等比数列

知识梳理：

1、等比数列的定义：，称为公比

2、通项公式：

，首项：；公比：

推广：

3、等比中项：

（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列是等比数列

4、等比数列的前项和公式：

（1）当时，

（2）当时，

（为常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的，都有为等比数列

（2）等比中项：为等比数列

（3）通项公式：为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若或为等比数列

7、等比数列的性质：

（1）当时

①等比数列通项公式是关于的带有系数的类指数函数，底数为公比；

②前项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比。

（2）对任何，在等比数列中，有，特别的，当时，便得到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

（3）若，则。特别的，当时，得         注：

（4）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。

（5）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列

（6）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列

（7）若为等比数列，则数列，，，成等比数列

（8）若为等比数列，则数列，，成等比数列

（9）①当时， 

②当时，

③当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；

④当时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列中，当项数为时，

二 例题解析

【例1】  已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．（    ）

A．是等比数列                       B．当p≠0时是等比数列

B．C．当p≠0，p≠1时是等比数列     D．不是等比数列

【例2】  已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

【例4】   设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．

【例5】  求数列的通项公式：

(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

三 考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列满足，，则_________．

2、在数列中，若，，则该数列的通项______________．

考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（     ）

A．                  B．                  C．              D．

2、若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为（    ）

A．                              B．                   C．                             D．不确定

3、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．

考点三：等比数列及其前n项和的基本运算

1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（    ）

A．                 B．                  C．                 D．

2、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．

3、若为等比数列，且，则公比________．

4、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（    ）

A．                         B．                C．                D．

5、等比数列{a_n}中，公比q=且a₂+a₄+…+a₁₀₀=30，则a₁+a₂+…+a₁₀₀=______________.

考点四：等比数列及其前n项和性质的应用

1、在等比数列中，如果，，那么为（    ）

A．                 B．                 C．                D．

2、如果，，，，成等比数列，那么（    ）

A．，                     B．，

C．，                   D．，

3、在等比数列中，，，则等于（    ）

A．               B．           C．               D．

4、在等比数列中，，，则等于（    ）

A．               B．               C．               D．

5、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（   ）

A．               B．              C．            D．

6、若是等比数列，且，若，那么的值等于           

考点五：公式的应用

1、若数列的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n，满足条件log₂S_n=n，那么{a_n}是(    )

A.公比为2的等比数列                B.公比为的等比数列

C.公差为2的等差数列                D.既不是等差数列也不是等比数列

2、等比数列前n项和S_n=2ⁿ-1，则前n项的平方和为(    )

A.(2ⁿ-1)²              B.(2ⁿ-1)²              C.4ⁿ-1              D.(4ⁿ-1)

3、设等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ+r，那么r的值为______________.

4、设数列{a_n}的前n项和为S_n且S₁=3，若对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-3n.

(1)求数列{a_n}的首项及递推关系式a_n+1=f(a_n);

(2)求{a_n}的通项公式;

(3)求数列{a_n}的前n项和S_n.

第二篇：等比数列知识点、题型总结

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等比数列

一、等比数列知识点

1．等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q?0）2．等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b也就是，如果是的等比中项，那么

3．等比数列的判定方法：

①定义法：对于数列?an?，若Gb2?，即G?abaGan?1?q(q?0)，则数列?an?是等比数列 an

2②等比中项：对于数列?an?，若anan?2?anan?是等比数列 ?1，则数列?

