一、等差数列
1.等差数列的定义：
（d为常数）（
）；
2．等差数列通项公式：
， 首项:
，公差:d，末项:
推广： 
． 从而
；
3．等差中项
（1）如果
，
，
成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：
或
（2）等差中项：数列
是等差数列
4．等差数列的前n项和公式：
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数
时，
是项数为2n+1的等差数列的中间项
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若或
(常数
)
是等差数列．
（2） 等差中项：数列是等差数列．
⑶数列是等差数列
（其中
是常数）。
（4）数列是等差数列
,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若或(常数) 是等差数列．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前
和公式中，涉及到5个元素：、
、、及
，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
②奇数个数成等差，可设为…，
…（公差为）；
③偶数个数成等差，可设为…，
,…（注意；公差为2）
8..等差数列的性质：
（1）当公差
时，
等差数列的通项公式
是关于的一次函数，且斜率为公差；
前和
是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差
，则为递增等差数列，若公差
，则为递减等差数列，若公差
，则为常数列。
（3）当
时,则有
，特别地，当
时，则有
.
注：
，
（4）若
、
为等差数列，则
都为等差数列
(5) 若{}是等差数列，则
，…也成等差数列
（6）数列
为等差数列,每隔k(k
)项取出一项(
)仍为等差数列
（7）设数列是等差数列，d为公差，
是奇数项的和，
是偶数项项的和，
是前n项的和
1.当项数为偶数
时，
2、当项数为奇数
时，则
（其中
是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）、
的前和分别为
、
，且
，
则
.
（9）等差数列的前n项和
，前m项和
，则前m+n项和
(10)求
的最值
法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前
项和的最大值是所有非负项之和
即当
由
可得达到最大值时的值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
即 当
由
可得达到最小值时的值．或求
中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
二、等比数列
1. 等比数列的定义：
，
称为公比
2. 通项公式：
， 首项：；公比：
推广：
， 从而得
或
3. 等比中项
（1）如果
成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：
或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列是等比数列
4. 等比数列的前n项和公式：
(1) 当
时， 
(2) 当
时，
（
为常数）
5. 等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n,都有
为等比数列
（2） 等比中项：
（
0）为等比数列
（3） 通项公式：
为等比数列
（4） 前n项和公式：
为等比数列
6. 等比数列的证明方法
依据定义：若或
为等比数列
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；
如奇数个数成等差，可设为…，
…（公比为，中间项用表示）；
8. 等比数列的性质
(1) 当时
①等比数列通项公式
是关于n的带有系数的类指数函数，底为公比
②前n项和
，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比
(2) 对任何m,n
,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则
.特别的,当n+m=2k时,得
注：
(4) 列,为等比数列,则数列
,
,
,
(k为非零常数) 均为等比数列.
(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列
(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列
是等差数列
(7) 若为等比数列,则数列，
，
，成等比数列
(8) 若为等比数列,则数列
, 
, 
成等比数列
(9) ①当
时， ②当
时，
, 
③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;
④当q<0时,该数列为摆动数列.
(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,
,.
(11)若是公比为q的等比数列,则
例1、（1）设是等差数列，且
，求
及S15值。
（2）等比数列中，
，
，前n项和Sn=126，求n和公比q。
（3）等比数列中，q=2，S99=77，求a3+a6+…+a99；
（4）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与项数。
解：（1）由已知可得
，所以=2
，S15=
，所以
或
又
,所以
或
评注：分解重组，引导发现（
）、（
）与（
）的关系，从而使问题获得简单的解法。
设等差数列共2n-1项,则
所以此数列共31项.中间项
评注：（1）在项数为项的等差数列
中，
；
（2）在项数为
项的等差数列中
．
变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为
,则这个数列 项；
（2）已知数列是等比数列,且
,
,
，则
9 ．
（3）等差数列前
项和是
，前
项和是
，则它的前
项和是 210 ．
(4) 等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.
