数学与统计学学院

中期报告

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题目:   行列式的算法归纳          

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20##年6月20日

                          

目    录

引言................................................................................................................................. 2

1 行列式性质................................................................................................................... 2

2 行列式计算方法............................................................................................................ 5

…… …… 余下全文

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、       几类特殊行列式

1.        上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）

2.        以副对角线为标准的行列式

3.        分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

 

4.        范德蒙行列式（教材P18例12）

注：4种特殊行列式的结果需牢记！

    以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！

二、       低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3）

三、       高阶行列式的计算

【五种解题方法】

1)        利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2)        利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3)        利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算；

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计算技巧及方法总结

   一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做

    1、二阶行列式

2、三阶行列式

=

例1计算三阶行列式

解   

    但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。

计算上三角形行列式

        下三角形行列式

         对角行列式

二、用行列式的性质计算

   1、记住性质，这是计算行列式的前提

  将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为或,即若

   则 .

性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即

注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.

性质2  交换行列式的两行(列),行列式变号.

推论  若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.

性质3  用数乘行列式的某一行(列), 等于用数乘此行列式, 即

第行(列)乘以,记为(或).

推论1  行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

推论2  行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.

性质4  若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,

.

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行列式的若干计算技巧与方法

目　录

摘要....................................................... 1

关键字..................................................... 1

1.行列式的概念及性质....................................... 2

1.1 阶行列式的定义....................................... 2

1.2 行列式的性质........................................... 2

2.行列式计算的几种常见技巧和方法........................... 4

2.1 定义法................................................. 4

2.2 利用行列式的性质....................................... 5

2.3 降阶法................................................. 7

2.4 升阶法（加边法）....................................... 9

2.5 数学归纳法............................................ 11

2.6 递推法................................................ 12

3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法......................... 14

3.1 拆行（列）法.......................................... 14

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1．行列式的概念及性质

1.1 n阶行列式的定义

我们知道，二、三阶行列式的定义如下：

=，

从二、三阶行列式的内在规律引出n阶行列式的定义．

设有个数，排成行列的数表

，

即n阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

                                            ⑴

的代数和，这里是的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当是偶排列时, ⑴带正号；当是奇排列时, ⑴带负号．

即

=，

这里表示对所有级排列求和.

1.2 行列式的性质

性质1  行列互换，行列式不变．即

 .

性质2   一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即

k.

性质3  如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即

性质4  如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即

=0.

性质5  把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

.

性质6  对换行列式中两行的位置，行列式反号.即

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赣 南 师 范 学 院 学 士 学 位

论 文

行列式的若干计算

技巧与方法

目　录

摘要....................................................... 1

关键字..................................................... 1

Abstract................................................... 1

Key words.................................................. 1

引言....................................................... 2

1.行列式的概念及性质....................................... 2

1.1 阶行列式的定义....................................... 2

1.2 行列式的性质........................................... 3

2.行列式计算的几种常见技巧和方法........................... 5

2.1 定义法................................................. 5

2.2 利用行列式的性质....................................... 6

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行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1 定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

例1  计算行列式.

解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是．显然，如果，那么，从而这个项就等于零．因此只须考虑的项，同理只须考虑的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有，而，所以此项取正号．故

=.

2.2 利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式．

2.2.1化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

，.

例2  计算行列式.

解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．

解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3…（）行上去，可得

.

2.2.2连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

例3  计算行列式.

解：  .

2.2.3滚动消去法

当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．

例4  计算行列式.

解：从最后一行开始每行减去上一行，有

 .

2.2.4逐行相加减

对于有些行列式，虽然前行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．

例5  计算行列式.

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