行列式的计算方法总结
1 行列式的概念及性质
1.1 行列式的概念
n级行列式
a11a21?an1
a12a22?an2
?
a1na2n?ann
1
2
n
??
等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积a1ja2j?anj
的代数和，这里的j1j2?jn是1，
2，?，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当j1j2?jn是偶排列时，带有正号；当j1j2?jn是奇排列时，带有负号。这一定义可写成
a11a21?an1
a12a22?an2
???
a1na2n?ann
?
?(?1)
j1j2?jn
r(j1j2?jn)
a1j1a2j2?anjn
，
这里
?
j1j2?jn
表示对所有n级排列的求和。
1.2 行列式的性质[1]
性质1 行列互换，行列式值不变，即
a11a21?an1
a12a22?an2
???
a1na2n?ann
?a11a12?a1n
a21a22?a2n
???
an1an2?ann
性质2行列式中某一行（列）元素有公因子k，则k可以提到行列式记号之外，即
a11?kai1?an1
a12?kai2?an2
???
a1n?
a11?
a12?ai2?an2
?
a1n?ain?ann
kain?kai1?ann
?
?an1
?
这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列式。
1
行列式的计算方法总结
事实上，
a11?kai1?an1
a12?kai2?an2
???
a1n?
kain=kai1Ai1+kai2Ai2+??kainAin ?ann
=k(ai1Ai2+ai2Ai2+??ainAin)
a11??kai1
?an1
a12?ai2?an2
???
a1n?ain， ?ann
令k=0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。
性质3如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即
aij?bij?cij(i?1,2,?,n)
，则这个行列式等于另两个行列式之和。
即
a11a21?an1
???
b1j?c1jb2j?c2j
?bnj?cnj
???
a1na2n?ann
?a11a21?an1
???
b1jb2j?bnj
???
a1na2n?ann
?a11a21?an1
???
c1jc2j?cnj
???
a1na2n?ann
这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而 这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。
性质4如果行列式中有两行（列）相同，则行列式等于零。所谓的两行相同就是 说两行的对应元素都相等。
性质5 如果行列式中两行（列）成比例，则行列式等于零。
性质6如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘数k后加到另一行（列）的对 应元素上去，则行列式不变。
性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
2 行列式的计算方法
行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n！项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应
2
行列式的计算方法总结
用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。
2.1 化三角形法[6]
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
例1浙江大学20xx年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学20xx年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式
12
234?1
345?2
????
n?1n1?n?2
n12?n?1
的值，Dn?3
?n
分析：显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始，每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
解：
12Dn?3
?n
111?1?n
111?1
????
111?n?1000?0?n
??
(n?1)(n?2)
2
11?n1?1???
00?n?00
0?n0?00?
(i?2,?,n)
ri?r1
112?n?1
100??n0
100?000??n0
???
10?n?
1?n0?00?n?
?n0?00
???
???n
1
(i?2,?,n)r1?
1nri
1n
2?n?2n?1
1n(n?1)
??n2
?n
??
00
1n(n?1)n?1???(?n)?(?1)n2?(n?1)2
n(n?1)
?n
n?1
???1?
2
。
3
行列式的计算方法总结
问题推广：
例1中，显然是1,2，?，n-1,n这n个数在循环，那么如果是a0,a1,?,an?2,an?1这n个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？我们把这种行列式称为“循环行列式”。从而推广到一般，求下列行列式
?a0
?a?n?1
Dn???
??a2?a?1
a1a0?a3a2
a2a1?a4a3
????
an?1?
?an?2
????a1?a0??
(ai?c,i?0,1,?,n?1)。
解：
?a0
?a?n?1
令A???
??a2?a?1
a1a0?a3a2
a2a1?a4a3
????
an?1?
?an?2
??? ?a1?a0??
首先注意，若u为n次单位根（即un?1），则有
n?1
??1??a0?a1u???an?1u
???n?1?ua?au???aun?10n?2????
2
?(这里因为un?1,所以用到u?un?1等）A??u????
