五、数列
一、数列定义:
数列是按照一定次序排列的一列数,那么它就必定有开头的数,有相继的第二个数,有第三个数,……,于是数列中的每一个数都对应一个序号;反过来,每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此,数列就是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数,当自变量从1开始由小到大依次取正整数时,相对应的一列函数值为; 通常用代替,于是数列的一般形式常记为或简记为,其中表示数列的通项。
注意:(1)与是不同的概念,表示数列,而表示的是数列的第项;
(2)数列的项与它的项数是不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它是一个函数值;而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值。
(3)和之间的关系:
如:已知的满足,求。
二、等差数列、等比数列的性质:
如:(1)在等差数列中,,则 ;
(2)在等比数列中,,则 ;
另外,等差数列中还有以下性质须注意:
(1)等差数列中,若,则 ;
(2)等差数列中,若,则 ;
(3)等差数列中,若,则 ; ;
(4)若,则 时,最大。
(5)若与均为等差数列,且前n项和分别为与,
则;
(6)项数为偶数的等差数列,有(与为中间的两项)
; ;
项数为奇数的等差数列,有(为中间项)
; ; ;
等比数列中还有以下性质须注意:
(1)若是等比数列,则,也是等比数列,公比分别 ; ;
(2)若是等比数列,则,也是等比数列,公比分别 ; ;
三、判定方法:
(1)等差数列的判定方法:
①定义法:或(为常数)是等差数列
②中项公式法:是等差数列
③通项公式法:(为常数)是等差数列
④前项和公式法:(为常数)是等差数列
注意:①②是用来证明是等差数列的理论依据。
(2)等比数列的判定方法:
①定义法:或(是不为零的常数)是等比数列
②中项公式法:是等差数列
③通项公式法:(是不为零常数)是等差数列
④前项和公式法:(是常数)是等比数列
注意:①②是用来证明是等比数列的理论依据。
四、数列的通项求法:
(1)观察法:如:(1)0.2,0.22,0.222,……(2)21,203,2005,20007,……
(2)化归法:通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。
①递推式为及(为常数):直接运用等差(比)数列。
②递推式为:迭加法
如:已知中,,求
③递推式为:迭乘法
如:已知中,,求
④递推式为(为常数):
构造法:Ⅰ、由相减得,则
为等比数列。
Ⅱ、设,得到,,则 为等比数列。
如:已知,求
⑤递推式为(为常数):
两边同时除去得,令,转化为,再用④法解决。
如:已知中,,,求
⑥递推式为(为常数):
将变形为,可得出解出,于是是公比为的等比数列。
如:已知中,,,求
(3)公式法:运用
①已知,求;②已知中, ,求;
③已知中,,求
五、数列的求和法:
(1)公式法:
①等差(比)数列前项和公式:② ;
③;④
(2)倒序相加(乘)法:
如:①求和:;
②已知为不相等的两个正数,若在之间插入个正数,使它们构成以为首项,为末项的等比数列,求插入的这个正数的积;
(3)错位相减法:如:求和:
(4)裂项相消法: ; ;
如:① ;
② ;
③若,则 ;
(5)并项法:如:求
(6)拆项组合法:如:在数列中,,求,
六、数列问题的解题的策略:
(1)分类讨论问题:①在等比数列中,用前项和公式时,要对公比进行讨论;只有 时才能用前项和公式,时
②已知求时,要对进行讨论;最后看满足不满足,若满足中的扩展到,不满足分段写成。
(2)设项的技巧:
①对于连续偶数项的等差数列,可设为,公差为;
对于连续奇数项的等差数列,可设为,公差为;
②对于连续偶数项的等比数列,可设为,公比为;
对于连续奇数项的等比数列,可设为公比为;
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第二篇:高中数学知识点总结与题库(数列)
第六章 数列
二、重难点击
本章重点:数列的概念,等差数列,等比数列的定义,通项公式和前项和公式及运用,等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法,如:观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。
知识网络
第一课时 数列
四、数列通项与前项和的关系
1.
2.