。（=
）
例2、设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，
（1）求公差d的取值范围。
（2）指出S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由。
解：（1）
，
，即
，
由
,代入得：
。
（2）解一：由
，
可知
，所以S6最大。
解二：
，由可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S6最大。
解三：
，由得
。
又抛物线开口向下，所以S6最大。
评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）
变式：(1) 已知等差数列{an}中，
，问S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大。
(2) 数列是首项为
，公比为
的等比数列，数列
满足
，
①求数列的前项和的最大值；②求数列
的前项和
．
略解：（1）由题得
，∴
，∴
是首项为3，公差为
的AP。
∴
，∴
由
，得
，∴数列的前项和的最大值为
（2）由（1）当
时，
，当
时，
，
∴当时，
当时，
∴
．
例3、(1) 由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式．
解：当时，得
不成立，∴，∴
由①得
，代入②得
，∴
．
说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1．
(2) 若数列成等差数列，且
，求
．
解：（法一）基本量法（略）；
（法二）设，则
得：
，
， ∴
，
∴
．
评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征。
变式：设{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{
}的前n项和，求Tn。
解：法一：（基本量法）设{an}首项为a1，公差为d，则
∴ 
∴ 
，∴ 
∴ 此式为n的一次函数， ∴ {}为等差数列，∴ 
。
法二：{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn，∴ 
解之得：
∴ 
，下略。
例4、已知等差数列
，
（1）在区间
上，该数列有多少项？并求它们的和；
（2）在区间上，该数列有多少项能被
整除？并求它们的和.
解：
，
（1）由
，得
，又,
∴ 该数列在上有
项, 其和
．
（2）∵
，∴要使能被整除，只要
能被整除，即
，
∴
，∴
，∴
，∴在区间上该数列中能被整除的项共有项即第
项，其和
．
等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题
1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ）
A.34 B.35 C.36 D.37
2.{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9的值是（ ）
A.24 B.27 C.30 D.33
3.设函数f(x)满足f(n+1)=
(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为（ ）
A.95 B.97 C.105 D.192
4. 若是等差数列，首项
，则使前n项和
成立的最大自然数n是： （ ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
5.等差数列{an}中，已知a1=－6,an=0,公差d∈N*,则n(n≥3)的最大值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
6. 设命题甲:△ABC的一个内角为60o，命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么( )
(A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件
(C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,则S20为（ ）
A.180 B.－180 C.90 D.－90
8. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）
A.9 B.10 C.19 D.29
9.由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1+a4, a2+a5, a3+a6…是（ ）
A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列
C.公差为3d的等差数列 D.非等差数列
10.在等差数列{an}中，若S9=18,Sn=240,an－4=30,则n的值为（ ）
A.14 B.15 C.16 D.17
二、填空题
11.在数列{an}中，a1=1,an+1=
(n∈N*),则
是这个数列的第_________项.
12.在等差数列{an}中，已知S100=10，S10=100，则S110=_________.
13.在－9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，则n=_______.
14.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若
=
,则
=_________.
15. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则
的值是
16. 若数列是等差数列，则数列
也为等差数列，类比上述性质，相应地：若
是等比数列，且
，则{
}是等比数列,其中
．
17. 设m∈N+，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是
三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？
19. 在等差数列{an}中，若a1=25且S9=S17,求数列前多少项和最大.
20. 已知f(x+1)=x2－4,等差数列{an}中,a1=f(x－1), a2=－
,a3=f(x).
(1)求x值； （2）求a2+a5+a8+…+a26的值.
21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2),a1=
.
(1)求证：{
}是等差数列； （2）求an表达式；
（3）若bn=2(1－n)an(n≥2),求证：b22+b32+…+bn2<1.