????n?1
?a?au???au?231???n?1n?1????u???a1?a2u???a0u?
n?1??a0?a1u???an?1u?1?????2n
uau?au???au01n?1????
n?12
????(a0?a1u???an?1u)??u??????n?2n?12n?3
?au?au???au?0?1n?1??n?1?aun?1?aun???au2n?2???u??1n?1?0?
?1?
??u??2
?f(u)??u?
?????n?1??u??
，
其中 f(u)?a0?a1u???an?1u
n?1
。
4
行列式的计算方法总结
设 w?cos
2?kn
2
+isin
2?kn
为n次本原单位根 所以有 w?1,w?1(0?k?n) 。
nk
于是 1,w,w,?,w
n?1
互异且为单位根 。
记
?1??j??w?2j?,(j?0,1,?n?1)， wj??w??????(n?1)??w???
方阵w?(w0,w1,?,wn?1)，则由上述知：A?wj?f(wi)?wj，故
Aw?(Aw0,Aw1,?,Awn?1)?(f(w)?w0,f(w)?w1,?f(w
1
n?1
)?wn?1)
?f(w0)
?
?w?(w0,w1,?,wn?1)?
??
?
??? n?1
f(w)??
。
?1
?1?
显然 w?(w0,w1,?,wn?1)??1
?????1
1ww?w
n?12
???
?
?
?n?1
w
?2(n?1)
?为范德蒙行列式， w
???(n?1)(n?1)
?w?
1
所以 w?0,
从而有 Aw?w?f(1)?f(w)???f(w所以 A?Dn?f(1)?f(w)???f(w
n?1
)?A?w,
n?1
) 。
又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反，所以例1与
a0
Dn?
'
a1a2?a0
??
an?1a0?an?2
a1?an?1
?
(n?1)(n?2)
'
－1）相对应，而 D（
n
2
Dn，即得，
(n?1)(n?2)
??(?1)Dn
2
?f(1)?f(w)???f(w
n?1
)
。
从而当
5
行列式的计算方法总结
k
(a0,a1,?,an?1)?(1,2,?,n)时，对单位根u?w?1,总有f(u)?1?2u?3u???nu
2
2
n?1
,f(1)?1?2???n?
n?1
n(n?1)2
，
f(u)?uf(u)?1?u?u???u所以 f(u)?
?n1?u
。
n
n?1
?n??n ，
x?1x?1
而又因为 ?
?(x?w
k?1k
k
)?1?x?x???x
2n?1
,
令 x?1，
n?1
则有： ?(1?w)?1＋1＋?＋1? n 。
k?1
从而有
(n?1)(n?2)
D?(?1)?(?1)?(?1)
22
'n
2
?f(1)?f(w)???f(w?n(n?1)
22
??(?n)n
n?1
n?1
n?1
)1
2
(n?1)(n?2)
?(
1
1?w1?w
????
11?w
n?1
)
n(n?1)
?
n(n?1)
n?1
k
?(1?w
k?1
)
n(n?1)
?(?1)
2
?
n?12
?n
n?1
与例1的答案一致。
2.2 按行（列）展开法（降阶法）[3][12]
设Dn?aij为n阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有
Dn?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin?i?1,2,?,n?
或
Dn?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj?j?1,2,?,n?
其中Aij为Dn中的元素aij的代数余子式
按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n?1阶行列式计算。若继续使 用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。
6
行列式的计算方法总结
例2计算20阶行列式
12
D20?3
?20
212?19
321?18
????
181716?3
191817?2
201918 ?1
分析：这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至 化许许多多个2阶行列式计算，需进行（20！）?20－1次加减法和乘法运算，这是人根本无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。
注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算，
解：
12
D20?3
?20
212?1913
(i?2,?,20)
321?18100?00
???
181716?
191817?2122?
122?00
201918?1122?20
?21?(?1)
ci?1?ci
(i?1,?19)
123?1920
1?1?1??1?1
11?1??1?1
???
111?
111??1?1
111?1?1
?120?00
?????
3
??