课前热身
3.数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是( B )
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
4.已知数列是递增数列,其通项公式为,则实数的取值范围是
5.数列的前项和,,则
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式
⑴7,77,777,7777,…
⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9…
解析:⑴将数列变形为,
⑶将已知数列变为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…。可得数列的通项公式为
点拨:本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求得通项。
题型二 应用求数列通项
例2.已知数列的前项和,分别求其通项公式.
⑴
解析:⑴当,
当
又不适合上式,故
三、利用递推关系求数列的通项
【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系,求其通项公式
⑴
解析:⑴因为,所以
所以
…,…,
以上个式相加得
即:
点拨:在递推关系中若求用累加法,若求用累乘法,若,求用待定系数法或迭代法。
课外练习
3设,(),则的大小关系是( C )
A. B.
C. D.不能确定
解:因为
所以,选C.
二、填空题
5.已知数列的前项和则
7.已知数列的通项(),则数列的前30项中最大项和最小项分别是
解:构造函数
由函数性质可知,函数在上递减,且
函数在上递增且
三、解答题
6.2 等差数列知识要点
2.递推关系与通项公式
是数列成等差数列的充要条件。
3.等差中项:
若成等差数列,则称的等差中项,且;成等差数列是的充要条件。
4.前项和公式
;
是数列成等差数列的充要条件。
5.等差数列的基本性质
⑴反之,不成立。
⑵
⑶
⑷仍成等差数列。
6.判断或证明一个数列是等差数列的方法:
①定义法:
是等差数列
②中项法:
是等差数列
③通项公式法:
是等差数列
④前项和公式法:
是等差数列
课前热身
2.等差数列中,
A.14 B.15 C.16 D.17
。
3.等差数列中,,则前10或11项的和最大。
解:
∴为递减等差数列∴为最大。
4.已知等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为-110
解:∵
成等差数列,公差为D其首项为
,前10项的和为
6.设等差数列的前项和为,已知
①求出公差的范围,
②指出中哪一个值最大,并说明理由。
解:①
②
课外练习
一、 选择题
1. 已知数列是等差数列,,其前10项的和,则其公差等于( D )
2. 已知等差数列中,等于( A )
A.15 B.30 C.31 D.64
二、填空题
3. 设为等差数列的前项和,=54
4. 已知等差数列的前项和为,若
5. 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同点
组成公差为的等差数列,则的取值范围为
解:椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为,由题意得:
三、解答题
6. 等差数列的前项和记为,已知
①求通项;②若=242,求
解:
由,=242
7. 甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动,甲第一分钟走2,以后每分钟比前一分钟多走1,乙每分钟走5,①甲、乙开始运动后几分钟相遇?②如果甲乙到对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前一分钟多走1,乙继续每分钟走5,那么,开始运动几分钟后第二次相遇?
解:①设分钟后第一次相遇,依题意有:
故第一次相遇是在开始运动后7分钟。
②设分钟后第二次相遇,则:
故第二次相遇是在开始运动后15分钟
10.已知数列中,前和
①求证:数列是等差数列
②求数列的通项公式
③设数列的前项和为,是否存在实数,使得对一切正整数都成立?若存在,求的最小值,若不存在,试说明理由。
解:①∵
∴数列为等差数列。
②
③
要使得对一切正整数恒成立,只要≥,所以存在实数使得对一切正整数
都成立,的最小值为。
6.3等比数列
知识要点
1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为。
2. 递推关系与通项公式
3. 等比中项:若三个数成等比数列,则称为的等比中项,且为是成等比数列的必要而不充分条件。
4. 前项和公式
5. 等比数列的基本性质,
①反之不真!
②
③为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列。
④仍成等比数列。
6. 等比数列与等比数列的转化
①是等差数列是等比数列;
②是正项等比数列是等差数列;
③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。
7. 等比数列的判定法
①定义法:为等比数列;
②中项法:为等比数列;
③通项公式法:为等比数列;④前项和法:为等比数列。
1.
