一、数列

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现．

⑶项a与项数n是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列

2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即.

3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式.

4.数列的前项和与通项的公式

①；  ②.

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何,均有.

②递减数列:对于任何,均有.

③摆动数列:例如:

④常数数列:例如:6,6,6,6,…….

⑤有界数列:存在正数使.

⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.

1、已知，则在数列的最大项为__（答：）；

2、数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___（答：）；

3、已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；4、一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是                     （）（答：A）

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第六章    数列

二、重难点击

本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

知识网络

 

第一课时    数列

四、数列通项与前项和的关系

1．

2．

课前热身

3．数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是(   B   )

A．第４项　　B．第５项　　C．第６项　　D．第７项

4．已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是

5．数列的前项和,，则

题型一  归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式

     ⑴7，77，777，7777，…

⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…

解析：⑴将数列变形为，

⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为

点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

题型二 应用求数列通项

例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式.

⑴     

解析：⑴当，

当

又不适合上式，故 

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式

⑴

解析：⑴因为，所以

所以

…，…，

以上个式相加得

 

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五、数列

一、数列定义：

数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3,?,n}）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为 通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,?或简记为{an}，f(1),f(2),?；

其中an表示数列{an}的通项。

注意：（1）{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,?，而an表示的是数列的第n项；

（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，

它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。 S1(n?1)?

（3）anSnan??

S?S(n?2)n?1?n

*

如：已知{an}的Sn满足lg(Sn?1)?n(n?N)，求an。

二、等差数列、等比数列的性质：

- 1 -

- 2 -

如：（1）在等差数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n?

（2）在等比数列{an}中Sn?10，S2n?30，则S3n? 另外，等差数列中还有以下性质须注意：

（1）等差数列{an}中，若an?m,am?n(m?n)，则am?n? （2）等差数列{an}中，若Sn?m,Sm?n(m?n)，则Sm?n?

（3）等差数列{an}中，若Sn?Sm(m?n)，则am?1?am?2???an?；Sm?n? ； （4）若SP?Sq，则n? 时，Sn最大。 （5）若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，

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数列

一、数列定义：

     数列是按照一定次序排列的一列数，是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为；  通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。

注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；

（2）和之间的关系：

二、等差数列、等比数列的性质：

三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

①定义法：或（为常数）是等差数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（为常数）是等差数列

④前项和公式法：（为常数）是等差数列

（2）等比数列的判定方法：

①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列

②中项公式法：是等差数列

③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列

④前项和公式法：（是常数）是等差数列

四、数列的通项求法：

（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……

（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。

①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。

②递推式为：迭加法

如：已知中，，求

③递推式为：迭乘法

如：已知中，，求

④递推式为（为常数）：

构造法：Ⅰ、由相减得，则

为等比数列。

Ⅱ、设，得到，，则 为等比数列。

如：已知，求

⑤递推式为（为常数）：

两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。

如：已知中，，，求

⑥递推式为（为常数）：

将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。

如：已知中，，，求

（3）公式法：运用

①已知，求；②已知中， ，求；

③已知中，，求

五、数列的求和法：

（1）公式法：

①等差（比）数列前项和公式：②；

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数列基础知识点和方法归纳                     

1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），

等差中项：成等差数列

前项和

性质：是等差数列

（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，

    ，.

2. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），.

等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

性质：是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：由求时应注意什么？

时，；

时，.

3．求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：数列，，求

解时，，∴                                   ①

时，                           ②

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   高二期末复习数列知识点复习小结

一、数列定义：

     数列是按照_____________排列的一列数，是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为；  通常用代替，于是数列的一般形式常记为___________或简记为_________，其中表示数列的_________。

注意：（1）与是不同的概念，表示_________，而表示的是_________；

（2）和之间的关系：

二、等差数列、等比数列的性质：

常用技巧：

（1）若是等差数列，且前项和分别为，则

（2）在等差数列中的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(3)项数为偶数的等差数列，有  ，     ,

（4）项数为奇数的等差数列，有，

，    .

三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

①定义法：________________________是等差数列

②中项公式法：________________________是等差数列

③通项公式法：________________________是等差数列

④前项和公式法：________________________是等差数列

（2）等比数列的判定方法：

①定义法：________________________是等比数列

②中项公式法：________________________是等比数列

③通项公式法：________________________是等比数列

④前项和公式法：________________________是等差数列

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1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），等差中项：成等差数列

前项和

性质：是等差数列（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，

即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数的等差数列，有，.

（7）项数为奇数的等差数列，有

，    ，.

2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.

等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

性质：是等比数列（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：由求时应注意什么？时，；时，.

3．求数列通项公式的常用方法

(1)

［练习］数列满足，求

（2）叠乘法 如：数列中，，求

（3）等差型递推公式由，求，用迭加法

［练习］数列中，，求

（4）等比型递推公式

（为常数，）

可转化为等比数列，设

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：是公差为的等差数列，求解：由

（2）错位相减法  若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

如：                              ①

                      ②

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