对数函数

知识点一：对数函数的概念

1．定义：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是（0，

+∞），值域为(??,??).它是指数函数y?a (a?0且a?1)的反函数．

1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：y?2log2x，注意： ○x

y?log5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 5

2 两个常用对数： ○

(1)常用对数 简记为: lgN （以10为底）

(2)自然对数 简记为: lnN （以e为底）

例1、求下列函数的定义域、值域：

2y?log2(x?2x?5)

知识点二：对数函数的图象

方法一：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y?x的对称图形，即可获得。 同样：也分a?1与0?a?1两种情况归纳，以y?

log2x

2x

y=log1x

2

方法二： ①确定定义域;

②列表;

③描点、连线。

（1） y?log2x（2） y?log1x

2

１

（3） y?log3x（4） y?log1x 3

思考：函数y?

log2xy=log3x与y

对函数的相同性质和不同性质.

相同性质：

不同性质：

例2、作出下列对数函数的图象：

知识点三：对数函数的性质

由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．

思考：底数a是如何影响函数y?logax的．（学生独立思考，师生共同总结） 规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 例3、比较下列各组数中两个值的大小：

２

⑴ log23.4,log28.5； ⑵log0.31.8,log0.32.7； ⑶loga5.1,loga5.9(a?0,a?1)．

变式训练：（1）若logm3?logn3，求m和n的关系。

小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；

③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．

小结2：分类讨论的思想．

对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此

需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．

知识点四：换底公式

两个较为常用的推论： a > 0 , a ? 1 ) 1? logab?logba?1 2?

a, b > 0且均不为1） 对数常用等式： “1”的对数等于零， 即loga1?0

底数的对数等于“1”， 即logaa?1

对数恒等式

例4、计算：（1）log

155log15（3

变式训练： （1）已知 log 18 9 =

a , 18 = 5 , 求 log 36 45 （用 a, b 表示）

（2）求x． b；； (3)logx?2(x2?2x?2)?0． 跟踪练习：

1.计算：

(log25?log40.2)(log52?log250.5)

３

2. 已知f(x)?1?logx3 ，g(x)?2logx2 试比较f(x)和g(x)的大小。

3.

4. 1，最小值是 ４

第二篇：指数对数幂函数知识点总结

高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2

整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N．

*

n

? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作?0。 当n是奇数时，an?a，当n是偶数时，nan?|a|??2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

?a(a?0)

??a(a?0)

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a

?mn

mn

，

?

1a

mn

?

1

am

(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?R). (2)(ar)s?ars(a?0,r,s?R).(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?R). （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]； （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)，总有f(1)?a；

二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对

x

x

x

数，记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式） 说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1；

2 ax?N?logaN?x；规律：底数a保持不变 ○

3注意对数的书写格式．

两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数lgN；

2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○

? 指数式与对数式的互化。规律：底数a保持不变

幂值 真数

（二）对数的运算性质

(1)负数和零没有对数；

(2)1的对数是0，即loga1?0(a＞0,且a≠1)；特殊地：ln1?0

(3)底的对数是1，即logaa?1(a＞0,且a≠1)；特别地：lne?1

（三）对数运算法则。若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

M?logaM?logaN; N

1(3)logaMn?nlogaM(n?R). (4)logaN?logaN n(1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) loga

（5）对数的换底公式

logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0). logma

nn推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0). m

1 logab? (a＞0,且 b＞0). logbalogaN?

（6）指数恒等式：a

（由ablogaN ?NalogN?N①，b?logaN②,将②代入①得a?N）

（7） 对数恒等式：logaa?nlogaa?n(n?R)

（四）对数值的正负判断规律：

对数logaN的底数a与真数N同属于区间(0,1)或（1，+∞）时logaN?0 例：log0.30.8?0;

例：log0.38?0;nlog32?0 log1.60.7?0 对数logaN的底数a与真数N分别属于区间(0,1)或（1，+∞）时logaN?0

（五）对数函数

1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量，

函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?2log2x，

y?log5

x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

5

2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1)．

○

4．几个特殊值为底数的函数图象：

三、幂函数

?

y?x(??R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，?是常数。 1定义：形如

注意：幂函数与指数函数有何不同？

【提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．

2．由具体幂函数的图像和性质：

归纳：幂函数在第一象限的性质：

??0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间(0,??)上单调递增。

??0，图像过定点（1,1），在区间(0,??)上单调递减。

附：拓展探究*(有余力的同学可以思考)：

整数m,n的奇偶与幂函数y?x

系？（先转化为根式再判断）

m

nmn(m,n?Z,且m,n互质)的定义域以及奇偶性有什么关结果：形如y?x(m,n?Z,且m,n互质)的幂函数的奇偶性（1）当m，n都为奇数时，f（x）

为奇函数，图象关于原点对称；

（2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；

（3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.