一、数列
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项a
与项数n是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列
2.通项公式：如果数列
的第
项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即
.
3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项
与它的前一项
（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即
或
，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，
，其中
是数列的递推公式.
4.数列的前项和与通项的公式
①
； ②
.
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何
,均有
.
②递减数列:对于任何,均有
.
③摆动数列:例如: 
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
⑤有界数列:存在正数
使
.
⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得
.
1、已知
，则在数列
的最大项为__（答：
）；
2、数列
的通项为
，其中
均为正数，则与
的大小关系为___（答：
）；
3、已知数列
中，
，且是递增数列，求实数
的取值范围（答：
）；4、一给定函数
的图象在下列图中，并且对任意
，由关系式
得到的数列满足
，则该函数的图象是 （）（答：A）
二、 等差数列
1、 等差数列的定义：如果数列
从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即
.(或
).
2、 （1）等差数列的判断方法：
①定义法：
为等差数列。
② 中项法： 
为等差数列。
③通项公式法：
（a,b为常数）为等差数列。
④前n项和公式法：
（A,B为常数）为等差数列。
如设是等差数列，求证：以bn=
为通项公式的数列
为等差数列。
（2）等差数列的通项：
或
。公式变形为:. 其中a=d, b= 
－d.
如1、等差数列中，
，
，则通项
（答：
）；2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：
）
（3）等差数列的前和：
，
。公式变形为：，其中A=
，B=
.注意：已知n,d, 
,
, 
中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。
如 数列 中，
，
，前n项和
，则
＝＿，＝＿（答：
，
）；（2）已知数列 的前n项和
，求数列
的前项和
（答：
）.
（4）等差中项：若
成等差数列，则A叫做
与
的等差中项，且
。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、
、、及
，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，
,…（公差为2）
3.等差数列的性质：
（1）当公差
时，等差数列的通项公式
是关于的一次函数，且斜率为公差；前和
是关于的二次函数且常数项为0. 等差数列{a}中，
是n的一次函数，且点（n，）均在直线y =
x + (a
－)上
（2）若公差
，则为递增等差数列，若公差
，则为递减等差数列，若公差
，则为常数列。
（3）对称性：若
是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当
时,则有
，特别地，当
时，则有
.
如1、等差数列中，
，则＝____（答：27）；
2、在等差数列
中，
，且
，
是其前项和，则A、
都小于0，
都大于0 B、
都小于0，
都大于0 C、
都小于0，
都大于0 D、
都小于0，
都大于0 （答：B）
(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即
成等差.若、
是等差数列，则
、
(
、
是非零常数)、
、
（公差为
）．，…也成等差数列，而
成等比数列；若是等比数列，且
，则
是等差数列.
如 等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）
（5）在等差数列中，当项数为偶数
时， 
；
；
.
项数为奇数
时， 
；
；
。
如1、在等差数列中，S11＝22，则
＝______（答：2）；
2、项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
（6）单调性：设d为等差数列的公差，则
d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列
(7)若等差数列、的前和分别为
、
，且
，则
.
如设{}与{
}是两个等差数列，它们的前项和分别为
和
，若
，那么
__________
_（答：
）
（8）设a
，a
，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比
=
（≠－1），则a=
．
（9）在等差数列{ a}中，S= a，S= b (n＞m)，则S
=
(a－b)．
8、已知成等差数列，求的最值问题：
① 若
,d<0且满足
,则最大；
②若
,d>0且满足
,则最小.
“首正”的递减等差数列中，前
项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组
确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如1、等差数列中，
，
，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；
2、若是等差数列，首项
，
，则使前n项和
成立的最大正整数n是 （答：4006）
(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究
.
三、等比数列
1、等比数列的有关概念：如果数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即
（或
2、等比数列的判断方法：定义法
，其中
或
。
如1、一个等比数列{
}共有
项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则
为____（答：
）；
2、数列中，=4
+1 (
)且=1，若
，求证：数列｛
｝是等比数列。
3、等比数列的通项：
或
。
如 设等比数列中，
，
，前项和＝126，求和公比
. （答：
，
或2）
4、等比数列的前和：当
时，
；当
时，
。如 等比数列中，＝2，S99=77，求
（答：44）
提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。
5、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=
.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个
。如已知两个正数
的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，
…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…
，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为
。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
6、等比数列的性质：
（1）对称性：若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当时，则有
，特别地，当时，则有
. 如 1、在 等比数列中，
， 公比q是整数，则
=___（答：512）；
2、各项均为正数的等比数列中，若
，则
（答：10）。
(2) 若{ a}是公比为q的等比数列，则{| a|}、{a
}、{ka}、{
}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q
}、{q}、{
}。若
成等比数列，则
、
成等比数列； 若是等比数列，且公比
，则数列 ，…也是等比数列。当
，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 若是等比数列，且各项均为正数，则
成等差数列。若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S
与T，次n项和与次n项积分别为S
与T，最后n项和与n项积分别为S
与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列
如1、已知
且
，设数列
满足
，且
，则
. （答：
）；
2、在等比数列中，为其前n项和，若
，则
的值为______（答：40）
(3)单调性：若
，或
则为递增数列；若
,或
则为递减数列；若
，则为摆动数列；若，则为常数列.
(4) 当时，
，这里
，但
，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且
，则
＝ （答：－1）
(5) 
.如设等比数列的公比为，前项和为，若
成等差数列，则的值为_____（答：－2）
(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，
；项数为奇数时，
.
(7)如果数列
既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
如设数列
的前项和为
（
）， 关于数列有下列三个命题：①若
，则既是等差数列又是等比数列；②若
，则是等差数列；③若
，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）
⑧等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；
四、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．
2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．
3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a}与a是不同的，前者表示数列a，a，…，a，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a，a，…，a，…，与集合{ a，a，…，a，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq
， aq
， a，aq，aq，…；
⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq
， aq， aq，aq
，…．
5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a≠0，因为当a= 0时，虽有a= a
· a
成立，但{a}不是等比数列，即“b= a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a}，“2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．