行列式计算7种技巧7种手段
【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读
一7种技巧:
【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式
技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=DT
技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号
技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
技巧4:行列式具有分行(列)相加性
技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变
技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积
技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
二.7种手段:
【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式
手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算
,
手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学软件)
定义:
运用数学软件Matlab按定义计算4阶行列式:
>> syms a b c d e f g h i j k l m n o p
>> A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p]
A =
[ a, b, c, d]
[ e, f, g, h]
[ i, j, k, l]
[ m, n, o, p]
>> det(A)
ans =
a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g
手段3:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式
,
,
,
手段4:若行列式中有两行(列)对应元素相等,则此行列式的值等于零
手段5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零
手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零
手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式
三.跟踪训练
【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的7种技巧和7种手段,本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时,一般先观察题目所给出的原始行列式,若原始行列式能够用7种手段的其中一种进行计算,则可直接得出答案,否则,一般先利用7种技巧对原始行列式进行化简,使之转化成能够用7种手段的其中一种进行计算的行列式,再得出答案.读者在利用7种技巧时,要注意技巧之间的搭配使用
计算下列行列式的值:
习题1:
解答:
[手段1]
习题2:
解答:
[手段2]
习题3:
解答:
[技巧5,手段4]
习题4:
解答:
[技巧2,技巧3,技巧5,手段3]
习题5:
解答:
[技巧7,手段1,手段6]
习题6:
解答:
[技巧2,手段7]
习题7:
解答:
[技巧7,手段3]
习题8:
:
解答:
[技巧2,技巧6]
第二篇：【原创】行列式计算7种技巧7种手段
行列式计算7种技巧7种手段
编者:Castelu
【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读
一.7种技巧:
【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式
技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=DT
技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号
技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
技巧4:行列式具有分行(列)相加性
技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变
技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积
技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
二.7种手段:
【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式
手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算
,
手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学软件)
定义:
运用数学软件Matlab按定义计算4阶行列式:
>> syms a b c d e f g h i j k l m n o p
>> A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p]
A =
[ a, b, c, d]
[ e, f, g, h]
[ i, j, k, l]
[ m, n, o, p]
>> det(A)
ans =
a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g
手段3:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式
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手段4:若行列式中有两行(列)对应元素相等,则此行列式的值等于零
手段5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零
手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零
手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式
三.跟踪训练
【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的7种技巧和7种手段,本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时,一般先观察题目所给出的原始行列式,若原始行列式能够用7种手段的其中一种进行计算,则可直接得出答案,否则,一般先利用7种技巧对原始行列式进行化简,使之转化成能够用7种手段的其中一种进行计算的行列式,再得出答案.读者在利用7种技巧时,要注意技巧之间的搭配使用
计算下列行列式的值:
习题1:
解答:
[手段1]
习题2:
解答:
[手段2]
习题3:
解答:
[技巧5,手段4]
习题4:
解答:
[技巧2,技巧3,技巧5,手段3]
习题5:
解答:
[技巧7,手段1,手段6]
习题6:
解答:
[技巧2,手段7]
习题7:
解答:
[技巧7,手段3]
习题8:
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解答:
[技巧2,技巧6]