?1?1
4?2021
20?1
ri?r1
?2
18
??21?2 。
18
00
以上就是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都 要与行列式的性质和基本方法结合起来。 下面是一些常用的方法：
2.3 递推法[15]
应用行列式的性质，把一个较高阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。
注意：用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难 找出递推关系式，从而不能使用此方法。
7
行列式的计算方法总结
例3 式
20xx年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等
??1
Dn?
0?0
?????1?0
0???
000?
000?
??????0
?1???
证明 ：Dn?
?
n?1
??
n?1
???
,
其中???（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求
出其值，从而证之）。
分析：此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素 都为零，这种行列式称“三对角”行列式。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn?1与
Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。
证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：
Dn?（?＋?）Dn－1－??Dn－2
，
这是由Dn?1 和Dn?2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低 阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：
Dn－?Dn－1＝?Dn－1－??Dn－2＝?（Dn－1－?Dn－2）
（Dn－1－?Dn－2）或Dn－?Dn－1＝?Dn－1－??Dn－2＝? 。
现可反复用低阶代替高阶，有：
Dn－?Dn－1＝?（Dn－1－?Dn－2）＝?（Dn－2－?Dn－3）＝?（Dn－3－?Dn－4）
＝?＝?（D2－?D1）=?
n?2
n－22
3
[(???)?????(???)]????(1)
2n
同样有
Dn－?Dn－1＝?（Dn－1－?Dn－2）＝?（Dn－2－?Dn－3）＝?（Dn－3－?Dn－4）
＝?＝?（D2－?D1）=?
n?2
n－22
3
[(???)?????(???)]????(2)
2n
因此当???时，由（1）（2）式可解得：Dn?
证毕。
?
n?1
??
n?1
???
。
点评：虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关 系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递 推关系式，如本题。
2.4 加边法（升阶法）[2][7]
8
行列式的计算方法总结
有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式 的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。
加边法的一般做法是：
a11
Dn?
a21?an1
???
a1na2n?ann
10?0?0
a1a11a21?an1
????
ana1n?ann
1b1?bn
0a11a21?an1
????
0a1na2n ?ann
a2n?b2
特殊情况取a1?a2???an?1 或 b1?b2???bn?1 。
当然加法不是随便加一行一列就可以了。那么加法在何时才能应用呢？关键是观察每行或每列是否有相同的因子。如下题：
例4计算n 阶行列式：
x1?1Dn?
x1x2x1x2
2
x1x2x2?1x1x2
2
x1x2x1x2xn?1
2
分析我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x1与
x1,x2,?,xn相乘，第二行为x2与x1,x2,?,xn相乘，??，第n
行为xn与x1,x2,?,xn相乘。
这样就知道了该行列式每行有相同的因子x1,x2,?,xn，从而就可考虑此法。 解：
10Dn?0
?0
x1x1?1x2x1?xnx1
n
2
x2x1x2
2
??
xnx1x2x2xn?xn?1x201?0
????
xn00?1
n?1
2
1
(i?1,?,n)ri?1?xir1
x110?0
x201?0
???
xn00?
?x1?x2??xn
x2?1??xnx2
?x110?0
?1
n?1
?
c1?xici?1(i?1,?,n)
?x
i?1
2i
00?0
n
?1?
?x
i?1
2i
。
注意:加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简
9
行列式的计算方法总结
化计算的效果。
2.5 拆行（列）法[6]
由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行 列式值，此法称为拆行（列）法。
由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。
例5南开大学20xx年研究生入学考试题第1大题，要求下列行列式的值， 设n阶行列式：
a11a21?an1
a12a22?an2
???
a1na2n?ann
?1
且满足aij??aji,i,j?1,2,?,n,对任意数b，求n阶行列式
a11?ba21?b?an1?b
a12?ba22?b?an2?b
???
a1n?ba2n?b?ann?b
??