2. 已知数列是等比数列,且70 (问题引入)
猜想:是等比数列,公比为。
证明如下:∵
即:,∴是首项为,公比为的等比数列。
二、性质运用
例2:⑴在等比数列中,
①求,
②若
⑵在等比数列中,若,则有等式
成立,类比上述性质,相应的在等比数列中,若则有等式 成立。
解:⑴①由等比数列的性质可知:
②由等比数列的性质可知,是等差数列,因为
⑵由题设可知,如果在等差数列中有
成立,我们知道,如果,而对于等比数列,则有所以可以得出结论,若
成立,在本题中
点拨:历年高考对性质考查较多,主要是利用“等积性”,题目“小而巧”且背景不断更新,要熟练掌握。
典例精析
一、 错位相减法求和
例1:求和:
解:⑴
⑵
①
②
由①-②得:
点拨:①若数列是等差数列,是等比数列,则求数列的前项和时,可采用错位相减法;
②当等比数列公比为字母时,应对字母是否为1进行讨论;
③当将与相减合并同类项时,注意错位及未合并项的正负号。
二、裂项相消法求和
例2:数列满足=8, ()
①求数列的通项公式;
则
所以,=8+(-1)×(-2)=—10-2
②
对一切恒成立。
故的最大整数值为5。
点拨:①若数列的通项能转化为的形式,常采用裂项相消法求和。
②使用裂项消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项。
三、 奇偶分析法求和
例3:设二次函数
1. 在等差数列中,=1,前项和满足
①求数列的通项公式
②记,求数列的前项和。
解:①设数列的公差为,由
所以=
②由,有
所以 ①
②
①-②得
课外练习
1. 数列的前项和为,若等于( B )
4.的定义域为,且是以2为周期的周期函数,数列是首项为,公差为1的等差数列,那么的值为( C )
A.-1 B.1 C.0 D.10
解:因为函数的定义域为,且是以2为周期的周期函数,
所以
又数列是首项为,公差为1的等差数列
故原式=0,选C。
二、填空题
5.设等比数列的公比与前项和分别为和,且≠1,
6.数列满足
,则数列的前项和为
= )
7.数列的前100项的和为。()
典例精析
一、 函数与数列的综合问题
①设是常数,求证:成等差数列;
②若,的前项和是,当时,求
解:①,
②
点拨:本例是数列与函数综合的基本题型之一,特 征是以函数为载体构建数列的递推关系,通过由函数的解析式获知数列的通项公式,从而问题得到求解。
1. 已知正项数列的前项和为,的等比中项,
①求证:数列是等差数列;
②若,数列的前项和为,求
③在②的条件下,是否存在常数,使得数列为等比数列?若存在,试求出;若不存在,说明理由。
解:①的等比中项,
所以数列是等差数列。
②
所以当且仅当3+=0,即=-3时,数列 为等比数列。
2. 已知在正项数列中,=2,且
在双曲线上,
数列中,
点(,)在直线上,其中是数列的前项和,①求数列的通项公式;②求证:数列是等比数列。③若。
解:①由已知带点在上知,
-=1,所以数列是以2为首项,以1为公差的等差数列。
所以
②因为点(,)在直线上,
③
一、选择题
1.(2009广东卷理)已知等比数列满足,且,则当时,
A. B. C. D.
【解析】由得,,则, ,选C.
答案 C
2.(2009辽宁卷理)设等比数列{ }的前n 项和为 ,若 =3 ,则 =
A. 2 B. C. D.3
【解析】设公比为q ,则=1+q3=3 Þ q3=2
于是
【答案】B
14.(2009湖北卷理)已知数列满足:(m为正整数),若,则m所有可能的取值为__________。
答案 4 5 32
解析 (1)若为偶数,则为偶, 故
①当仍为偶数时, 故
②当为奇数时,
故得m=4。
(2)若为奇数,则为偶数,故必为偶数
,所以=1可得m=5
16.(2009陕西卷文)设等差数列的前n项和为,若,则 .
解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.
答案:2n
17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则 .
答案:1
22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列中,
(I)设,求数列的通项公式
(II)求数列的前项和
分析:(I)由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
(II)由(I)知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型,
易得=
23.(2009北京理)已知数集具有性质;对任意的
,与两数中至少有一个属于.
(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(Ⅱ)证明:,且;
(Ⅲ)证明:当时,成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.
