§13．1 轴对称（一）

    一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．

    二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．

下列各图，你能找出它们的对称轴吗？

 

  

(1)          (2)          (3)            (4)                (5)

§13．1 轴对称（二）

    一、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．

    二、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

    三、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．

    [探究1]

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP₁=BP₁，AP₂=BP₂，…

    证明．

    证法一：利用判定两个三角形全等．

    如下图，在△APC和△BPC中，

   

△APC≌△BPC  PA=PB.

    证法二：利用轴对称性质．

由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．

[探究2]

1.作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P₁、P₂，连结AP₁、AP₂、BP₁、BP₂．会有以下两种可能．

2．讨论：要使L与AB垂直，AP₁、AP₂、BP₁、BP₂应满足什么条件？

 探究过程：

    1．如上图甲，若AP₁≠BP₁，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP₁≠∠BPP₁，即L与AB不垂直．

    2．如上图乙，若AP₁=BP₁，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP₁=∠BPP₁，即L与AB重合．当AP₂=BP₂时，亦然．

§12．2作轴对称图形

一．如何由一个平面图形得到它的轴对称图形．

【探究】四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．（归纳：与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律；）

【引申】

分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=－1(记为n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？

若△PQR中P(x,y)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P (x,y) ，

则，y= y．

若△PQR中P(x,y)关于y=－1(记为n)轴对称的点的坐标P (x,y) ，

则x= x，=n．

13．3. 1等腰三角形

等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．

思考：

    1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．

    2．等腰三角形的两底角有什么关系？

    3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

    4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？

    结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

   由此可以得到等腰三角形的性质：

    1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

    2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

例题与练习

　　1．如图2

　　其中△ABC是等腰三角形的是 [       ]

　　2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．

　　②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．

　　③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．

　　④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．

　　3．以问题形式引出推论l______．

　　4．以问题形式引出推论2______．

13．3.2等边三角形

等边三角形定义：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形也称为正三角形。

等边三角形的性质：

1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．

    2．等边三角形每一个角相等，都等于60°

   等边三角形的判断方法：

3．三个角都相等的三角形是等边三角形．

4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

练习巩固

    1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。

    a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合(    )

    b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°(    )

2．如图(2)，在△ABC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2＝25°，求∠ADB和∠B的度数。

                  

例题与练习

1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?

    ①在边AB、AC上分别截取AD=AE．

    ②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．

③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．

2． 已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．

3. 已知如图所示, 在△ABC中,  BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120^o, 求证: AB=2BC

4、如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.

第二篇：七年级下册三角形,平行线,轴对称,整式知识点总结及习题

第七章生活中的轴对称（知识点总结）

一，基本概念

1．轴对称图形，对称轴 如果重合，那么这个图形叫做 轴对称图形，这条直线叫做对称轴 。轴对称图形不一定只有一条对称轴，但至少有一条。

2.轴对称 对于图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全的重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称 。

3.和中的

4.轴对称的性质：1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；2）对应线段相等，

4．点到这个角的两边的距离相等。

5.垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

6. 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

7.等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

8.等腰三角形性质：1）等腰三角是轴对称图形 ；2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线，底边上的高重合（三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3）等腰三角形的两个底角相等。（注意：等腰三角形的性质常用于说明两线段相等或两角相等）

9.等腰三角形的判定方法：1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；2) 有两条边相等的三角形是等腰三角形（等边对等角）。

10.等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。

11.等边三角形的性质：1）等边三角形的三个内角均为600 ; 2)等边三角形的三边相等。

12.镜子成像的特点：1) 物体与镜子平行时:左右互换是关键，物与像成轴对称，简单可以看反面。；2）物体与镜面垂直时:像的方向与物体的方向上下颠倒。

第五章三角形（知识点总结）

1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。用“△”

表示三角形，以A、B、C为顶点的三角形记作“△ABC”。

2三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。例：如果△ABC的三边分别为a、b、c,则：1）a+b >c,a+ c > b, b + c> a;2) ▏c-a ▏< b, ▏c-b ▏<a, ▏a-b ▏<c.

