关于 高中基本函数 的教学讲义
预计课时：2 学生姓名： 指导教师：
（一）指数函数
指数：
(1) 规定：
① a0＝ (a≠0)；
② a-p＝ ；
③ 
.
(2) 运算性质：
① 
(a＞0, r、
Q)
② 
(a＞0, r、Q)
③ 
(a＞0, r、Q)
注：上述性质对r、R均适用.
2．指数函数：
① 定义：函数y=ax（a＞0,a≠0）称为指数函数
1) 函数的定义域为 ；
2) 函数的值域为 ；
3) 当________时函数为x增大y减小，当_______时为x增大y增大函数.
② 函数图像：
例1. 已知a=
,b=9.求： （1）
（2）
.
解：（1）原式=
.
÷［a
·
］= 
=a
.
∵a=，∴原式=3.
（2）方法一 化去负指数后解.
∵a=
∴a+b=
方法二 利用运算性质解.
∵a=∴a+b=
变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
（2）
变式训练2：已知实数a、b满足等式
，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例2. 求下列函数的定义域、值域：
f(x)=3
;
解：（1）依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,
∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.
令u=
∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），
∴u≥0，即
≥0，而f(x)=3≥30=1,
∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.
变式训练2：求下列函数的定义域与值域：
（1）.y=
(2).
y=
变式训练3：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=
.
（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；
解： 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-
由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),
得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f（x）=
（二）、对数函数
1．对数：
(1) 定义：如果
，那么称logaN（a＞0且a≠0，N＞0）为对数函数，其中
称为对数的底，N称为真数.
① 以10为底的对数称为常用对数，
记作___________．
② 以无理数
为底的对数称为自然对数，
记作_________．
(2) 基本性质：
① 真数N为 (负数和零无对数)；② 
；③ 
；
④ 对数恒等式：
．
(3) 运算性质：
① loga(MN)＝___________________________；
② loga
＝____________________________；
③ logaMn＝ (n∈R).
④ 换底公式：logaN＝ (a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0)
⑤ 
.
2．对数函数：
① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为随着x增大y减小，当______时为随着x增大y增大；
例1 计算：（1）
（2）2(lg
)2+lg·lg5+
;
解：（1）方法一 利用对数定义求值
设=x,则(2+
)x=2-=
=（2+）-1,∴x=-1.
方法二 利用对数的运算性质求解
=
=(2+)-1=-1.
（2）原式=lg（2lg+lg5）+
=lg(lg2+lg5)+|lg-1|
=lg+(1-lg)=1.
变式训练1：化简求值.
（1）log2
+log212-
log242-1; （2）(log32+log92)·(log43+log83).
解：
例2 比较下列各组数的大小.
（1）log3
与log5
; （2）log1.10.7与log1.20.7;
解：
变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga
的大小关系是 （ ）
A.loga
B.
C.
D.