轴对称知识点总结及练习

1、轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够                 ；这条直线叫做            。互相重合的点叫               。

2、成轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与         完全重合；这条直线叫做对称轴。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：

（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是两图成轴对称；把成轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：如图

（1）成轴对称的两个图形             。

（2）连结“对应点的线段” 被对称轴                     。

（3）对应点到对称轴的距离         。

（4）（4）对应点的连线互相           或在同一直线。

5、线段的垂直平分线：

（1）定义：经过线段的中点且         的直线，叫做线段的垂直平分线。符号语言：如图

∵CA=CB，直线m⊥AB于C，      ∴直线m是线段AB的垂直平分线。

（2）性质：                          。

∵直线m垂直平分AB，点P是直线m上的点。符号语言：如图

∴PA=PB 。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的           上。

  如图，∵PA=PB，

       ∴点P在               上 。

6、等腰三角形：

（1）定义：有两边              的三角形，叫做等腰三角形。

?相等的两条边叫做        。第三条边叫做        。

?两腰的夹角叫做         。?腰与底的夹角叫做           。

说明：                        

（2）性质：

?等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是                      ，一般有       条。

?等腰三角形的两个底角            ；简称                     。符号语言：

如图，在△ABC中  ∵AB=AC              

 ∴∠B=∠C （等边对等角）。

?三线合一：顶角平分线、            和                相互重合。

符号语言：如图，在△ABC中  ∵AB=AC  AD⊥BC

∴                                          

（3）判定方法：                

?定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC中，

      ∵AB=AC                  ∴△ABC是等腰三角形 。

?判定：有两个角        的三角形是等腰三角形；简称                     。

如图5，在△ABC中

∵∠B=∠C          ∴△ABC是等腰三角形 。

7、等边三角形：

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。（说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。）

（2）性质：

?等边三角形是轴对称图形，其对称轴是                    ，有           条。

?等边三角形的三边         三个内角都等于       。

?三条边上的中线、       及            都互相重合且相交于          点。      

（3）判定方法：  

?定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

?判定1：三个内角都相等（或两个角是         °）的三角形是等边三角形。

?判定2：有一个内角是60°的              是等边三角形。

如图6，在△ABC中

      ∵AB=AC（或AB=BC,AC=BC）

        ∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°）

      ∴△ABC是等边三角形 。

（4）重要结论1：直角三角形30°角所对直角边                。符号语言：

如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°

∴BC=AB或AB=2BC

（5）重要结论2：在Rt△中，如果一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角是。

8、平面直角坐标系中的轴对称：

（1）点          （2）点

9、画轴对称图形

要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。如课本P67的例1。

10、对称轴的画法：

在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。如课本P64中复习巩固的1题。

注意：?有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。

11、经典作图题

1．在直角坐标系中,△ABC的三个顶点的位置如图所示.

(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A´B´C´(其中A´,B´,C´分别是A,B,C的对应点,不写画法).

(2)直接写出A´,B´,C´三点的坐标:A´(　　　　),B´(　　　　),C´(　　　　).

2、如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

3.如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．

12、等腰三角形常见辅助线或数学思想：

  （1）作“三线”中的“一线”利用“三线合一”性质，

      如“天府”P64的例3和P71的5题；

（2）利用“对称性”将一些“不平衡”的图形补“平衡” 如“百胜”P40的6题；

（3）利用“方程思想”（设未知数）解决求等腰三角形中的角度问题，如“课本”P76的例1

轴对称检测

 1、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（     ）

A：                 B：             C:  C：      D：      D：

 2、点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（      ）

A：（－1，－2）   B：（－1，2）     C：（1，－2）     D：（2，－1）

 3、下列图形中对称轴最多的是(      )

A：等腰三角形        B：正方形       C：圆           D：线段

 4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（      ）

A：2 ㎝        B：4 ㎝         C：6 ㎝        D：8㎝

 5、下列说法正确的是(      )

