增函数，在上是减函数；

③.令，其中.由，得，从而在上是减函数.

⑵和为定值

若（为定值，），则

①在上是增函数，在上是减函数；

②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数.

③在上是减函数，在上是增函数；

⑶积为定值

若（为定值，），则

①.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数；

②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数；

③在上是减函数，在上是增函数.

⑷倒数和为定值

若（为定值，），则成等差数列且均不为零，可设公差为，其中，则得.

①.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上减函数；

②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；

③.令，其中且，从而在上是增函数，在上是减函数.

第二篇：不等式知识点归纳

新课标——回归教材

不等式

1、不等式的性质:

注:表中是等价关系的是解、证明不等式的依据,其它的仅仅是证明不等式的依据.

典例:1)对于实数中,给出下列命题:①;②;

③;④;⑤;       

⑥;⑦;⑧.

其中正确的命题是  ②③⑥⑦⑧ .

2)已知,,则的取值范围是;

3)已知,且则的取值范围是.

2、不等式大小比较的常用方法:

(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;

(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);

(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;

(7)寻找中间量或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.

典例:1)设,比较的大小

答案:①当时, (在时取“=”);

②当时,(在时取“=”);

2)已知,试比较的大小.( 答:)

3)设,,,试比较的大小(答:);

4)比较1+与的大小.

答:当或时,1+＞;

当时,1+＜;当时,1+＝

5)若,且,比较的大小.(答:)

3.利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”.

典例:1)下列命题中正确的是( B )

A.的最小值是2      B.的最大值是

C.的最小值是2    D.的最小值是; 

2)若,则的最小值是;

3)已知,且,则的最小值为18;

变式①:已知,则的最小值为  18  ;

②:已知,且,则的最大值为  1  ;

③:已知,且,则的最小值为  9  ;

4.常用不等式有:(1)当时取=号)

(2)当时取=号)

上式从左至右的结构特征为:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“积两倍”.

(3)真分数性质定理:若,则(糖水的浓度问题).

典例:若,满足,则的取值范围是­.

5、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法.

比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论.)

常用的放缩技巧有:(右边当时成立)

  　　　　

典例:1)已知,求证: ;

2)已知,求证:;

3)已知,且,求证:;

4)若是不全相等的正数,求证:;

5)若,求证:;

6)求证:.

6.常系数一元二次不等式的解法:判别式－图象法

步骤:(1)化一般形式:,其中;

(2)求根的情况:;

(3)由图写解集:考虑图象得解.

典例:解不等式.(答:)

注:解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、方程与不等式思维的转换过程,从中我们不难看出“三个二次”关系是核心,即一元二次不等式解集定值端点(非正负无穷大)是对应一元二次方程(函数)的根(零点).

典例:若关于的不等式的解集为,解关于的不等式.(答:)

7.简单的一元高次不等式的解法:标根法:

其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;

(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线(奇穿偶回);

(3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集.

典例:1)解不等式.(答:或);

2)不等式的解集是;

3)设函数、的定义域都是,且的解集为,的解集为,则不等式的解集为;

4)要使满足关于的不等式(解集非空)的每一个的值至少满足不等式和中的一个,则实数的取值范围是.

8.分式不等式的解法:

分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母.

典例:1)解不等式(答:);

2)关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为.

注:和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.

9.绝对值不等式的解法:(了解)

(1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集)

典例:解不等式;(答:);

(3)利用绝对值的定义;(3)数形结合;

典例:解不等式;(答:)

(4)两边平方

典例:若不等式对恒成立,则实数的取值范围为

10、含参不等式的解法:通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键．”

注意:①解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”.

②按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集.

典例:1)若,则的取值范围是;

2)解不等式.

(答:时,;时,或;时,或)

含参数的一元二次不等式的解法:三级讨论法.

一般地,设关于的含参数的一元二次形式的不等式为:.

(1)第一级讨论:讨论二次项系数是否为零;

(2)第二级讨论:若时,先观察其左边能否因式分解,否则讨论的符号;

(3)第三级讨论:若时,先观察两根大小是否确定,否则讨论两根的大小.

注意:每一级的讨论中,都有三种情况可能出现,即“>”,“=”,“<”,应做到不重不漏.

典例:1)解关于的不等式.

答:①当时,;②当时,;

③当时,;④当时,

⑤当时,

2)解关于的不等式.

答:①当时,;②当时,

③当时,;④当时,;⑤当时,

提醒:解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示.

11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式？

常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法.

1).恒成立问题★★★

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

典例:1)设实数满足,当时,的取值范围是;

2)不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围;

3)若对满足的所有都成立,则的取值范围;

4)若不等式对于任意正整数恒成立,则实数的取值范围是

5)若不等式对恒成立,则的取值范围

2).能成立问题

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上;

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.

注意:若方程有解,则等价于

典例:1)已知在实数集上的解集不是空集,求实数的取值范围

2)已知函数的定义域为.

①若,求实数的取值范围.(答:)

②若方程在内有解,求实数的取值范围.(答:)

3).恰成立问题

若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为;

若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.

12..简单的线性规划问题:

(1)二元一次不等式(组)表示平面区域

①一般地,二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线;