(Ⅰ)由于与均不属于数集,∴该数集不具有性质P.
由于都属于数集,
∴该数集具有性质P.
(Ⅱ)∵具有性质P,∴与中至少有一个属于A,
由于,∴,故.
从而,∴.
∵, ∴,故.
由A具有性质P可知.
又∵,
∴,
从而,
∴.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有,即,
∵,∴,∴,
由A具有性质P可知.
,得,且,∴,
∴,即是首项为1,公比为成等比数列.
25(2009江苏卷)对于正整数≥2,用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数,其中(和可以相等);对于随机选取的(和可以相等),记为关于的一元二次方程有实数根的概率。
(1)求和;
(2)求证:对任意正整数≥2,有.
【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分10分。
29.(2009江西卷理)各项均为正数的数列,,且对满足的正整数都有
(1)当时,求通项
(2)证明:对任意,存在与有关的常数,使得对于每个正整数,都有
解:(1)由得
将代入化简得
所以
故数列为等比数列,从而
即
可验证,满足题设条件.
(2) 由题设的值仅与有关,记为则
考察函数 ,则在定义域上有
故对, 恒成立.
又 ,
注意到,解上式得
取,即有 .
30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和(n为正整数)。
(Ⅰ)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,试比较与的大小,并予以证明。
解(I)在中,令n=1,可得,即
当时,,
.
.
又数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是.
(II)由(I)得,所以
由①-②得
于是确定的大小关系等价于比较的大小
由
可猜想当证明如下:
证法1:(1)当n=3时,由上验算显示成立。
(2)假设时
所以当时猜想也成立
综合(1)(2)可知 ,对一切的正整数,都有
证法2:当时
综上所述,当,当时
31.(2009四川卷文)设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。
(I)求数列与数列的通项公式;
(II)设数列的前项和为,是否存在正整数,使得成立?若存在,找出一个正整数;若不存在,请说明理由;
(III)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;
解(I)当时,
又
∴数列是首项为,公比为的等比数列,
∴, …………………………………3分
(II)不存在正整数,使得成立。
证明:由(I)知
∴当n为偶数时,设
∴
当n为奇数时,设
∴
∴对于一切的正整数n,都有
∴不存在正整数,使得成立。 …………………………………8分
(III)由得
又,
当时,,
当时,
32.(2009湖南卷文)对于数列,若存在常数M>0,对任意的,恒有
, 则称数列为数列.
(Ⅰ)首项为1,公比为的等比数列是否为B-数列?请说明理由;
(Ⅱ)设是数列的前n项和.给出下列两组判断:
A组:①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;
B组:③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题.
判断所给命题的真假,并证明你的结论;
(Ⅲ)若数列是B-数列,证明:数列也是B-数列。
解: (Ⅰ)设满足题设的等比数列为,则.于是
==
所以首项为1,公比为的等比数列是B-数列 .
(Ⅱ)命题1:若数列是B-数列,则数列是B-数列.此命题为假命题.
事实上设=1,,易知数列是B-数列,但=n,
.
由n的任意性知,数列不是B-数列。
命题2:若数列是B-数列,则数列不是B-数列。此命题为真命题。
事实上,因为数列是B-数列,所以存在正数M,对任意的,有
,
即.于是
,
所以数列是B-数列。
(注:按题中要求组成其它命题解答时,仿上述解法)
(Ⅲ)若数列是B-数列,则存在正数M,对任意的有
.
因为
.
记,则有
.
因此.
故数列是B-数列.
33. (2009陕西卷理) 已知数列满足, .