3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1800 。注意：三角形的三个内角中至少有两个是锐角，三角形的最大的角不小于600 。

4.直角三角形的基本性质：1)直角三角形的两个锐角互余;2) 以A、B、C为顶点的直角三角形记作“Rt△ABC”。 3)直角三角形的斜边大于任何一条直角边（依据是“垂线段最短”）。

5.三角形按内角大小分为三类：1）锐角三角形；2）直角三角形；3）钝角三角形。

6.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线和它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

7．角平分线的性质：1）角平分线上的点到角两边的距离相等；2）三角形有三条角平分线且三条角平分线交于三角形内部的一点。

8.三角形的中线：在三角形中，，叫做这个三角形的中线。

9.三角形中线的性质：1）三角形有三条中线.且他们相交于一点；2）三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。

10.1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。2）特点：三角形有三条高，三条高所在的直线交于一点。3）钝角三角形三条高交点在三角形外部，直角三角形三条高交点在直角顶点，锐角三角形三条高交点在三角形内部。

11.全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形。

12.全等三角形：能够完全重合的两个三角形是全等三角形。

13.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。例如：△ABC与△A1B1C1全

来连接，即△ABA1B1C1 。

14.：(边边边)；（边角边） (角角边); (角边角)ASA

15：（斜边，直角边边边边 ; (角角边) (角边角)

第二章 平行线与相交线

1.如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。（两角互余或者互补只与它们的大小有关，和位置没有关系） 2.∠1和∠2互为对顶角，对顶角相等。（如图一） 1 2 3．平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

4.同位角：两直线被第三条直线所截，两个角分别在两条直线的相同一侧， 图一 并且在第三条直线的同旁，这样一对角叫做同位角。（∠1和∠3）

5．内错角：两直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，

并且在第三条直线的两旁，这样一对角叫做内错角。（∠2和∠3） 1

6.同旁内角： 两直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间， 2 并且在第三条直线的同旁，这样一对角叫做同旁内角。（∠2和∠4）

7.判断两直线平行的方法：1）判断定律（常用3条）：①同位角相等，两直线 3 4 平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。；2行线定义：在同一平面内，不相交的两直线平行。

8.平行线的特征：①两直线平行，同位角相等。②两直线平行，内错角相等。 图2 ③两直线平行，同旁内角互补。

三角形，轴对称，平行线综合解题思路方法总结

一，两条线段相等的四种证明方法：

①证明两三角形全等 [ 一般三角形全等四种：(边边边)SSS；（边角边）SAS; (角角边)AAS; (角边角)直角三角形再加（斜边，直角边）通过全等三角形对应线段相等来说明线段相等）]；

②线段的垂直平分线的性质：（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）;③角平分线的性质：（角平分线上的点到角两边的距离相等）；

④等腰三角形的性质：（等角对等边）

补充：⑤等于同一线段的两条线段相等

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

三、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

四、证明线段的和、差、倍、分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、 三角形的重心、相似三角形的性质等）。

五、证明角的和、差、倍、分

1.作两个角的和，证明与第三角相等。

2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。

3.利用角平分线的定义。

4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

三角形辅助线做法技巧总结

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

例题讲解

1.延长已知边构造三角形：

分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，

∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）

∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义）

在△DBE与△CAE中 EAB

??E??E(公共角)

∵???DBE??CAE(已证)

?BD?AC(已知)?

∴△DBE≌△CAE （AAS）

∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等）

∴ED－EA＝EC－EB

即：AD＝BC。

D图7?1C

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）

2 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 证明：连接AC（或BD）

∵AB∥CD AD∥BC （已知）

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）

在△ABC与△CDA中 A

13

2D??1??2(已证)

∵ ??AC?CA(公共边)

??3??4(已证)?

∴△ABC≌△CDA （ASA） B图8?1C

∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）

3、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与

F∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA，CE交于点F。

∵BE⊥CF （已知）

∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）

在△BEF与△BEC中， AE图9?1

??1??2(已知)

∵ ? ?BE?BE(公共边)

??BEF??BEC(已证)?

∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=1CF （全等三角形对应边相等） 2

∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）

∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°

∴∠BDA＝∠BFC

在△ABD与△ACF中

??BAC??CAF(已证)? ??BDA??BFC(已证)

?AB＝AC(已知)?

∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE

4、连接已知点，构造全等三角形。

分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝

证明：连接BC，在△ABC和△DCB中 AD

B图10?1

?AB?DC(已知)

∵ ??AC?DB(已知)

?BC?CB(公共边)?

∴△ABC≌△DCB (SSS)

∴∠A＝∠D (全等三角形对应边相等)

5、取线段中点构造全等三有形。

分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。

证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN

?AN?DN(辅助线的作法)

中 ∵ ? ??A??D(已知)

?AB?DC(已知)?

∴△ABN≌△DCN （SAS）

∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）

在△NBM与△NCM中 ADBM图11?1C

?NB＝NC(已证)

∵??BM＝CM(辅助线的作法)

?NM＝NM(公共边)?

∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。

整式的运算（知识总结）

§1.整式

1.单项式：表示数与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。（数与字母的积）。例如：7a2b, ─3x,0,y。①单项式中的数字因数叫做单项式的系数（常5

数）如：7a2b 其系数是7.

2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。如：3x2y─6xy+3,2a-b.①其中不含字母的项叫做常数项：如：3x2y─6xy+3 中的3是常数项。②一个多项式含有几个单项式就叫做几项式。如：3x2y─6xy+3 含有三个单项式，所以它是三项式。

3整式：单项式和多项式统称整式。 拓展：①如果一个代数式是单项式或多项式，那么它一定是整式。（如右下图）

代数式

4单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。如：7a2b中，字母a,b的指数和为2+1=3，所以7a2b的次数是3.

5.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。如：3x2y─

6xy+3 的次数最高项为3x2y，3x2y的次数为3，所以多项式3x2y─6xy+3 的次数为3. 拓展：①对于一个多项式，知道了它的项数和次数后，我们可以称这个多项式为几次几项式，如3x2y─6xy+3 称为三次三项式。②常数项的系数是它本身，次数为0.

§2.整式的加减

1.整式的加减运算步骤：先去括号，再合并同类项。注意：①在去括号时注意括号前有“-”时，去括号后，括号里面的每一项都必须改变符号；②合并同类项时只进行系数的加减，字母及其指数不变。

§3.同底数幂的乘法

1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。公式：am﹒an=am+n 注意：①底数a可为数﹑字母﹑一个代数式 ②相乘的幂必须底数相同。③公式可以推广到三个或

三个以上的同底数幂相乘，如：am﹒an﹒ap=am+n+p ③公式反过来也成立： am+n= am﹒an ④ （-a）n=an(n为正偶数)／= -an (n为正奇数) ；（b-a）n=(a-b) n (n为正偶数) ／=-(a-b) n (n为正奇数)。

§4.幂的乘方与积的乘方

1.幂的乘方：底数不变，指数相乘。公式：(am )n=amn (m , n 为正整数)。

2.积的乘方：积的乘方等于积中各因式的乘方的积。公式：(ab)n=anbn (n 为正整数)

§5. 同底数幂的除法

─1.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。公式：am ÷an =amn (a≠0,m,n为

正整数，且m>n)

2.零指数幂：a0 =1 (a≠0); 负整数指数幂：a –p =

§6. 整式的乘法

1. 单项式乘以单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数﹑相同字母的幂分别相

乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2 单项式乘以多项式：单项式与多项式相乘，就是利用分配律用单项式去乘多项式的每一

项，再把所得的积相加。记忆方法：m·（a+b+c）=ma+mb+mc .

3 多项式乘以多项式的乘法：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另

一个多项式的每一项，再把所得的积相加。记忆方法：（a+b）·(m+n)=am+bm+an+bn .

1(a≠0 ,p是正整数)。 pa