不等式专题总结
一、不等式的主要性质：
(1)对称性：a?b?b?a (2)传递性：a?b,b?c?a?c
(3)加法法则：a?b?a?c?b?c； a?b,c?d?a?c?b?d
(4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc； a?b,c?0?ac?bc
a?b?0,c?d?0?ac?bd
(5)倒数法则：a?b,ab?0?11? ab
(6)乘方法则：a?b?0?an?bn(n?N*且n?1)
(7)开方法则：a?b?0?a?(n?N*且n?1)
二、一元二次不等式ax2?bx?c?0和ax2?bx?c?0(a?0)及其解法
注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间
三、均值不等式
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1.均值不等式：如果a,b是正数，那么a?b?ab(当且仅当a?b时取"?"号). 2
2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即
a?b2（当?112?aba = b时取等）
四、含有绝对值的不等式
1．绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1?x2|是指数轴上x1,x2两点间的距离
2、如果a?0,则不等式：
|x|?a|x|?a???x?a或x??a |x|?a????a?x?a ???x?a或x??a ????a?x?a |x|?a
3．当c?0时， |ax?b|?c?ax?b?c或ax?b??c，
|ax?b|?c??c?ax?b?c；
当c?0时，|ax?b|?c?x?R，|ax?b|?c?x??．
4、解含有绝对值不等式的主要方法：
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
②去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：|x|?a (a?0)??a?x?a，|x|?a (a?0)?x?a或x??a．
（2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
五、其他常见不等式形式总结：
①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0
②无理不等式：转化为有理不等式求解
?f(x)?0? ???定义域?g(x)?0??f(x)?g(x)?
?f(x)?0?f(x)?0 f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]?f(x)?0 ?f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)]
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③指数不等式：转化为代数不等式
af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)
af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb
④对数不等式：转化为代数不等式
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;
?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?
六、三角不等式： |a|-|b|?|a?b|?|a|?|b|
七、不等式证明的几种常用方法
比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
八、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿 例题：不等式(x2?3x?2)(x?4)2
x?3?0的解为（ ）
A．－1<x≤1或x≥2 B．x<－3或1≤x≤2
C．x=4或－3<x≤1或x≥2 D．x=4或x<－3或1≤x≤2
九、零点分段法
例题：求解不等式：|2x?1|?|x?2|?4．
十、练习试题
1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）
A．x?y B．x2?5 C．
x2?4tan??1 D．2x?2?x
yxtan?
2．若x,y?R且满足x?3y?2，则3x?27y?1的最小值是（ ）
A
．
．1?．6 D．7
3．设x?0,y?0,A?x?y
1?x?y, B?x
1?x?y
1?y，则A,B的大小关系是（ ）
A．A?B B．A?B C．A?B D．A?B
4．函数y?x?4?x?6的最小值为（ ） A．2 B
．4 D．
5．不等式3?5?2x?9的解集为（ ）
A．[?2,1)[4,7) B．(?2,1](4,7] C．(?2,?1][4,7) D．(?2,1][4,7)
6．若a?b?0，则a?1
b(a?b)的最小值是_____________。
7．若a?b?0,m?0,n?0，则abba?n
b, a, ?m
a?m, b?n按由小到大的顺序排列为
8．已知x,y?0，且x2?y2?1，则x?y的最大值等于_____________。 - 3 - 6
1111????，则A与1的大小关系是_____________。 1010101122?12?22?11210．函数f(x)?3x?2(x?0)的最小值为_____________。 x9．设A?
11．求证：a2?b2?ab?a?b?1 - 4 -
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