分析:该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b，显然用拆 行（列）法。
解：
a11?bDn?
a21?b?an1?b
a11?a21?an1a11?a21?an1
a12?ba22?b?an2?ba12a22?an2a12a22?an2
??
a1n?ba2n?b?ann?ba1n?ba2n?b?ann?ba1na2n?ann
?b
??
a11a21?an1a11a21?an1a11
bb?b
a12?ba22?b?an2?b??
??
a1n?ba2n?b?ann?b
?b
??
bb?ba12a22?an2
a12?ba22?b?an2?b??
a1na2n????
anna1na2n??
ann
??
a1n?ba2n?b?ann?b
???
?a1n?b
?
a2n?b?ann?ba1na2n?ann
???
?
1?1??1?
10
a12a22?an2
a21?an1
???b
?
?
行列式的计算方法总结
n
n
n
?1?b?A2i???b?A1i?1?b?Aij
i?1
i?1
。
i,j?1
又令
a11
a12a22?an2
???
a1na2n?ann
a21?an1
A=
,且aij??aji,i,j?1,2,?,n 。
所以 有A?1,由A＝
－1
且A??A 。
－1
'
A
＊
A
＊
'
得A?A
?1'
?A
'?1
＊
＊
即A?A＝E所以 A＝A
＊－1
。
又 （A）?(A)?(A)??(A)
?1
＊*
??A， 所以 A也为反对称矩阵。
又Aij(i,j?1,2,?,n)为A*的元素，
n
所以有
?
i?1,j?1
Aij?0 。
n
从而知：Dn?1?b
?
i?1,j?1
Aij?1 。
2.6 数学归纳法[5]
一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）。
例6证明：
2cos?1
Dn?
0?00
12cos?1?00
012cos??00
?????
000?2cos?1
000?12cos?
?
sin(n?1)?sin?
(sin??0)
证：当n?1,2时，有
11
行列式的计算方法总结
D1?2cos??D2?
2cos?1
sin(1?1)?sin?12cos?
?4cos??1?
2
sin(2?1)?sin?
结论显然成立。
现假定结论对小于等于n?1时成立。 即有
Dn?2?
sin(n?2?1)?
sin?
,
Dn?1?
sin(n?1?1)?
sin?
。
将Dn按第1列展开，得
2cos?1
Dn?
?00
12cos??00
????
00?2cos?1
00?12cos?
(n?1)
2cos?1?
?00
02cos??00
??
00?2cos?1
00?12cos?
(n?1)
??
?2cos??Dn?1?Dn?2?2cos??????
sin(n?1?1)?
sin?sin?
2cos??sinn??sinn??cos??cosn??sin?
sin?
sinn??cos??cosn??sin?
sin?
sin(n?1)?sin?
?
sin(n?2?1)?
sin?
2cos??sinn??sin(n?1)?
故当对n时，等式也成立。得证。 接下来介绍一些特殊的行列式计算方法:
2.7 析因法[9]
如果行列式D中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列 式D当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C，根据多项式相等的定义，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C值，便可求得D=Cg(x) 。
那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行（其中含变数x），若x等于某一数
a1时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0。那么x-a1便是一个一次因式，
12
行列式的计算方法总结
再找其他的互异数使得D=0，即得到与D阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法。
例7 兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。需求如下行列式的值。
xa1
Dn?1??
a1a1
a1x?a2a2
a2a2?a3a3
????
anan? anx
分析：根据该行列式的特点，当x?ai.i?1,2,?,n时，有Dn?1?0。但大家认真看 一下，该行列式Dn?1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n个一次因式
x?ai.
i?1,2,?,n,那么能否用析因法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是
n
一样的，为：?ai?x，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因
i?1
n
式?ai?x，这样行列式的次数就降了一次。从而再考虑析因法。
i?1
解：
n
?a
i?1n
i
?x?x
a1x?a2a2
a2a2?a3a3
??
anan
n
?a
i?1
a1x?a2a2
a2a2?a3a3
??
anan? anx
i
Dn?1?
n
?
??(?ai?x)?
i?1
?
i?1ni?1
ai?x?x
??
anx
??
?a
令
i
Dn?1??
'
a1x?a2a2
a2a2?a3a3
??
anan? anx
??
