等比数列
1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那第这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比.公比通常用字母表示().即()
2.等比数列的通项公式.
3.等比数列的常用性质:
(1)等比中项:如果在与中间插一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项;在等比数列当中,总有;
(1)若,则,特别地,若,则.
(2)若总有.
(3)若数列是等比数列,则等也是等比数列,其中为非零常数.
(4)数列为等比数列,每隔项取出一项仍为等比数列.
(5)若为等比数列,则数列,,成等比数列.
4.等比数列的判定方法:
(1)定义法:()是等比数列;
(2)等比中项法:是等比数列.
(3)通项公式法:(均是不为0的常数,) 是等比数列.
(4)前项和的公式法:(是不为零的常数,且)是等比数列.
巩回练习
1.在数列中,已知.
(1) 设,求;
(2) 设,求数列的通项公式.
2.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别上2,5,13后成为等比数列的.
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列的前项和为,求证:数列是等比数列.
等比数列前项和
1. 若等比数列的首项为,公比为,则等比数列的前项和的公式为
.
2. 前项和常用性质(以下都是)
(1) 连续项的和(如)仍然成等比数列,且公比为.(注意:这连续项的和必须非零才能成立)
(2)
(3) 为等比数列.
(4) .
(5)在等比数列中,当项数为时,
巩固练习
1.在等比数列中是其前项和,若,则
2.在等比数列中,求数列的通项公式及前项和公式,并求.
第二篇:等差数列知识点总结
等差数列
1. 定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为(d为常数)();
2.等差数列通项公式:
(1)(首项:,公差:d,末项:)
(2). 从而;
3.等差中项
(1)如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:或
(2)等差中项:数列是等差数列
4.等差数列的前n项和公式:
(其中A、B是常数) (当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
5.等差数列的证明方法
(1)定义法:若或(常数) 是等差数列.
(2) 等差中项:数列是等差数列.
(3)数列是等差数列(其中是常数)。
(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。
注:(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);偶数个数成等差,可设为…,,…(公差为2)
7.等差数列的性质:
(1)当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函数且常数项为0.
(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(3)当时,则有,特别地,当时,则有.
注:,图示:
(4) 若{}是等差数列,则 ,…也成等差数列
图示:
(5)若等差数列、的前和分别为、,且,则.
(6)若、为等差数列,则为等差数列
练习:
1.等差数列中,,求的通项公式。
2.等差数列前项和记为,已知,
(1)求通项;(2)若,求
3.若求
4.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是多少?