轴对称知识点总结

1、轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：

（1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：

（1）

成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：

（1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，

∵CA=CB，

  直线m⊥AB于C，  

∴直线m是线段AB的垂直平分线。

 

        

（2）

性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，

∵CA=CB，

  直线m⊥AB于C，

  点P是直线m上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定。

    与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB，         

        直线m是线段AB的垂直平分线，

       ∴点P在直线m上 。

6、等腰三角形：

（1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

?相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

?两腰的夹角叫做顶角。

?腰与底的夹角叫做底角。

说明：顶角=180°- 2底角

     

底角=

可见，底角只能是锐角。

（2）性质。

?等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。

?等边对等角。

如图5，在△ABC中

      ∵AB=AC

      ∴∠B=∠C 。

?三线合一。

（3）判定。                

?有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC中，

      ∵AB=AC

      ∴△ABC是等腰三角形 。

?有两个角相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC中

      ∵∠B=∠C

      ∴△ABC是等腰三角形 。

7、等边三角形：

（1）定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（2）性质。

?等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。

?三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。      

?等边三角形的三个内角都等于60°。

如图6，在△ABC中

      ∵AB=AC=BC

      ∴∠A=∠B=∠C=60°。

 

（3）判定。  

?三条边都相等的三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC中

      ∵AB=AC=BC

      ∴△ABC是等边三角形 。

?三个内角都相等的三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC中

      ∵∠A=∠B=∠C

      ∴△ABC是等边三角形 。

?有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC中

      ∵AB=AC（或AB=BC,AC=BC）

        ∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°）

      ∴△ABC是等边三角形 。

（4）重要结论。在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半。

如图7，

∵在Rt△ABC中，

  ∠C=90°，∠A=30°

∴BC=AB

或AB=2BC

 

8、平面直角坐标系中的轴对称：

(1)

(2)

说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见11（1）。

9、对称轴的画法：

在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。

注意：?有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。

      ?成轴对称的两个图形只有一条对称轴。

10、常见的轴对称图形：

（1）英文字母。

     A B D E H I K M O T U V W X Y

（2）中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。

（3）数字。0  3  8

（4）图形。

 

说明：?圆有无数条对称轴。

      ?正n边形有n条对称轴。

11、掌握几个作图：

（1）作出点A关于直线m对称的点A^/ 。

作法：如图

?以点A为圆心，适当的长为半径画圆弧。使圆弧与直线MN交于两点C、D。?分别以点C,D为圆心，大于的长为半径画圆弧，设两条圆弧交于点E。

?作射线AE，设交直线mn于点F。

4在射线AE上截取FA^/=FA，点A^/即为所求。

12、找一点使距离之和最短【重点】

条件：如下左图，Ａ、Ｂ是直线Ｌ同旁的两个定点．

问题：在直线Ｌ上确定一点Ｐ，使PA＋PB的值最小．

方法：作点A关于直线L的对称点A＇，连结A＇B交L于点P，则PA+PB=A＇B的值最小。

注：这个知识点非常有技巧，以后遇到的很多题型如果会运用这个方法就省很多事。

用坐标表示轴对称

5、关于坐标轴对称【重点】

点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）

点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）

点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）

 

添加辅助线口诀

几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.

线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现；

公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.

角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现；
角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。

第二篇：轴对称知识点整理总结

§13．1 轴对称（一）

    一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．

    二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．

下列各图，你能找出它们的对称轴吗？

 

  

(1)          (2)          (3)            (4)                (5)

§13．1 轴对称（二）

    一、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．

    二、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

    三、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．

    [探究1]

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP₁=BP₁，AP₂=BP₂，…

    证明．

    证法一：利用判定两个三角形全等．

    如下图，在△APC和△BPC中，

   

△APC≌△BPC  PA=PB.

    证法二：利用轴对称性质．

由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．

[探究2]

1.作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P₁、P₂，连结AP₁、AP₂、BP₁、BP₂．会有以下两种可能．

2．讨论：要使L与AB垂直，AP₁、AP₂、BP₁、BP₂应满足什么条件？

 探究过程：

    1．如上图甲，若AP₁≠BP₁，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP₁≠∠BPP₁，即L与AB不垂直．

    2．如上图乙，若AP₁=BP₁，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP₁=∠BPP₁，即L与AB重合．当AP₂=BP₂时，亦然．

§12．2作轴对称图形

一．如何由一个平面图形得到它的轴对称图形．

【探究】四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．（归纳：与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律；）

【引申】

分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=－1(记为n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？

若△PQR中P(x,y)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P (x,y) ，

则，y= y．

若△PQR中P(x,y)关于y=－1(记为n)轴对称的点的坐标P (x,y) ，

则x= x，=n．

13．3. 1等腰三角形

等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．

思考：

    1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．

    2．等腰三角形的两底角有什么关系？

    3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

    4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？

    结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

   由此可以得到等腰三角形的性质：

    1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

    2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

例题与练习

　　1．如图2

　　其中△ABC是等腰三角形的是 [       ]

　　2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．

　　②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．

　　③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．

　　④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．

　　3．以问题形式引出推论l______．

　　4．以问题形式引出推论2______．

13．3.2等边三角形

等边三角形定义：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形也称为正三角形。

等边三角形的性质：

1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．

    2．等边三角形每一个角相等，都等于60°

   等边三角形的判断方法：

3．三个角都相等的三角形是等边三角形．

4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

练习巩固

    1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。

    a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合(    )

    b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°(    )

2．如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。

                  

例题与练习

1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?

    ①在边AB、AC上分别截取AD=AE．

    ②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．

③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．

2． 已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．

3. 已知如图所示, 在△ABC中,  BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120^o, 求证: AB=2BC

4、如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.