显然当x?ai.i?1,2,?,n时，Dn?1'?013。 又Dn?1'为n次多项式，
13
行列式的计算方法总结
所以 设Dn?1?C(x?a1)(x?a2)?(x?an)。
'
又Dn?1'中x的最高次项为xn，系数为1， 所以 C=1 。
所以 Dn?1?(x?a1)(x?a2)?(x?an)
'
。
因此得
n
Dn?1?(?ai?x)Dn?1
i?1n
'
?(?ai?x)(x?a1)(x?a2)?(x?an) 。
i?1
点评:该题显然用析因法是最简便，但不要一味地只找使它等于0的数，而该题最多只能有n个数使它等于0，而行列式又是n?1阶是一个n?1次多项式，从而我们想到的就是得用行列式的性质把行列式的次数降低一次，使得原n?1次多项式变为一个一次多项式和一个n次多项式的乘积。进而便可求得其值。
凡事要懂得变通，一道题不可能用一种方法就可以马上解得。在析因法中，对于一个n次多项式，当你最多只能找出r个使其行列式为零时，就要把它化为一个n?r次多项式与一个r次多项式的乘积。但一般找出的使其行列式为零的个数与行列式的次数差太多时，不用本法。
2.8 辅助行列式法[14]
辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同。 解题程序：
1）在行列式D的各元素中加上一个相同的元素x，使新行列式D*除主对角线外，其余元素均为0；
2）计算D*的主对角线各元素的代数余子式Aii(i?1,2,?n);
n
3)D?D*?x?Aij
i,j?1
；
例8 大连理工大学20xx年硕士生入学考试《高等代数》试题，第一大题填空题第 2小题需求下列n阶行列式的值。
1
Dn?
1?2?n
1?1??1?
12?n?1
2?n1?1
解：在Dn的各元素上加上(?1)后，则有：
14
行列式的计算方法总结
(Dn)*?
0?2?n
00?0
n(n?1)2
??
02?n?
2?n0?0
n(n?1)
?(?1)
2
n
?(1?n) 。
?0
n?1
又A1n?A2???An1?(?1)（n?1）
n
?(1?n)
2
，其余的为零。
n
n
n(n?1)
所以 Dn?(Dn)*?
?(?1)?(?1)
2
?
i,j?1
Aij?(?1)
n
?(1?n)?
n(n?1)
?
i?1
Ai,n?i?1
n?1
n(n?1)
?(1?n)?(?1)?(1?n)
n?1
2
?n?(1?n)
n(n?1)2
。
点评：若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题。但根据该行列式的特点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，再化为三角形行列式也可轻易解出该行列式。
以下几种方法是利用到公式，所以有的方法在这只简单地给出其应用，只要记住公式，会应用就行。
2.9 利用拉普拉斯定理
拉普拉斯定理的四种特殊情形[1][3][5] 1）
AnnCmn0Bmm
0BmmAnnCmn
?Ann?Bmm
2）
Ann0
CnmBmmCnmBmm
?Ann?Bmm Ann0
3）
?(?1)
mn
Ann?Bmm 4）
?(?1)
mn
Ann?Bmm
例9 计算n阶行列式
?
b
Dn?b
?b
a
a
a
???
a
??
?
??
?
??
?
??
?
???
?
?
解：
15
行列式的计算方法总结
?
b
Dn
(i?2,,n?1)
aaa???
a
????
?0
????
?0
?
0?0a
?
0?
?i?1??2
0?0
?
???
a
????
a
?
b
C2?Ci
(n?1)a
??(n?2)?
00?0
????
0?0
?
?
00?
(i?3,?n)0
?0
???
?0
?0
???
??
00?
?
???
利用拉普拉斯定理
?
b
(n?1)a
??(n?2)?
?
2?2
0?0
???
?0
n?2
???
(n?2)?(n?2)
?[????(n?2)??ab(n?1)]?(???) 。
2.10 利用范德蒙行列式[6]
范德蒙行列式
1x1x1x1
2
1x2x2x2
2
1x3x3x3
2
1xnxnxn
2
?