4．等比数列的通项公式：如果等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为an?a1qn?1an?amqn?5．等比数列的前n项和：

a1(1?qn)a?anq(q?1) ○1Sn?2Sn?1(q?1) ○1?q1?q

3当q?1时，Sn?na1○

当q?1时，前n项和必须具备形式Sn?A(qn?1),(A?0) 6．等比数列的性质：

①等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m?n，公比为q，则有an?amqn?m

② 对于等比数列?an?，若n?m?u?v，则an?am?au?av

也就是：a1?an?a2?an?1?a3?an?2???③若数列?an?是等比数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么只有当公比q??1且k为偶数时,Sk，S2k?Sk，S3k?S2k不成等比数列

二、题型选析

试题对这块的考察与等差数列差不多，主要还是在求值、公比、性质以及求和上考察。

1、下列说法中不正确的是 （ B ）

A、在等比数列中，所有奇数项或者所有偶数项一定同号

B、常数列一定是等比数列 C、首项为正，公比大于1地址:南浦路东段34号2楼 圆梦热线:158xxxxxxxx

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D、首项为负，公比大于1的等比数列一定是递减数列

2、已知{an}，{bn}都是等比数列，则 （ C ）

A、{an?bn}、{an?bn}都一定是等比数列

B、{an?bn}一定是等比数列，但{an?bn}不一定是等比数列

C、{an?bn}不一定是等比数列，但{an?bn}一定是等比数列

D、{an?bn}、{an?bn}都不一定是等比数列

3、各项均为正数的等比数列{an}的公比q?1，且a4,a6,a7成等差数列，则

a4?a6= （ B ） a5?a7

?1?13?1 B C、2? D、 222

4、在等比数列?an?中，若a2?6，且a5?2a4?a3?12?0，则an为（ ） A、

n?2A 6 B 6?(?1)

C 6?2n?2n?2 6或6?(?1)n?2或6?2

5 等比数列?an?的各项均为正数，且a5a6?a4a7?18，则log3a1?log3a2?...?log3a10?（ ）

A 12 B 10 C 1?lo3 D 2?logg 53 5

6、已知a?0,b?0，A是a,b的等差中项，G是a,b的等比中项，则 （ ）

A、ab?AG B、ab?AG C、ab?|AG| D、 ab?AG

7、在正项等比数列?an?中，a1a5?2a3a5?a3a7?25，则a3?a5?

8、在等比数列?an?中，a1?5,S5?55，则公比q等于 （ ）

A. 4 B. 2 C. ?2 D. ?2或4

9、等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项和为 （ ）

A. 54 B. 64 C. 6622 D. 60 33

10、已知公比为q?q?1?的等比数列?an?的前n项和为Sn，则数列?

（ ） ?1??的前n项和为 ?an?

SSn1qnA. B. n C. D. SnSnqn?1qna12qn?1

三、等比数列习题精选：

1、在等比数列?an?中，a1?1，公比q?1.若am?a1a2a3a4a5，则m=（ ）

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（A）9 （B）10 （C）11 （D）12

2、等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，

A.1

B. 1

1a?aa3,2a2成等差数列，则910?

2a7?a8

2C. 3?

D3? 3、已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1= （ ）

A. 12 B. C. 222 D.2

4、各项均为正数的等比数列?an?的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于（ ）

（A）80 （B）30 (C)26 (D)16

S4?（ ） a2

1517A. 2 B. 4 C. D. 22

SS6、设等比数列{ an}的前n 项和为Sn，若 6=3 ，则 9 =（ ） S3S65、设等比数列{an}的公比q?2，前n项和为Sn，则

78 （C） （D）3 33

17、已知?an?是等比数列，a2?2，a5?，则a1a2?a2a3???anan?1=（） 4

3232?n?n?n?n（A）16（1?4） （B）16（1?2） （C）（1?4） （D）（1?2） 33

8、已知等比数列?an?中a2?1，则其前3项的和S3的取值范围是( ) （A） 2 （B）

Ａ.???,?1? Ｂ.???,0???1,??? Ｃ. ?3,??? Ｄ.???,?1???3,??? 综合训练

1、已知?an?为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为

D．110

（

）?an?的前n项和，n?N*，则S10的值为（ ） A．-110 B．-90 C．90 2、已知等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，

A.1

B. 1

1a?aa3,2a2成等差数列，则910?2a7?a8 D3? 3、等比数列{an}的前n项和Sn,已知S1,2S2,3S1成等差数列,则{an}的公比为 . C. 3?

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