1．行列式的概念及性质

1.1 n阶行列式的定义

我们知道，二、三阶行列式的定义如下：

=，

从二、三阶行列式的内在规律引出n阶行列式的定义．

设有个数，排成行列的数表

，

即n阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积

                                            ⑴

的代数和，这里是的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当是偶排列时, ⑴带正号；当是奇排列时, ⑴带负号．

即

=，

这里表示对所有级排列求和.

1.2 行列式的性质

性质1  行列互换，行列式不变．即

 .

性质2   一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即

k.

性质3  如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即

性质4  如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即

=0.

性质5  把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

.

性质6  对换行列式中两行的位置，行列式反号.即

=-.

性质7  行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即

.

2、行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1 定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

例1  计算行列式.

解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是．显然，如果，那么，从而这个项就等于零．因此只须考虑的项，同理只须考虑的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有，而，所以此项取正号．故

=.

2.2 利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式．

2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

，.

例2  计算行列式.

解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．

解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3…（）行上去，可得

.

2.2.2 连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

例3  计算行列式.

解：  .

2.2.3 滚动消去法

当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．

例4  计算行列式.

解：从最后一行开始每行减去上一行，有

 .

2.2.4 逐行相加减

对于有些行列式，虽然前行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．

例5  计算行列式.

解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：

 .

2.3 降阶法

将高阶行列式化为低阶行列式再求解．

2.3.1 按某一行（或列）展开

例6   解行列式.

解：按最后一行展开，得

.

2.3.2 按拉普拉斯公式展开

拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即

，其中是子式对应的代数余子式．

即

，

.

例7  解行列式.

解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得

 .

2.4 升阶法

就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．

其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．

例8  解行列式D=.

解：使行列式D变成阶行列式，即

.

再将第一行的倍加到其他各行，得：

D=.

从第二列开始，每列乘以加到第一列，得：

.

2.5数学归纳法

有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．

例9  计算行列式.

解:用数学归纳法证明.

当时，.

当 时，.

猜想，.

由上可知，当，时，结论成立．

假设当时，结论成立．即：.现证当时，结论也成立．

当时，.

将按最后一行展开，得

 

.

因为

，，

所以

.

这就证明了当时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．

即：.

2.6 递推法

技巧分析：若阶行列式满足关系式

.

则作特征方程

.

①  若，则特征方程有两个不等根，则．

②  若，则特征方程有重根，则．

在①②中， A，B均为待定系数，可令求出．

例10  计算行列式.

解：按第一列展开，得

.

即

．

作特征方程

.

解得

.

则.

当时，；

当时，.

解得

，

所以

.

3、行列式的几种特殊计算技巧和方法

3.1 拆行（列）法

3.1.1 概念及计算方法

拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和．

3.1.2 例题解析

例11  计算行列式.

解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得

 

上面第一个行列式的值为1，所以

.

这个式子在对于任何都成立，因此有

.

3.2 构造法

3.2.1 概念及计算方法

有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值．

3.2.2 例题解析

例12  求行列式.

解：虽然不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造阶的范德蒙德行列式来间接求出的值．

构造阶的范德蒙德行列式，得

.

将按第列展开，得

，

其中，的系数为

.

又根据范德蒙德行列式的结果知

.

由上式可求得的系数为

.

故有

.

3.3 特征值法

3.3.1 概念及计算方法

设是级矩阵的全部特征值，则有公式

.

故只要能求出矩阵的全部特征值，那么就可以计算出的行列式．

3.3.2 例题解析

例13  若是级矩阵的全部特征值，证明：可逆当且仅当它的特征值全不为零．

证明：因为，则

可逆.

即

可逆当且仅当它的特征值全不为零．

4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法

4.1 三角形行列式

4.1.1 概念

形如，这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．

4.1.2 计算方法

由行列式的定义可知，

,.

4.2 “爪”字型行列式

4.2.1 概念

形如，，，这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式．

4.2.2 计算方法

利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横．

4.2.3 例题解析

例14  计算行列式，其中

分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第列元素乘以后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．

解: 

.

4.3 “么”字型行列式

4.3.1 概念

形如，，，，，，，这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式．

4.3.2 计算方法

利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．

注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用消去，然后再用消去，依次类推．

4.3.3 例题解析

例15  计算阶行列式.

解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得

 

.

4.4 “两线”型行列式

4.4.1 概念

形如这样的行列式叫做“两线型”行列式．

4.4.2 计算方法

对于这样的行列式，可通过直接展开法求解．

4.4.3 例题解析

例16  求行列式.

解：按第一列展开，得

 .

4.5 “三对角”型行列式

4.5.1 概念

形如 这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．

4.5.2 计算方法

对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明．

4.5.3 例题解析

例17  求行列式.

解：按第一列展开，得

 .

变形，得

.

由于，

从而利用上述递推公式得

.

故.

4.6 Vandermonde行列式

4.6.1 概念

形如这样的行列式，成为级的范德蒙德行列式．

4.6.2 计算方法

通过数学归纳法证明，可得.

4.6.3 例题解析

例18  求行列式.

解：虽然不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造阶的范德蒙德行列式来间接求出的值．

构造阶的范德蒙德行列式，得

.

