初中数学
轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形 轴对称图形
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．
轴对称
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
图形轴对称的性质
如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
轴对称与轴对称图形的区别
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．
线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．
轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
（2）?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）
关于原点对称
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）
关于坐标轴夹角平分线对称
点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x） 点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝ －x对称的点的坐标是（－y，－x）
关于平行于坐标轴的直线对称
点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；
点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；
等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．
等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 特别的：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．
（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．
（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．
（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，?并且每一个内角都等于60°
等边三角形的判定方法
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
MPC
BON
角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
A
MC
BON
三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
添加辅助线口诀
几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.
线段垂直平分线，常向两端来连线.线段和差及倍分，延长截取全等现；
公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换.
角平分线取一点，可向两边作垂线； 也可将图对折看，对称之后关系现； 角平分线加平行，等腰三角形来添； 角平分线伴垂直，三线合一试试看。
第二篇：初中数学1.5等腰三角形的轴对称性(2)
初中数学
1.5等腰三角形的轴对称性（2）
姓名_________ 班级 ________ 学号 等第
学习目标
1. 掌握“等角对等边”的性质
2. 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质
3. 经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力，
感受分类、转化等数学思想方法；
4. 会用“因为??所以??理由是??”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和
表达，提高演绎推理的能力
学习重点
熟练的掌握“等角对等边”及直角三角的重要性质
学习难点
正确熟练的运用解决问题
学习过程
1.探索发现
（1）.将一张长方形的纸条上任意画出一条截线AB，所得的∠1与∠2相等吗？为什么？
2
B
1
A
21A
B
经过折叠后所得的△ABC，在所得的三角形中∠1=∠2。那么请同学们度量边AC，BC的长度，你们有什么发现？
（2）.在一张薄纸上画线段AB，并在AB同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM和∠ABM.设AM与BN相交于点C.量一量AC与BC的长度，AC和BC相等吗？你和同学所得的结论相同吗？
2.例题分析
例1. 如图，在△ABC中，AB = AC，两条角平分线BD、CE相交于点O。 (1).OB与OC相等吗？请说明理由。
⑵.BD与CE相等吗?为什么?
BE
OD
A
C
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⑶.如果将BD与CE变为高或中线，⑵中的结论还成立吗?为什么?
例2、如图，已知0B、OC为△ABC的角平分线，DE∥BC，△ADE的周长为10，BC长为8，求△ABC的周长.
A
D 0
E
B C
3. 根据课本P26的探索，请同学讨论，并从中得出相关的结论
取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠：
D
B
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A C
问题：图中与AD相等的线段有哪些？CD与AB的大小有什么关系？
4.课堂练习
（1）.课本第26页练习1、2、3
（2）.如图,在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD. 0
D
A N
M C B
0（3）.如图,在△ABC中，∠C=90， ∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，
求证:DE=2AB.
A D
E
C B
5. 总结反思
（1）.如何判定一个三角形是等腰三角形？
（2）.直角三角形斜边上的中线与斜边有何关系？
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作业设计
班级 姓名 学号 等第
1．等腰三角形的识别：如果一个三角形有两个角 ，那么这两个角所对的边 .简称 ．
2．直角三角形 等于 的一半.
3．在△ABC中，∠A=30°，当∠B= 时，△ABC为等腰三角形；
当∠B= 时，△ABC为直角三角形．
4．如图，已知AC=CD=DA=CB=DE，则此图中共有 个等腰三角形，有 个直角三角形，11AC= = . 22
5．在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若AB=18㎝，
则CD= . B C D E
6．如图，BC=BD，∠C=∠D，你能判断AC与AD的长度有什么关系吗？请说明理由． A
B
7.在△ABC中，已知点E在BA的延长线上，并且∠1=∠2，AD∥BC．
问：△ABC是什么三角形？为什么？
E
A1D 2 BC
8．如图，△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，D是BC边上的中点，试说明DE=DF. A
F
E
BD
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9.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点
D、E.请说明DE=BD+EC.
A
D 0 E
C B
选做习题
10．如图，已知△ABC中，∠B=90°,AB=BC,BD=CE,M是AC边上的中点，求证：△DEM是等
腰三角形．
11.如图在△ABC中，M,N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC，证明：MN ⊥EF.
A
F N
E
B
M C
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