不等式总结
一、不等式的性质
1.(不等式建立的基础)两个实数a与b之间的大小关系
2.不等式的性质
(4) (乘法单调性)
---不等式相加
---不等式相减
---不等式相乘
--不等式相除
乘方法则
开方 ----倒数法则
3.绝对值不等式的性质
(2)如果a>0,那么
(3)|a·b|=|a|·|b|.
(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
(6)|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.
4. 基本不等式
(1)如果a,b是正数,那么≤,当且仅当a=b时,等号成立。
注意:基本不等式的证明是利用重要的不等式推导的,即
(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等。其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
(3)均值不等式中“当且仅当”的含义:
①当a=b,取等号,即a=b=
②仅当a=b时取等号,即=a=b
(4)几种变形公式
ab≤()2≤(a,b∈R) ≤≤(a>0, b>0)
5. 柯西不等式
(1)代数形式:
设a1,a2,b1,b2均为实数,(a12+a22)( b12 + b22)≥(a1 b1+ a2 b2) 2 (注:等号成立条件:a1 b2= a2 b1)
(2)向量形式:|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2)
等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。
(3)三角不等式:由|α|+|β|≥|α+β|可得:设a1,a2,b1,b2均为实数,则
√(a12+a22)+√(b12 + b22)≥√[(a1+ b1)2+(a2 + b2)2] (注:等号成立条件:存在非负实数μ及λ使得μa1=λb1,μa2=λb2其中“√”表示平方根)
(4)平面三角不等式:设a1,a2,b1,b2 ,,c2均为实数,则
√[ (a1-b1)2+(a2-b2)2]+√[ (b1-c1) 2+(b2-c2)2]≥√[(a1-c1)2+(a2-c2)2] (注:等号成立条件:存在非负实数μ及λ使得μ(a1- b1)=λ(b1- c1) , μ(a2- b2)=λ(b2- c2)其中“√”表示平方根)
(5)设α,β,γ为平面向量,则|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|。当α-β,β-γ为非零向量时。(注:等号成立条件:存在正常数λ,使得α-β=λ(β-γ)向量α-β与β-γ同向,即夹角为零。
(6)一般形式:设a1,a2,…,an,b1,b2 …,bn均为实数,则
注:等号成立
6. 排序不等式:
(1)定义:设有两组数 a1 , a2 ,…… an; b1 , b2 ,…… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤……≤ an, b1 ≤ b2 ≤……≤ bn ,其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……,bn的任一排列,则称a1 b1 + a2 b2+ ... + an bn 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称a1 bn + a2b{n-1}+ ... + an b1 为这两个实数组的反序积之和(简称反序和),称a1 c1 + a2 c2 +…+ an cn 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)
(2)定理:(排序不等式,又称排序原理)设有两组数 a1 , a2 ,… an; b1 , b2 ,… bn 满足 a1 ≤ a2 ≤…≤ an, b1 ≤ b2 ≤…≤ bn ,其中c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,那么
a1 bn + a2b{n-1}+ ... + an b1 ≤ a1 c1 + a2 c2 +……+ an cn ≤ a1 b1 + a2 b2 + ……+an bn.
当且仅当 a1 = a2 = ... = an 或 b1 = b2 = ... = bn 时等号成立,即反序和等于顺序和。
排序原理可简记作:反序和≤乱序和≤顺序和。
7. 贝努利不等式:
定理:设x>-1,且x≠0,n为大于1的自然数,则(1+x)n≥1+nx.
二、不等式的证明
1.不等式证明的依据
(2)不等式的性质(略)
(3)重要不等式:
①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)(非负数)
②a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)
④ a3+b3+c3≥3abc(a,b,c∈R+)
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⑥ |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
⑦ |a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.
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2.不等式的证明方法
(1) 比较法:要证明a>b(a<b),只要证明a-b>0(a-b<0),这种证明不等式的方法叫做比较法.
用比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——判断符号.
(2) 综合法:从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.
(3) 分析法:从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法.
