数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：
（
为常数），
等差中项：
成等差数列
前
项和
性质：
是等差数列
（1）若
，则
（2）数列
仍为等差数列，
仍为等差数列，公差为
；
（3）若三个成等差数列，可设为
（4）若
是等差数列，且前项和分别为
，则
（5）为等差数列
（
为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
的最值可求二次函数
的最值；或者求出中的正、负分界项，
即：当
，解不等式组
可得达到最大值时的值.
当
，由
可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数
的等差数列，有
，
.
（7）项数为奇数
的等差数列，有
，
，
.
2. 等比数列的定义与性质
定义：
（
为常数，
），
.
等比中项：
成等比数列
，或
.
前项和：
（要注意！）
性质：是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列,公比为
.
注意：由求
时应注意什么？
时，
；
时，
.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列，
，求
解时，
，∴
①
时，
②
①—②得：
，∴
，∴
［练习］数列满足
，求
注意到
，代入得
；又
，∴
是等比数列，
时，
（2）叠乘法
如：数列中，
，求
解
，∴
又
，∴
.
（3）等差型递推公式
由
，求，用迭加法
时，
两边相加得
∴
［练习］数列中，
，求（
）
（4）等比型递推公式
（
为常数，
）
可转化为等比数列，设
令
，∴
，∴
是首项为
为公比的等比数列
∴
，∴
（5）倒数法
如：
，求
由已知得：
，∴
∴
为等差数列，
，公差为
，∴
，
∴
(
附：
公式法、利用
、累加法、累乘法.构造等差或等比
或
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴
［练习］求和：
（2）错位相减法
若为等差数列，
为等比数列，求数列
（差比数列）前项和，可由
，求，其中为的公比.
如：
①
②
①—②
时，
，
时，
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
相加
［练习］已知
，则
由
∴原式
(附：
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。
)
第二篇：高中数学数列知识点总结(经典)
高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质
定义：
（
为常数），
等差中项：
成等差数列
前
项和
性质：
是等差数列
（1）若
，则
（2）数列
仍为等差数列，
仍为等差数列，公差为
；
（3）若三个成等差数列，可设为
（4）若
是等差数列，且前项和分别为
，则
（5）为等差数列
（
为常数，是关于的常数项为0的二次函数）
的最值可求二次函数
的最值；或者求出中的正、负分界项，
即：当
，解不等式组
可得达到最大值时的值.
当
，由
可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数
的等差数列，有
，
.
（7）项数为奇数
的等差数列，有
，
，
.
2. 等比数列的定义与性质
定义：
（
为常数，
），
.
等比中项：
成等比数列
，或
.
前项和：
（要注意！）
性质：是等比数列
（1）若，则
（2）仍为等比数列,公比为
.
注意：由求
时应注意什么？
时，
；
时，
.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列，
，求
解时，
，∴
①
时，
②
①—②得：
，∴
，∴
［练习］数列满足
，求
注意到
，代入得
；又
，∴
是等比数列，
时，
（2）叠乘法
如：数列中，
，求
解
，∴
又
，∴
.
（3）等差型递推公式
由
，求，用迭加法
时，
两边相加得
∴
［练习］数列中，
，求（
）
（4）等比型递推公式
（
为常数，
）
可转化为等比数列，设
令
，∴
，∴
是首项为
为公比的等比数列
∴
，∴
（5）倒数法
如：
，求
由已知得：
，∴
∴
为等差数列，
，公差为
，∴
，
∴
(
附：
公式法、利用
、累加法、累乘法.构造等差或等比
或
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴
［练习］求和：
（2）错位相减法
若为等差数列，
为等比数列，求数列
（差比数列）前项和，可由
，求，其中为的公比.
如：
①
②
①—②
时，
，
时，
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
相加
［练习］已知
，则
由
∴原式
)