13、14等差、等比数列性质及应用复习题参考答案
一、选择题：
1、 C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、C 7、A 8、B 9、B 10、B
二、填空题：
11、6 12、－110 13、5 14、
15、
16、
17、8204
三、解答题：
18． 设这两个数列分别为{an}、{bn},则an=3n+2,bn=4n－1,令ak=bm,则3k+2=4m－1.
∴3k=3(m－1)+m,∴m被3整除. 设m=3p(p∈N*),则k=4p－1.
∵k、m∈［1,100］. 则1≤3p≤100且1≤p≤25. ∴它们共有25个相同的项.
19. ∵S9=S17，a1=25,∴9×25+
d=17×25+
d，解得d=－2,
∴Sn=25n+
(－2)=－(n－13)2+169.由二次函数性质知前13项和最大.
20.、（1）∵f(x－1)=(x－1－1)2－4=(x－2)2－4
∴f(x)=(x－1)2－4,∴a1=(x－2)2－4,a3=(x－1)2－4， 又a1+a3=2a2,解得x=0或x=3.
(2)∵ a1、a2、a3分别为0、－、－3或－3、－、0∴an=－(n－1)或an=(n－3)
① 当an=－(n－1)时，a2+a5+…+a26=
(a2+a26)=
② 当an=(n－3)时，a2+a5+…+a26=(a2+a26)=
.
21、 （1）∵－an=2SnSn－1,∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1(n≥2)，又Sn≠0,
∴－
=2,又
=
=2,∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列.
（2）由（1）=2+(n－1)2=2n,∴Sn=
，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－
n=1时，a1=S1=,∴an=
(3) 由（2）知bn=2(1－n)an=
∴b22+b32+…+bn2=
+
+…+
<
+
+…+
=(1－)+(－
)+…+(
－)=1－<1.
三、等差数列与等比数列性质的比较
四、数列的通项公式的求法
求数列通项的相关知识
1．两个基本公式
（1）等差数列的通项公式：
。
（2）等比数列的通项公式：
。
2．三个基本方法
（1）
法：
。
（2）叠加法：
。
（3）累乘法：
。
求数列通项的应用举例
该题型主要的出现形式为给出数列的一些递推关系式，求证数列为特殊数列，并求通项。因此要熟悉各种递推关系式，了解各种递推关系式所对应的数列类型。
求数列通项的方法很多，如：观察法、定义法、公式法、法、叠加法、累乘法、构造法、递推法、待定系数法等。下面就几种常见的类型举例：
1．
法（利用关系
，最后要注意可化简的要化简）
例1．已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。
（1）
。 （2）
解：（1）当n=1时，
；
当n>1时，
=
=
，验证n=1时，此式也成立。
∴=。
（2）当n=1时，
；
当n>1时，==
，
∴
。
点评：要先分n=1和
两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
例2．已知数列的前项和
，求证是等比数列.
证明：当
时，
，所以
当时，
∴ 
，∴
（与无关的常数）
又当时，也满足，所以是等比数列。
练习：
1．已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。
（1）
。 （2）
答案：（1）
；（2）
2．已知数列
的首项
，其前
项和
，求
。
解：∵，∴
，
∴
，∴
，即
，
∵
，由此推出
，∴
。
2．叠加法
例1．（
型数列）
已知
，求
。
解：∵
，∴
，
，…，
，
将上面各式叠加，得
，
得
，当n=1时，此时也成立，所以
。
总结：一般地，对于型如类的通项公式，只要
能进行求和，则宜采用此方法求解。
练习：若在数列中，
，
，求通项。
答案：
3．累乘法
例1．（
型数列）
已知
，求。
解：∵，∴
，∴
，
∴
，∴
。
总结：一般地，对于型如
=
(n)·
类的通项公式，当
的值可以求得时，宜采用此方法。
练习：在数列｛｝中，
=1, (n+1)·=n·，求的表达式。
解：由(n+1)·=n·得
，
=
·
·
…
=
所以
。
4．构造法（构造等差或等比数列求通项公式）
例1．（
型数列）
已知数列满足，
，求。
解：将等式
两边同时除以
得：
。
即，对
，都有
。
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列。
=
，
。
总结：由递推关系式都可转化为等差数列。
例2．（
型数列）
已知数列的首项
，
，求。
解：
，即
，
又∵
，∴
，∴
，
∴
是等比数列，首项为
，公比为2。
∴
， ∴
。
总结：一般地，已知
，可把
化成
的形式，其中
由待定系数法求得。
例3．（
型数列）
若数列
满足
，且
，求
。
解：∵，∴
，两边取对数，得
，
∴
是以
为首项，以2为公比的等比数列，
∴
，∴
。
结论：形如(其中p,r为常数)型，（1）若p>0，
，用对数法.
