数列通项公式的求法集锦

青少年宫   陈老师

一、累加法

形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例1.            在数列{}中，=1， (n=2、3、4……) ，求{}的通项公式。

   解：∵

   这n-1个等式累加得：=

   故 且也满足该式 ∴ ().

例2．在数列{}中，=1， (),求。

   解：n=1时, =1以上n-1个等式累加得

==，故 且也满足该式 ∴ ()。

二、累乘法

形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例3．在数列{}中，=1，，求。

解：由已知得 ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故

且=1也适用该式 ∴  ().

例4．已知数列{}满足=，，求。

解：由已知得，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入

  上式得n-1个等式累乘，即=

  所以，又因为也满足该式，所以。

三、构造等比数列法

原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。

例5、（06福建理22）已知数列{}满足=1，= ()，求数列{}的通项公式。

解：构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列

即= 整理得：=使之满足=  ∴p=1

即是首项为=2，q=2的等比数列∴=   = 

五、取倒数法

有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。

例14、已知数列{}，= ，  ，求=？

解：把原式变形得  两边同除以得

∴是首项为，d=的等差数列故∴。

六．利用公式求通项

有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。

例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{}的前n项和为满足＞1且6=

 n∈ 求{}的通项公式。

解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得

=0   ∵＞0 ∴

从而{}是首项为2，公差为3的等差数列，故{}的通项为=2+3(n-1)=3n-1.

第二篇：求数列通项公式大总结

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

同学们要熟练掌握，加油！相信你能行！

1.形如型

（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.

（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.

方法如下： 由 得：

时，，

，

所以各式相加得

即：.

为了书写方便，也可用横式来写：

 时，，

=.

例 1. （2003天津文） 已知数列｛a_n｝满足,证明

证明：由已知得：

   =    .

例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案：                                                     

例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：

评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

2.形如型

（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.

（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.

 例题：求数列的通项公式。

解答：由已知当，

N-1个式子累乘，得到当n=1，也满足，所以

3.形如型

（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.

例1. 数列{}满足,,求数列{a_n}的通项公式.

分析 1：构造 转化为型

解法1：令

则.

时,

各式相加:

当n为偶数时，.

此时

当n为奇数时，

此时,所以.

故

解法2：

时，，

两式相减得：.

构成以,为首项，以2为公差的等差数列;

构成以,为首项，以2为公差的等差数列

.

 

评注：结果要还原成n的表达式.

例2.（2005江西卷）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足

S_n－S_n－2=3求数列{a_n}的通项公式.

解：方法一：因为

    以下同例1，略

    答案 

4.形如型

（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

例1. 已知数列,求此数列的通项公式.

注：同上例类似，略.

5．形如,其中)型

（1）若c=1时，数列{}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{}为等比数列;

（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

方法如下：设,求出A

例1．已知数列中，求通项.

分析：待定系数法构造构造新的等比数列。

解：由设,解出A=-1,

则所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列

所以,即  .

6.形如型

(1)若(其中k,b是常数，且)，则后面待定系数法也用一次函数。

例题. 在数列中，,求通项.

解：原递推式可化为

比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为

所以是一个等比数列，首项,公比为.

    即：

故.

(2)若(其中q是常数，且n0,1)

①若p=1时，即：，累加即可

②若时，即：，后面的待定系数法也用指数形式。

求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.

即：  ,令，则,

然后类型1，累加求通项.

ii.两边同除以 .  即：  ,

令,则可化为.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：

设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.

例1.（2003天津理）

设为常数，且．

证明对任意≥1，；

证法2：由得   .

设，则b.  即：,

所以是以为首项，为公比的等比数列.

则=,

即：,

故 .

评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.

证法2：用待定系数法（注意设法哦！）

设,  即:,

比较系数得：,所以    所以,

所以数列是公比为－2，首项为的等比数列. 

  即 .

规律：  类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.请同学们练习求。

7.形如型

（1）即           取倒数法.

例1. 已知数列中，，，求通项公式。

解：取倒数：

 

8.形如(其中p,q为常数)型

（1）当p+q=1时    用转化法

例1.数列中，若,且满足,求.

解：把变形为.

则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则

    利用类型6的方法可得  .

（2）当时   用待定系数法.

例2. 已知数列满足，且,且满足,求.

解：令,即,与已知

比较，则有,故或

下面我们取其中一组来运算，即有,

则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故

,即,利用类型   的方法，可得

.

评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.

9. 形如(其中p,r为常数)型

（1）p>0，   用对数法.

例1.  设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.

解：两边取对数得：，，设，则       

是以2为公比的等比数列，  

，，，

∴

练习 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.

答案：