数学与统计学学院
中期报告
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题目: 行列式的算法归纳
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20##年6月20日
目 录
引言................................................................................................................................. 2
1 行列式性质................................................................................................................... 2
2 行列式计算方法............................................................................................................ 5
2.1定义法................................................................................................................. 5
2.2递推法................................................................................................................. 6
2.3化三角法............................................................................................................. 9
2.4拆元法............................................................................................................... 11
2 .4加边法.............................................................................................................. 12
2.6数学归结法........................................................................................................ 14
2.7降价法............................................................................................................... 15
2.8利用普拉斯定理................................................................................................. 16
2.9利用范德蒙行列式.............................................................................................. 17
结论............................................................................................................................... 18
参考文献........................................................................................................................ 18
行列式的概念及应用
摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出了行列式的计算方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理和利用范德蒙行列式的方法。
关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式
The concept and application of determinant
In this article, it first lists some calculated properties of determinants, and then characterizes some methods to calculate determinant, including: definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered，Mathematical induction，reduction， the method using Laplace theorem or the van demon determinant.
Keywords: determinant; system of linear equations; Van demon determinant
引言
行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
1 行列式的性质
性质1[1] 行列互换，行列式值不变，即
其实，元素
在上式的右端位于第j行第i列，即此时i是列指标，j为行指标。
在行列式中，行与列的地位是对称的，所以有关行的性质，对列也成立。
性质2如果行列式中一行为零，那么行列式为零。
性质3如果行列式的某一行
的元都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行
而其余行不变的两个行列式的和。
即
这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。
性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。
性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。
性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。
2.行列式的计算方法
2.1 定义法
阶行列式计算的定义[3]：
其中，
表示对所有级排列求和。
是
的一个排列，当是偶排列时，
是正号；当是奇排列时，是负的。
是
中取自不同行不同列的个元素的乘积。
例2.1：证明
.
分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.
证明： 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为
则
. （3）
其中
为
的任意排列,在中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.
故=0.
注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.
2.3 递推法
应用行列式的性质，把一个较高阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，-1阶或-1阶与-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法[4]。
注意：用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难
找出递推关系式，从而不能使用此方.
例2.2证如下行列式等式
证明：
（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求
出其值，从而证之）。
分析：此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素
都为零，这种行列式称“三对角”行列式。从行列式的左上方往右下方看， 即知
与
具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。
证明：按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：
，
这是由 和
表示的递推关系式。若由上面的递推关系式从阶逐阶往低
阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由-1阶和-2阶行列式表示阶行列式，因此，可考虑将其变形为：
或 
。
现可反复用低阶代替高阶，有：
同样有
因此当 
时，由（1）（2）式可解得：
。
小结：虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递 推关系式，如本题。
2.3化三角形法
运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式[7].行列式的性质告诉了我们该如何求行列式,而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换(列变换),变成阶梯形(上三角)的行列式,再根据定义计算即可.
其计算步骤可归纳如下:
(ⅰ)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,则均加到某一列(行)（直观上加到第一列
(行)）.
(ⅱ)有公因子的提出公因子.
(ⅲ)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式.
(ⅳ)由行列式的定义进行计算.
由以上四步,计算一般行列式都简洁多了.
例2.3[6] 计算行列式
.
分析 直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第
列乘-1加到第列,第
列乘-1加到第列, 这样做下去直到第
列乘-1加到第
列,然后再计算就显得容易.
解：
.
问题推广
在例2.3中,这个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应该适应.计算行列式[1]
.
如果将例2.3中的数
，
代入
结论显然成立.
2.4．拆元法
由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行
列式值，此法称为拆行（列）法。
由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值[2]。
例2.4求下列行列式的值
设阶行列式：
且满足
对任意数b，求阶行列式
分析:该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b，显然
用拆行（列）法。
解：
。
又令
A=
,
。
。
。
， 所以 
也为反对称矩阵。
又 
为的元素，
。
从而知：
。
2.5．加边法
计算行列式往往采用降阶的办法，但在一些特殊的行列式的计算上却要采用加边法。行列式的加边法是为了将行列式降阶作准备的。更有利于将行列式化成上三角的形式，其加边的元素，也可根据计算的难易程度来确定。具有随意性。利用行列式按行（列）展开的性质把阶行列式通过加行（列）变成与之相等的
阶行列式,然后计算[3].
添加行列式的四种方法[18]:设
.
（1）首行首列
.
（2）首行末列
.
（3）末行首列
.
（4）末行末列
.
例2.5 [4] 计算 阶行列式：
分析 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为
与
相乘，第二行为
与相乘，……，第行为
与相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子，从而就可考虑此法。
解：
注意:加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。
2.6数学归结法
数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性[5].
基本方法
1) 先计算
时行列式的值.
2) 观察
的值猜想出
的值.
3) 用数学归纳法证明.
例2.6[6] 证明：
证：当
时，有
结论显然成立。
现假定结论对小于等于时成立。
即有
。
将按第1列展开，得
故当对时，等式也成立。得证。
2.7降阶法
阶行列式等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即 
或
.
行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算行列式的常用方法[9].
例2.7 计算
.
解
.
注意 对于一般的阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素,然后再按此行（列）展开,如此进行下去,直到二阶.
2.8 利用拉普拉斯定理
在利用行列式的一行(列)展开式时,我们可以发现计算行列式可以按某一行(列)展开,进行计算行列式.试想,我们可以根据行列式的某一个K级字式展开吗? 拉普拉斯经过对行列式的研究.终于发现此种方法可行,并给出了严密的证明,为了使行列式的计算更为简洁,现引入拉普拉斯定理.
拉普拉斯定理[12]:设在行列式D中任意取定了k
个行,由这k行元素所组成的一切K级字式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.
拉普拉斯定理的四种特殊情形：
1）
2）
3）
4）
例2.8计算n阶行列式
解
2.9 利用范德蒙行列式
范德蒙行列式[14]：
例2.9[16]：计算n阶行列式 
解 ： 显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。
先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到
上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得
结论：
综上所述，针对行列式结构特点而采用与之相适应的计算技巧，从而总结出了多种类型题目所适用的计算方法，因此，对于计算行列式的方法，我们首先要熟练掌握并懂得如何选择、运用，不管是哪一种行列式的计算，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。
参考文献
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