对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果
，那么数
叫做以
为底
的对数，记作：
（— 底数，— 真数，
— 对数式）
说明：1 注意底数的限制
，且
；
2 
；
3 注意对数的书写格式．
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数
；
2 自然对数：以无理数
为底的对数的对数
．
（二）对数的运算性质
如果，且，
，
，那么：
1 
·
＋
；
2 
－；
3 
．
注意：换底公式
（，且；
，且
；
）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）
；（2）
．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数
，且
叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：
，
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
2 对数函数对底数的限制：
，且．
2、对数函数的性质：
对数函数·例题解析
例1．求下列函数的定义域：
（1）
； （2）
； （3）
．
解：（1）由
>0得
，∴函数的定义域是
；
（2）由
得
，∴函数的定义域是
；
（3）由9-
得-3
，∴函数的定义域是
．例2．求函数
和函数
的反函数。
解：（1）
∴
；
（2） 
∴
．
例4．比较下列各组数中两个值的大小：
（1）
，
； （2）
，
； （3）
，
.
解：（1）对数函数
在
上是增函数，于是
；
（2）对数函数
在上是减函数，于是
；
（3）当
时，对数函数
在上是增函数，于是
，
当
时，对数函数
在上是减函数，于是
．
例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：
（1）
，
； （2）
，
；
（3）
，
，
； （4）
，
，
．
解：（1）∵
， 
，∴
；
（2）∵
， 
，∴
．
(3）∵
， 
， 
，
∴
．
（4）∵
， ∴
．
例7．求下列函数的值域：
（1）
； （2）
； （3）
（
且）．
解：（1）令
，则
， ∵
， ∴
，即函数值域为
．
（2）令
，则
， ∴
， 即函数值域为
．
（3）令
， 当时，
， 即值域为
，
当
时，
， 即值域为
．
例8．判断函数
的奇偶性。
解：∵
恒成立，故
的定义域为
， 
，所以，为奇函数。
例9．求函数
的单调区间。
解：令
在
上递增，在
上递减，
又∵
， ∴
或
，
故
在
上递增，在
上递减， 又∵
为减函数，
所以，函数在上递增，在上递减。
例10．若函数
在区间
上是增函数，的取值范围。
解：令
， ∵函数
为减函数，
∴在区间上递减，且满足
，∴
，解得
，
所以，的取值范围为
．
解 (2)∵1－loga(x＋a)＞0，∴loga(x＋a)＜1．
当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为(－a，0)．
当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为(0，＋∞)．
域和值域．
反函数的定义域为(0，1)，值域为y∈R．
【例3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．
(1)y=lg(－x) (2)y=log2|x＋1| 
解 (1)y=lg(－x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是(－∞，0)．
解 (2)先作出函数y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝log2|x＋1|的图像如图2．8－4所示．
单调递减区间是(－∞，－1)． 单调递增区间是(－1，＋∞)．
的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为
所示
单调减区间是(－1，2]． 单调增区间是[2，＋∞)．
解 (4)∵函数y=log2(－x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作y=log2(－x)的图像，再把y＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1－x)的图像．如图2．8－6所示．
单调递减区间是(－∞，1)．
【例4】 图2．8－7分别是四个对数函数，①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像，那么a、b、c、d的大小关系是 [ ]
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d
C．b＞a＞d＞c D．b＞c＞a＞d
解 选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞1的值，易得b＞a＞1＞d＞c．
【例5】 已知loga3＞logb3，试确定a和b的大小关系．
解法一 令y1=logax，y2=logbx，∵logax＞logb3，即取x＝3时，y1＞y2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：
(1)当loga3＞logb3＞0时，由图像2．8－8，取x=3，可得b＞a＞1．
(2)当0＞loga3＞logb3时，由图像2．8－9，得0＜a＜b＜1．
(3)当loga3＞0＞logb3时，由图像2．8－10，得a＞1＞b＞0．
顺序是：_____．
奇偶性．
解法一 已知函数的定义域为R，则－x∈R
∴f(x)是奇函数．
解法二 已知函数的定义域为R
=loga1=0
∴f(x)=－f(x)，即f(x)为奇函数．
单元测试
一、选择题（每小题5分，共50分）.
1．对数式
中，实数a的取值范围是 （ ）
A．
B．(2,5) C．
D． 
2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么 （ ）
A．x=a+3b－c B．
C．
D．x=a+b3－c3
3．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则 （ ）
A．M∪N=R B．M=N C．M
N D．M
N
4．若a＞0，b＞0，ab＞1，
=ln2，则logab与的关系是 （ ）
A．logab＜ B．logab=
C． logab＞ D．logab≤
5．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列函数图象正确的是 （ ）
A B C D
7．已知函数
，其中log2f(x)=2x，x
R，则g(x) （ ）
A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数
C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数
9．如果y=log2a－1x在(0，+∞)内是减函数，则a的取值范围是 （ ）
A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2 C．a
D．
10．下列关系式中，成立的是 （ ）
A．
B． 
C． 
D．
二、填空题：（每小题6分，共24分）.
11．函数
的定义域是 ，值域是 .
12．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 .
13．将函数
的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为 .
14．函数y=
的单调递增区间是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
15．（12分）已知函数
.
(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.
16．（12分）设x，y，z∈R+，且3x=4y=6z.
(1)求证：
; (2)比较3x，4y，6z的大小.
17．（12分）设函数
.
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)判断函数f (x)的奇偶性；
(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；
(4)求函数f(x)的反函数.
18．现有某种细胞100个，其中有占总数
的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过
个？（参考数据：
）.
20．（14分）已求函数
的单调区间.
必修1数学章节测试（7）—第二单元（对数函数）
一、DCCAB BDBDA
二、11． 
， 
； 12．0； 13．
； 14． 
；
三、
15． 解：(1)函数的定义域为(1，p).
(2)当p＞3时，f (x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)；
当1＜p
3时，f (x)的值域为(－
，1+log2(p+1)).
16． 解：(1)设3x=4y=6z=t. ∵x＞0，y＞0，z＞0，∴t＞1，lgt＞0，
∴
.
(2)3x＜4y＜6z.
17．解： (1)由
得x∈R，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则
. 令
，
则
.
=
=
=
∵x1－x2＜0，
，
，
，
∴t1－t2＜0，∴0＜t1＜t2，∴
，
∴f (x1)－f (x2)＜lg1=0，即f (x1)＜f (x2)，∴ 函数f(x)在R上是单调增函数.
(4)反函数为
(xR).
18．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为
；
2小时后，细胞总数为
；
3小时后，细胞总数为
；
4小时后，细胞总数为
；
可见，细胞总数
与时间（小时）之间的函数关系为： 
，
由
，得
，两边取以10为底的对数，得
，
∴
， ∵
，
∴
.
答：经过46小时，细胞总数超过个.
19．解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1，
则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C.
（2）因为v=
在
上是增函数,且v
5,
上是减函数，且1<u
; S
上是增函数，
所以复合函数S=f(t) 
上是减函数
（3）由（2）知t=1时，S有最大值，最大值是f (1) 
20．解：由
>0得0<x<1，所以函数
的定义域是(0,1)
因为0<=
，
所以，当0<a<1时, 
函数的值域为
;
当a>1时, 
函数的值域为
当0<a<1时，函数在
上是减函数，在
上是增函数；
当a>1时，函数在
上是增函数，在
上是减函数.