(4)三角换元法:多用于条件不等式的证明,如果所给条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑用三角代换,将两个变量都用同一个参数表示,此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题。
注意:根据具体问题,常用的三角换元技巧有:
① x2+y2=1,可设x=cosα,y=sinα;
② a≤ x2+y2≤b,可设x=rcosα,y=rsinα, a≤r2≤b
③ 对于,由于|x|≤1,可设x=cosα(0≤α≤π)或x=sinα(-π/2≤α≤π/2)
④ 对于,可设x=tanα(-π/2<α<π/2)或x=cotα(0<α<π)
⑤ 对于,可设x= (0≤α<π/2或π/2<α≤π)或x= (-π/2≤α<0或0<α≤π/2)
⑥ 对于x+y+z=xyz,由于在ΔABC中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。
(5)放缩法:要证明不等式A<B,有时可以将它的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即A<C,后证C<B,这种证法叫放缩法。常用技巧有:舍掉(或加进)一些项,在分式中放大或缩小分子或分母;应用基本不等式放缩。
放缩法的理论依据主要有:不等式的传递性、等量加不等量为不等量、同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。
证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法、综合分析法、放缩法、函数法、几何法、其它方法(换元法、判别式法、导数法、构造法)、柯西不等式等。
(5)利用基本不等式比较实数大小或证明不等式
① 利用均值定理求最值,必须满足三个条件::“一正”各项均为正数 、“二定”和或积为常数、“三相等”等号必须成立。和定积最大,积定和最小。
② 构造定值条件的常用技巧:加项变换、拆项变换、统一换元、平方后利用不等式。
③ 基本不等式:
若x,y是正数,有x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy=取最大值;
若x,y是正数,有xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y=取最小值;2。
三、解不等式
1.解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式.
(2)解一元二次不等式.
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.
①解一元高次不等式;
②解分式不等式;
③解无理不等式;
④解指数不等式;
⑤解对数不等式;
⑥解带绝对值的不等式;
⑦解不等式组.
2.解不等式时应特别注意下列几点:
(1) 正确应用不等式的基本性质.
(2) 正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.
(3) 注意代数式中未知数的取值范围.
3.不等式的同解性
(5)|f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0)
(6)|f(x)|>g(x)①与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)≥0)同解;②与g(x)<0同解.
(9)当a>1时,af(x)>ag(x)与f(x)>g(x)同解,当0<a<1时,af(x)>ag(x)与f(x)<g(x)同解.
第二篇:不等式总结
8.一元一次不等式:不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。
9.解一元一次不等式的一般顺序: (1)去分母 (运用不等式性质2、3)
(2)去括号
(3)移项 (运用不等式性质1)
(4)合并同类项。
(5)将未知数的系数化为1 (运用不等式性质2、3)
(6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集
10. 一元一次不等式与一次函数的综合运用: 一般先求出函数表达式,再化简不等式求解。 11.一元一次不等式组:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成 了一个一元一次不等式组。 12.解一元一次不等式组的步骤: (1) 求出每个不等式的解集; (2) 求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴) (3) 用代数符号语言来表示公共部分。(也可以说成是下结论) 13.解不等式的诀窍 (1)大于大于取大的(大大大); 例如:X>-1,X>2 ,不等式组的解集是X>2 (2)小于小于取小的(小小小); 例如:X<-4,X<-6,不等式组的解集是X<-6 (3)大于小于交叉取中间; (4)无公共部分分开无解了; 14.解不等式组的口诀 (1)同大取大 例如,x>2,x>3 ,不等式组的解集是X>3 (2)同小取小 例如,x<2,x<3 ,不等式组的解集是X<2 (3)大小小大中间找 例如,x<2,x>1,不等式组的解集是1<x<2 (4)大大小小不用找 例如,x<2,x>3,不等式组无解 15.应用不等式组解决实际问题的步骤 (1)审清题意 (2)设未知数,?根据所设未知数列出不等式组 (3)解不等式组 (4)由不等式组的解确立实际问题的解 (5)作答. 16.用不等式组解决实际问题:其公共解不一定就为实际问题的解,所以需结合生活实际具体分析,最后确定结果。