第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。 当n是奇数时，an?a，当n是偶数时，an?|a|??2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

n

?a(a?0)

?a(a?0)?

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a

?m

n

mn

，

?

1a

r

mn

?

1

am

(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）a〃a?a

r

r?s

(a?0,r,s?R)；

rsrs

(a)?a（2） (a?0,r,s?R)；rrs

(ab)?aa(a?0,r,s?R)． （3）

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2

x

（1）在[a，b]上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)，总有f(1)?a； 二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N

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x

x

的对数，记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式） 说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1； 2 ax?N?logaN?x； ○

3 注意对数的书写格式． ○

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

（二）对数的运算性质

如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： 1 loga(M〃N)?logaM＋logaN； ○

M

?logaM－logaN； N

3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○

2 loga○

注意：换底公式

logab?

logcb

（a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）．

logca

1n

（2）logab?． logab；

mlogba

利用换底公式推导下面的结论 （1）logambn?

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

y?2log2x，y?log5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

5

2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)． ○

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（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数，其中?为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）??0

时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数．特别地，当??1时，幂函数的图象下凸；当0???1时，幂函数的图象上凸；

（3）??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

例题：

1. 已知a>0，a

0，函数y=a与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

x

log27?2log52

2.计算： ①log32?②24?log23= ；255= ;

log2764

1

③0.064??(?7)0?[(?2)3]??16?0.75?0.01 =

1418

3.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为

2

2

4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,

2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=

f(x)?0的

5.已知f(x)?log1?x(a?0且a?1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使

a

1?x

x的取值范围

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第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数

y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?○

系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点：

二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．

（1）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 5.函数的模型

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22

f(x)的图象联

2

第二篇：2_基本初等函数知识点小结

                   第二章基本初等函数知识点小结

一．【课标要求】

1．指数函数

（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的¹⁴C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型

2．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。

4.幂函数

（1）了解幂函数的概念

（2）结合函数y=x, ,y=, y=,y=,y=的图象，了解它们的变化情况

二．【要点精讲】

1．指数与对数运算

（1）根式的概念：

①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，

1）当为奇数时，次方根记作；

2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作

②性质：1）；2）当为奇数时，；

3）当为偶数时，。

（2）．幂的有关概念

①规定：1）N^*；2）；

                   n个

3）Q，4）、N^*  且

②性质：1）、Q）；

2）、 Q）；

3） Q）。

（注）上述性质对r、R均适用。

（3）．对数的概念

①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数

1）以10为底的对数称常用对数，记作；

2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；

3）；4）对数恒等式：。

③运算性质：如果则

1）；

2）；

3）R）

④换底公式：

1）；2）。

2．指数函数与对数函数

（1）指数函数：

①定义：函数称指数函数，

1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；

3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。

②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；

3）对于相同的，函数的图象关于轴对称

③函数值的变化特征：

（2）对数函数：

①定义：函数称对数函数，

1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；

3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；

4）对数函数与指数函数互为反函数

②函数图像：

 

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；

4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。

③函数值的变化特征：

 

   

（3）幂函数

1）掌握5个幂函数的图像特点

2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数

3）过定点（1，1）当指数为偶数时，幂函数为偶函数；当指数为奇数时，幂函数为奇函数

当a>0时过（0，0）

4）当x>0时，幂函数一定不经过第四象限