将按第列展开，得

，

其中，的系数为

.

又根据范德蒙德行列式的结果知

.

由上式可求得的系数为

,

故有

.

5、行列式的计算方法的综合运用

有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．

5.1 降阶法和递推法

例19  计算行列式.

分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到阶的形式．

解：将行列式按第一行展开，得.

即

.

∴.

∴

.

5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式

例20  计算行列式解：从第一行开始，依次用上一行的倍加到下一行，进行逐行相加，得

.

再由范德蒙德行列式，得

.

5.3 构造法和套用范德蒙德行列式

例21  求行列式.

解：虽然不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造阶的范德蒙德行列式来间接求出的值．

构造阶的范德蒙德行列式，得

.

将按第列展开，得

，

其中，的系数为

.

又根据范德蒙德行列式的结果知

.

由上式可求得的系数为

.

故有

.

第二篇：浅谈行列式的应用

浅谈行列式的应用

   摘要:行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用;举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式,最后略述了行列式在解析几何中的几个应用.

关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解

0 引言

    行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组 [1]-[5]、多元一次方程组的解、初等代数 [9]、解析几何 [6]-[8]、线性微分方程组等, 用行列式计算是很便利的. 本文主要探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.

1 行列式在线性方程组中的一个应用

设含有个变元个方程的线性方程组为

                         (1)

设方程组（1）的系数矩阵的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的阶行列式是                     

 .

行列式中的元素, 就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.

我们把看作是未知数, 是已知数, 解方程组(1), 得

                            （2）

式中是行列式的第列元素换以所成的行列式. 也就是

.

把中第列移到第一列, 得

          

上式右边的行列式用表示, 行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成. 故

.

代入（2）式, 得

, 或.

结论: 方程组（1）中的与成比例, 式中 是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.

推广：

例1.1.1  设齐次线性方程组

               （其中）

试讨论当为何值时，方程组仅有零解?有无穷多组解?

解：从以上方程组可以观察到依次有，，，.........,，可见，以上n元方程组中有n个方程，它的系数矩阵的行列式为：

        =

          =

          =

(1)当0时，即且时，方程组仅有零解.

(2)当=0时，即或时，方程组有无穷多组解.

[注]：在判断一个齐次线性方程组有无解时，可以根据它的系数矩阵的行列式的值来判断，如果=0时，则它有无穷多组解；如果0时，方程组仅有零解。

2 行列式在初等代数中的几个应用

2.1 用行列式分解因式

   利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.

例2.1.1 分解因式：.

     解    注：“”为行列式符号

             [l1] 

            

            

             [l2] 

            

            

 例2.1.2分解因式: .

     解 原式

 

 

                .

2.2 用行列式证明不等式和恒等式

根据行列式的性质我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用这些性质, 我们可以构造行列式来证明恒等式和不等式.

例2.2.1 已知, 求证.

证明 令, 则

 .

         命题得证.

  例2.2.2 已知求证.

证明 令, 则

         

         命题得证.

例2.2.3 已知, 求证.

证明 令, 则

         

           

           

            而, 则, 命题得证.

3 行列式在解析几何中的几个应用

3.1 用行列式表示公式

3.1.1 用行列式表示三角形面积

以平面内三点为顶点的的面积

                                (3)

3.1.2 用行列式表示直线方程

直线方程通过两点和的直线的方程为

                                                            （4）

证明 由两点式, 我们得直线的方程为

                            

将上式展开并化简, 得

此式可进一步变形为

                          

此式为行列式(4)按第三行展开所得结果，原式得证.

3.1.3应用举例

例 若直线过平面上两个不同的已知点, , 求直线方程.

解 设直线的方程为, 不[l3] 全为0, 因为点在直线上, 则必须满足上述方程, 从而有

                             

这是一个以为未知量的齐次线性方程组, 且不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 因此其系数行列式等于0, 即

                             

则所求直线的方程为

                             .

问题推广：

例3.1.1若直线过平面上的两个不同的已知点,,求直线的方程.

解：根据上例可知过两个不同已知点，的直线方程为

                             

则直线的方程为            

即为。

推论1： 若空间上有三个不同的已知点, 平面过, 则平面的方程为

                    

推论2：若平面有三个不同的已知点, 圆过, 则圆的方程为

                    

例3.1.2 设平面上有三个不同的已知点为,,,圆C[l4] 过点,,,试求圆C[l5] 的方程.

解：由于圆过平面上不同三点的公式为

                   

则圆C[l6] 的方程为     

即为

3.2 行列式在平面几何中的两个应用

3.2.1 三线共点

平面内三条互不平行的直线

    相交于一点的充要条件是.

3.2.2 三点共线

平面内三点在一直线的充要条件是.

3.2.3 应用举例

例3.1.3 平面上给出三条不重合的直线:

, 若, 则这三条直线不能组成三角形.

证明 设与的交点为, 因为

,

将第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得：

.

因为在与上, 所以, 且

若与平行,

若也在上交于一点,

无论何种情形, 都有不组成三角形.

说明由, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.

参考文献

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[10]居余马.林翠琴  线性代数学习指南[M]，北京:清华大学出版社, 2003(6)