?
1?j?i?n
(xi?xj) 。
n?1n?1n?1n?1
例10 计算n阶行列式
(a?n?1)(a?n?1)Dn?
?a?n?1
1
n?1n?2
(a?n?2)(a?n?2)
?
n?1n?2
??
(a?1)(a?1)
?
n?1n?2
aa
n?1n?2
?a1
a?n?2
1
??
a?11
解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质 把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，?,2行，1行对换，再将得到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，?,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+?+2+1=次行对换后，得到
16
n(n?1)
2
行列式的计算方法总结
1
n(n?1)
1a?n?2
?
n?2n?1
n?2n?1
??
1a?1?
n?2n?1
1a?aa
n?2n?1
a?n?1
?(a?n?1)(a?n?1)
Dn?(?1)
2
(a?n?2)(a?n?2)
??
(a?1)(a?1)
上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得
?En?AB??
n(n?1)
n?m
?Em?BA，
n(n?1)2
所以 Dn?(?1)
2
?
1?j?i?n
[(a?n?i)?(a?n?j)]?(?1)
?
1?j?i?n
(i?j) 。
2.11 利用矩阵行列式公式
引理：设A为n?m型矩阵，B为m?n型矩阵，En，Em分别表示n阶，m阶单位矩阵，则有det(En?AB)?det(Em?BA)[5]
先引入一个证明题
设A，B分别是n?m和m?n矩阵，??0，证明：?En?AB??n?m?Em?BA 证明：
??En
因为 ?
?B
A??En
??Em???B
0???En?AB???Em??0
A?
?Em?
两边取行列式得：
?En
B
??E又?n
?B
?A??En
?Em???0
?
A
En
0Em
Em?B?1?A?
?
?En
B
AEm
?
?En?AB
AEm
??En?ABEm??En?AB
。
?
Em
??En????B?????
?， 1
?BA?Em????
同样两边取行列式有
?En
B
AEm
En0
?1
?
Em
A
?
?En
B
AEm
?En
?
B
?1
?
BA?Em
n?m
??En?
1
?
BA?Em??
n
1
?
??Em?BA???
?Em?BA
得证。
那么对于A,B分别是n?m和m?n矩阵，?答案是肯定的。
证：
?0能否得到?En?AB??
n?m
?Em?BA
？
17
行列式的计算方法总结
因为 ?所以有
?En
B
??En?B?AEm
?A??En
??Em???B??En?AB
1?A?
0???En?AB???Em??0?A?
?， Em?
。
??
1
BA?Em????
n?m
??E
又 ?n
?B
??A??En
?Em???0
?
?
Em
??En????B????
，
所以
?En
B
?AEm
??En
n?m
1
?
BA?Em???Em?BA
。
所以 ?En?AB???Em?BA
。
?0时，有：
n?m
即得 对A,B分别为n?m和m?n矩阵，?
?En?AB???Em?BA
，
则当?
?1时，有：En?AB?Em?BA
引理得证。
例1120xx年全国硕士研究生入学考试数学试卷三第九题的解答中需要计算如下行列式的值。
a1?ba1
Dn?
a1?a1
a2a2?ba2?a2
a3a3a3?ba3a3
????
ananan?an?b
解： 令矩阵
?a1?b?a1?A??a1
????a
1?
a2a2?ba2?a2
a3a3a3?ba3a3
????
ananan?an?
?
?????b??
，
则可得
?a1?a?1??a1
????a?1
a2a2a2?a2
a3a3a3a3a3
????
an?
?1??
??an
?
?1?
an??bEn???(a1,a2,?,an)?bEn?Bn?1C1?n 。
??
?????1???
an??
18
A?bEn
行列式的计算方法总结
其中 B
n?1
??1
1?
1?,C1?n??a1,
T
a2,
?
,an?
。
那么根据上面所提到的引理可得：
Dn?bEn?BC?b
?1???1,an????
??????1?
n?1
b?C1?nBn?1
又 C1?nBn?1??a1,
a2,
?