A：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B：顶角相等的两个等腰三角形全等

C：等腰三角形的两个底角相等        D：等腰三角形一边不可以是另一边的二倍

6、若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（      ）

A：11cm         B：7.5cm       C：11cm或7.5cm       D： 以上都不对

7、如图：DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，

则EBC的周长为（     ）厘米

A：16            B：18          C：26          D：28

8、如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（       ）

A：90°        B： 75°         C：70°       D： 60°

9、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （      ）

A：75°或15°       B：75°      C：15°      D：75°和30°

10、如图所示，是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：

①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC 其中正确的结论有（     ）

A：1个       B：2个       C：3个       D：4个

11、在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是                 ；

12、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度；

13、等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则周长为________________；

14、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为                        ；

15、如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB＋BC=12㎝，则AB=          ㎝；

 

 16、如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是________；

17、等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为            ；

18、如图：是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE

垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE等于             ；

19、如图：某地有两所中学和两条相交叉的公路

（点M，N表示中学，AO，BO表示公路）.现计划修建

一个饭馆，希望饭馆到两所中学的距离相等，到两条

公路的距离也相等。你能确定饭馆应该建在什么位置吗？

在所给的图形中画出你的设计方案；  

20、如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数。

 

                                                            

 21、如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线。求证：BE=BD。

 22、如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE。求证：△ABC是等腰三角形。（过D作DG∥AC交BC于G）

第二篇：轴对称知识点总结

轴对称知识点总结

1、轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：

（1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：

（1）

成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：

（1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，

∵CA=CB，

  直线m⊥AB于C，  

∴直线m是线段AB的垂直平分线。

 

        

（2）性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，

∵CA=CB，

  直线m⊥AB于C，

  点P是直线m上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定。

    与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB，         

        直线m是线段AB的垂直平分线，

       ∴点P在直线m上 。

6、等腰三角形：

（1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

?相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

?两腰的夹角叫做顶角。

?腰与底的夹角叫做底角。

说明：顶角=180°- 2底角

     

底角=

可见，底角只能是锐角。

（2）性质。

?等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。

?等边对等角。

如图5，在△ABC中

      ∵AB=AC

      ∴∠B=∠C 。

?三线合一。

（3）判定。                

?有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC中，

      ∵AB=AC

      ∴△ABC是等腰三角形 。

?有两个角相等的三角形是等腰三角形。

如图5，在△ABC中

      ∵∠B=∠C

      ∴△ABC是等腰三角形 。

7、等边三角形：

（1）定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（2）性质。

?等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。

?三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。      

?等边三角形的三个内角都等于60°。

如图6，在△ABC中

      ∵AB=AC=BC

      ∴∠A=∠B=∠C=60°。

 

（3）判定。  

?三条边都相等的三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC中

      ∵AB=AC=BC

      ∴△ABC是等边三角形 。

?三个内角都相等的三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC中

      ∵∠A=∠B=∠C

      ∴△ABC是等边三角形 。

?有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。

如图6，在△ABC中

      ∵AB=AC（或AB=BC,AC=BC）

        ∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°）

      ∴△ABC是等边三角形 。

（4）重要结论。在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半。

如图7，

∵在Rt△ABC中，

  ∠C=90°，∠A=30°

∴BC=AB

或AB=2BC

 

8、平面直角坐标系中的轴对称：

(1)

(2)

说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见11（1）。

9、对称轴的画法：

在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。

注意：?有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。

      ?成轴对称的两个图形只有一条对称轴。

10、常见的轴对称图形：

（1）英文字母。

     A B D E H I K M O T U V W X Y

（2）中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。

（3）数字。0  3  8

（4）图形。

 

说明：?圆有无数条对称轴。

      ?正n边形有n条对称轴。

11、掌握几个作图：

（1）作出点A关于直线m对称的点A^/ 。

作法：如图

?以点A为圆心，适当的长为半径画圆弧。使圆弧与直线MN交于两点C、D。?分别以点C,D为圆心，大于的长为半径画圆弧，设两条圆弧交于点E。

?作射线AE，设交直线mn于点F。

4在射线AE上截取FA^/=FA，点A^/即为所求。

（2）课本34页例题。

（3）课本37页9、10题。

（4）课本42页12.2-8 图2