（2）若p<0，用迭代法。
例4．（
型数列）
在数列中
，且
，求。
解法一：∵
，
设
，待定系数法得
，或
，
∴
，或
∴
，……① 
，……②
联立①②，得
。
解法二：∵，∴
，∴
为等比数列。
∴
。∴
。
以上各式相加得
，∴。
结论：形如(其中p,q为常数)型，（1）当p+q=1时，用转化法；（2）当
时，用待定系数法。
练习：
1．若数列满足
，且
，求。
解：由得
，∴
，
∴数列
是公差为1的等差数列，首项为
，
∴
，∴
。
2．若数列
满足
，且
，求。
解：∵，∴
，
∴数列
是等比数列，公比为2，首项为
，
∴
，∴
。
5．待定系数法
例．设数列
的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn
解：设
。
五、数列求和的方法和技巧
数列在高考中的要求：
1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。
2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。
3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。
数列求和是高中数学的一个重点,也是高考的热点,纵观我市近几年的高考的最后一题，都是数列与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的压轴题。
1、公式法:
利用以下公式求数列的和
1.
(为等差数列)
2.
(
)或
(为等比数列)
3.
等公式
例如:已知数列，
，求前项和
解：
2、分组求和法
对于数列，若
且数列
、
……都能求出其前项的和，则在求前项和时，可采用该法
例如：求和：
解：设
3、倒序相加法（或倒序相乘法）
（1）．倒序相加法
在教材上推导等差数列前项和的公式： 
就使用的是该法
例如：求和 
解： ……①
又
即
……②
由①+②得 
（2）．倒序相乘法
例如：已知
、
为两个不相等的正数，在、之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积
解：设插入的个正数为
、
、
、……
且数列、、、、……、成等比数列
则
……①
又
……②
由①
②得
4、错位相减法
对于数列
，若
且数列
、
分别是等差数列、等比数列时，求该数列前
项和时，可用该方法
例如：已知数列：
，求数列前项和
解：
在上式两边同乘以(或除以)等比数列
的公比3，得
由①～②（两等式的右边错位相减）
∴
5、裂项相消法
常见的裂项方法有：
1．
2．
3．
4．
例如：已知数列：
，求数列前项和
解：
6、并项法
例如：已知
，则
解：
同理 
相应练习：
【巩固练习】1：已知数列
的通项公式为
，
为的前n项和，
（1）求； （2）求
的前20项和。
【巩固练习】2：求数列
前n项的和.
解：由题可知，{
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
}的通项之积
设
…………………………………①
………………………………② （设制错位）
①－②得
（错位相减）
∴ 
【巩固练习】3：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴ 
＝
将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝
（分组）
＝
＝
（分组求和）
＝
【巩固练习】4：在数列{an}中，
，又
，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵ 
∴ 
（裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝
＝ 
＝ 0
【巩固练习】5：在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
解：设
由等比数列的性质 
（找特殊性质项）
和对数的运算性质 
得
（合并求和）
＝
＝
＝10
【巩固练习】6： 已知数列{an}：
的值.
解：∵ 
（找通项及特征）
＝
（设制分组）
＝
（裂项）
∴ 
（分组、裂项求和）