指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈^*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·   ；

（2）     ；

   （3）      ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

    （1）在[a，b]上，值域是或

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

解  (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．

(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．

(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

练习：（1）；　     （2）；      （3）；

【例 2 】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [    ]

A．a＜b＜1＜c＜d

B．a＜b＜1＜d＜c

C． b＜a＜1＜d＜c

D．c＜d＜1＜a＜b

解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，

则得b＜a＜1＜d＜c．

练习：指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 (   ).

　　　　

【例3】比较大小：

(3)4.54.1________3.73.6

解  (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6

∴ 4.54.1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．

练习： （1）1.7^2.5   与  1.7³　　　　　　　　　　( 2 )与

 

( 3 )  1.7^0.3  与   0.9^3.1　（４）和

【例5】作出下列函数的图像：

(3)y＝2|x-1|               　(4)y＝|1－3x|

解  (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．

解  (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解  (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)

 (1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

解  (1)定义域是R．</PGN0095A.TXT/PGN>

∴函数f(x)为奇函数．

即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)

单元测试题

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1、化简，结果是（     ）

A、       B、     C、        D、

2、等于（     ）

A、                       B、                        C、                        D、 

3、若,且,则的值等于（      ）

A、          B、            C、            D、2

4、函数在R上是减函数，则的取值范围是（      ）

A、         B、          C、        D、

5、下列函数式中，满足的是(       )

A、       B、          C、                        D、

6、下列是（     ）

A、奇函数        B、偶函数         C、非奇非偶函数   D、既奇且偶函数

7、已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（     ）

A、1个           B、2个           C、3个           D、4个

8、函数是（     ）

A、奇函数        B、偶函数         C、既奇又偶函数   D、非奇非偶函数

9、函数的值域是（     ）

A、        B、  C、       D、

10、已知,则函数的图像必定不经过（     ）

A、第一象限      B、第二象限       C、第三象限       D、第四象限

11、是偶函数，且不恒等于零，则(    )

A、是奇函数                        B、可能是奇函数，也可能是偶函数

C、是偶函数                        D、不是奇函数，也不是偶函数

12、一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（     ）

A、     B、      C、    D、

二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）

13、若，则                。

14、函数的值域是               。

15、函数的单调递减区间是                 。

16、若，则                。

三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17、设，解关于的不等式。

18、已知，求的最小值与最大值。

19、设，，试确定的值，使为奇函数。

20、已知函数，求其单调区间及值域。

21、若函数的值域为，试确定的取值范围。

22、已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明是上的增函数。

指数与指数函数同步练习参考答案

一、

二、13、  

14、，令，∵ ,又∵为减函数，∴。

15、，令， ∵为增函数，∴的单调递减区间为。

16、 0，

三、17、∵,∴ 在上为减函数，∵ , ∴

18、,

∵, ∴.

则当,即时,有最小值；当,即时，有最大值57。

19、要使为奇函数，∵ ,∴需,

∴,由,得,。

20、令,，则是关于的减函数，而是上的减函数，上的增函数，∴在上是增函数，而在上是减函数，又∵, ∴的值域为。

21、，依题意有

即，∴

由函数的单调性可得。

22、（1）∵定义域为,且是奇函数；

（2）即的值域为；

（3）设,且，

(∵分母大于零，且)

∴是上的增函数。

第二篇：指数函数应用举例专题总结

指数函数应用举例专题总结

学生学习完指数函数y?ax?a?0且a?1?之后，往往感觉知识点很多且在生活中不常见，事实上，我们的生活中有很多时候是要用得到指数函数的，如：

问题1：设某辆汽车今年的价值是30万元，若按每年20%的折旧率折旧，问xx年后该汽车价值为多少万元？

这是生活中常见的例子，选择该例子是因为它能引起学生的兴趣。只要分析好“按折旧率折旧”的意思，让学生理解清楚题意，就能激发起学生对于解决该问题的求知欲。引导学生求解该问题时可从简单的20xx年价值，推到20xx年的价值，再推到20xx年，20xx年，从而引导学生发现出其中的规律及公式，从而可以推出xx年后该汽车的价值。

问题2：某市20xx年有常住人口54万，如果人口按每年1.2%的增长率增长，那么20xx年该市常住人口约为多少万人？

这也是能引起学生兴趣的话题，用问题1类似的方法能让学生容易解决该问题。

最后引导学生探索出按照固定变化率的增长问题与减少问题对应的解决方法与公式。

指数函数若能回归到学生身边的问题中，必定能引起学生的兴趣及求知欲，同时通过指数函数应用举例的学习可以培养到学生猜测与推理、归纳整理的能力。