?a，
i
i?1
n
所以可得：Dn
?b
n?1
(?ai?b) 。
i?1
n
2.12 利用方阵特征值与行列式的关系[4]
也以例11为例 解:
?a1?b?a1???a1
????a
1?
a2a2?ba2?a2
a3a3a3?ba3a3
????
?
?an
?an?
???an?b??an
M
n
?a1
?a?1
?bEn??a1
????a?1
n
a2a2a2?a2
a3a3a3a3a3
???
?
an??an
?
an??bEn?An 。 ???an??
显然bEn的n个特征值为b,b,?,b；An的n个特征值为?ai,0,0,?,0。故Mn的特征值为
i?1
n
b?
?
i?1
ai,b,b,?,b
?????
n?1
由矩阵特征值与对应行列式的关系知：Dn
?Mn?b
n?1
(?ai?b)(Mn
i?1
n
的特征
值也可由特征值的定义得到)。
点评：本题行列式比较特殊，可以用到此方法，对于其他的行列式，本方法一般不 适用，在这仅给出做此方法参考。 问题的推广：
例11中，主对角线上的元素为ai?b?i?1,2,?,n? ，那么我们使得主对角线上的元素 为?1,?2,??n ，n个任意数，可得下列一般的行列式：
?1
a1
Dn?
a1?a1a1
a
2
a3a3
???
aaa?
nnn
?2
a?aa
222
?3
?a3a3
??
a
n
?n
分析：上面我们已经介绍了多种方法，根据这题行列式的特点，每行都有相同的因子a1,a2,?,an ，所以本题适用加边法。(本题有多种解法，据上分析，仅以加边法推出。)
解：
19
行列式的计算方法总结
10Dn?
0?00
a1a2a2
a3a3a3?a3a3
???
ananan?an
?1
a1?a1a11?1
?2
?a2a2a1
??a20
?n
(n?1)
a300?00a300?00
n
???
an00?
?1?a1
0?00a1
(i?2,?,n)?1
ri?r1
??1?1
n
?2?a2
?00a20
?????
?n?an
an00?
(n?1)
?
1
?
i?1
ai
?i?ai
00?00
n
C1?
?i?ai
Ci?1
?1?a1
0?00
?2?a2
?00
(i?2,?,n)
??
?n?an
n
(n?1)
?(1?
??
i?1
ai
i
n
?ai
).?(?i?ai)?
i?1
?(?
i?1
n
i
?ai)?[ai.?(?j?aj)]
j?1j?i
，
特别地，当?i?ai?b(i?1,2,?,n)时，Dn?
n
?ab
i
i?1
n?1
?b?b
n?1
(b?
?a)。
i
i?1
n
与例11的答案一致。
以上总共给出了计算行列式的12种方法，其中一些是常见的些是最基本的方法， 一些是特殊但很实用的方法。还有其他的一些方法，如：极限法、换元法、导数法、差分法、积分法等，但这些方法用处不多，所以不加以详细介绍。
我认为只要理解和掌握以上12种方法，不管哪种行列式计算，都可以迎刃而解。 而且一个题目有时候要由多种解法并用，或一个题可由多种方法独自解出，这就需看灵活应用程度，能否找出一个最简便的方法解出其值。
结束语：
运用各种理论，总结各种方法对行列式进行计算是本文的宗旨．通过对行列式各种 方法的总结，使我学习到更多的有关行列式问题的解决方法。
20
行列式的计算方法总结
参考文献：
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[14] 北京大学数学力学系．高等代数．北京：人民教育出版社，1978，289-293
致谢：
本论文从选题、开题、撰写到最后定稿始终得到了我的导师xxx学院数学与应用数学系xxx教授的悉心指导; 老师治学严谨、学识渊博、诲人不倦:她那孜孜不倦的钻研精神，精益求精的工作作风，严谨求实的科研态度，将是我一生学习的榜样．谨在此向老师表示深深的感谢!
在此一并向xxx数学与应用数学系的各位老师表示诚挚的谢意!
21