猜想数列的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:。
证明(1)由
由猜想:数列是递减数列
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,已证命题成立 (2)假设当n=k时命题成立,即
易知,那么
=
即
也就是说,当n=k+1时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立
(2)当n=1时,,结论成立
当时,易知
35.(2009天津卷理)已知等差数列{}的公差为d(d0),等比数列{}的公比为q(q>1)。设=+…..+ ,=-+…..+(-1,n
若== 1,d=2,q=3,求 的值;
若=1,证明(1-q)-(1+q)=,n;
(Ⅲ) 若正数n满足2nq,设的两个不同的排列, , 证明。
本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分14分。
(Ⅰ)解:由题设,可得
所以,
(Ⅱ)证明:由题设可得则
①
②
式减去②式,得
式加上②式,得
③
式两边同乘q,得
所以,
(Ⅲ)证明:
因为所以
若,取i=n
若,取i满足且
由(1),(2)及题设知,且
当时,得
即,…,
又所以
因此
当同理可得,因此
综上,
37.(20##年上海卷理)已知是公差为的等差数列,是公比为的等比数列。
若,是否存在,有说明理由;
找出所有数列和,使对一切,,并说明理由;
若试确定所有的,使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项,请证明。
[解法一](1)由,得, ......2分
整理后,可得,、,为整数,
不存在、,使等式成立。 ......5分
(2)若,即, (*)
(ⅰ)若则。
当{}为非零常数列,{}为恒等于1的常数列,满足要求。 ......7分
(ⅱ)若,(*)式等号左边取极限得,(*)式等号右边的极限只有当时,才能等于1。此时等号左边是常数,,矛盾。
综上所述,只有当{}为非零常数列,{}为恒等于1的常数列,满足要求。......10分
【解法二】设
则
若d=0,则
若(常数)即,则d=0,矛盾
综上所述,有, 10分
(3)
设.
,
. 13分
取 15分
由二项展开式可得正整数M1、M2,使得(4-1)2s+2=4M1+1,
故当且仅当p=3s,sN时,命题成立.
说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分)
若p为偶数,则am+1+am+2+……+am+p为偶数,但3k为奇数
故此等式不成立,所以,p一定为奇数。
当p=1时,则am+1=bk,即4m+5=3k,
而3k=(4-1)k
=
当k为偶数时,存在m,使4m+5=3k成立 1分
当p=3时,则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,
也即3(4m+9)=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1
由已证可知,当k-1为偶数即k为奇数时,存在m, 4m+9=3k成立 2分
当p=5时,则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk
也即5(4m+13)=3k,而3k不是5的倍数,所以,当p=5时,所要求的m不存在
故不是所有奇数都成立. 2分
三、解答题
10.(2008全国I)设函数.数列满足,.
(Ⅰ)证明:函数在区间是增函数;
(Ⅱ)证明:;
(Ⅲ)设,整数.证明:.
(Ⅰ)证明:,
故函数在区间(0,1)上是增函数;
(Ⅱ)证明:(用数学归纳法)(i)当n=1时,,,
由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,,即成立;
(ⅱ)假设当时,成立,即
那么当时,由在区间是增函数,得
.而,则,
,也就是说当时,也成立;
根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立.
(Ⅲ)证明:由.可
若存在某满足,则由⑵知:
若对任意都有,则
,即成立.
11.(2008山东卷)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn为数列{bn}的前n项和,且满足=1=(n≥2).
(Ⅰ)证明数列{}成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.
12.(2007湖南)已知()是曲线上的点,,是数列的前项和,且满足,,….
(I)证明:数列()是常数数列;
(II)确定的取值集合,使时,数列是单调递增数列;
(III)证明:当时,弦()的斜率随单调递增
解:(I)当时,由已知得.
因为,所以. …… ①
于是. ……②
由②-①得. …… ③
于是. …… ④
由④-③得, …… ⑤
所以,即数列是常数数列.
(II)由①有,所以.由③有,,所以,.
而 ⑤表明:数列和分别是以,为首项,6为公差的等差数列,
所以,,,
数列是单调递增数列且对任意的成立.
且
.
即所求的取值集合是.
(III)解法一:弦的斜率为
任取,设函数,则
记,则,
当时,,在上为增函数,
当时,,在上为减函数,
所以时,,从而,所以在和上都是增函数.
由(II)知,时,数列单调递增,
取,因为,所以.
取,因为,所以.
所以,即弦的斜率随单调递增.
解法二:设函数,同解法一得,在和上都是增函数,
所以,.
故,即弦的斜率随单调递增.
5.(辽宁省沈阳二中20##—20##学年上学期高三期中考试)
数列若对任意恒成立,则正整数m的最小值 ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
答案:A.