（一）不等式与不等关系

1、不等式的主要性质：

(1)对称性：

(2)传递性：

(3)加法法则：；

(4)乘法法则：；

(5)倒数法则：

(6)乘方法则：

(7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；

作差法

3、应用不等式性质证明

（二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x₀,y₀)，从Ax₀+By₀+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

（四）基本不等式与

1．一般的，如果

2．如果a,b是正数，那么

注：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”

3． 在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

一、比较大小

 (1)（＋）²     ６＋2；（2）（－）²      （－1）²；

（3）       ；(4)当a＞b＞0时，loga        logb

(5) (x+3)(x-5)     (x+2)(x-4)     (6) 与

二.利用不等式的性质求相关式子的取值范围

1、如果,,则

(1) 的取值范围是            , (2) 的取值范围是            ,

(3) 的取值范围是            , (4) 的取值范围是                

2、已知求的取值范围。

三．解一元二次不等式

1、解不等式（1）2x²-3x-2>0  （2）-3x²+6x>2  （3）

2、 解关于x的不等式ax²－2（a＋1）x＋4＞0.

【解析】当a＝0时，原不等式为一次不等式，即－2x＋4＞0，∴x＜2

当a≠0时，ax²－2（a＋1）x＋4＝0的判别式

Δ＝4（a－1）²≥0，其二根x₁＝2，x₂＝

于是有

①当a＜0时，{x｜＜x＜2}

②当0＜a≤1时，{x｜x＜2或x＞}

③当a＞1时，{x｜x＜或x＞2}

综上所述：当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x＜2}

      当a＜0时，原不等式的解集为{x｜＜x＜2}

当0＜a≤1时，原不等式的解集为{x｜x＜2或x＞}

当a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＜或x＞2}

3、 课本103页B组第1、2题

四．线性规划问题

课本103页第5题

五、利用基本不等式求最值

若，求证

第二篇：不等式的总复习——常见题型总结

不等式的总复习

一、知识点归纳

1、用不等号连接的式子叫不等式。

2、不等式的基本性质：

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

思考：举例说明不等式与等式的基本性质的区别？

3、不等式的解集：

（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；

（2）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

（3）求不等式解集的过程叫做解不等式。

4、一元一次不等式：不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1.

5、解不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项、合并同类项；（4）系数化为1.

6、在数轴上表示不等式的解集：取等画实心，不等画空心

7、常见的不等关系词：不少于、至少（）；不超过、至多（）

8、一元一次不等式与一次函数的关系：

     对于一次函数，它与轴的交点坐标为（，0）

     当时，不等式的解为，不等式的解为
     当时，不等式的解为，不等式的解为
因此，在做此类题时，先看一次函数（直线）与轴的交点，观察交点左右两边函数值的大小关系。
9、一元一次不等式组：

一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集

常见题型解析

考点一：解不等式并在数轴表示出来

例1 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上。

   （1）               （2）       （3）

例2 求不等式的正整数解。

例3 （1）若代数式的值不是正数，求的取值范围。

考点二：根据其他未知数的范围来求另一个未知数范围

（2）已知关于的方程的根是正数，求实数的取值范围。

考点三：解不等式组

例4 解下列不等式组

（1）                 （2）  

考点五：根据不等式组解集确定未知数的范围

例5（1）如果不等式组，的解集是，那么的取值范围是（      ）

A、         B、       C、      D、

（2）不等式的解集是，则求的取值范围。

例6  已知不等式组的解集为，则的值等于多少？

例7 已知函数。（1）当取哪些值时，？（2）当取何值时，？

（3）当取哪些值时，？

例8  若，，试确定当取何值时，？

考点六：实际应用

题型一：简单的列不等式应用题

例1 ：一组同学在校门口拍一张合影。已知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都得到一张照片，每人平均分摊的钱不超过0.5元，你们参加合影的同学至少有多少人？

例2 ：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，请问：有多少辆汽车？（注意：不空也不满的含义）

例3 小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元钱，一盒方便面3元钱，他买了5盒方便面，还能买多少根火腿肠？

例4  某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用380元可购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件。

（1）       求A，B种两种纪念品的进价分别为多少？

（2）       若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元。该商品准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，则应该怎样进货，才能使总利润最大？最大利润是多少？

题型二：一次函数与不等式综合应用题（择优问题）

例1 ：某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，下图是y1， y2关于x的函数图象.试问怎样租车较合算？

例2某单位要制作一批宣传材料。甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元的设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费。

（1）什么情况下选择甲公司比较合算？

（2）什么情况下选择乙公司比较合算？

（3）什么情况下两家公司收费相同？

例3 某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克需运费0.58元，由公路运输，每千克需运费0.28元，另需补助600元。

（1）设该公司运输的这批牛奶为千克，选择铁路运输时，所需运费为元，选择公路运输时，所需运费为，请分别写出、与之间的函数关系式；

（2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500千克牛奶，则选择哪种运输方式所需费用较少？

题型三  方案设计类（原材料问题）

例1 ：某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件。已知生产一件A种产品，需要甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元。

（1）设生产件A种产品，写出应满足的不等式组；

（2）按要求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

（3）设生产A，B两种产品获总利润W（元），其中一种的生产件数为，试写出 与之间的关系式，并利用相关性质说明（1）中哪种生产方案总利润最大？最大利润是多少？

例2 某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个。厂方计划由20个工人一天内加工完成。并要求每人只加工一种配件。根据下表提供的信息。解答下列问题：

（1）设加工甲种配件的人数为，加工乙种配件的人数为，求与之间的函数关系式。

（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人。那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案。

（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值。