数列知识点总结
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数列的通项公式：表示数列
的第
项与序号之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项
与它的前一项
（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
12、由三个数
，
，
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若
，则称为与
的等差中项．
13、若等差数列的首项是
，公差是
，则
．
通项公式的变形：①
；②
；③
；④
；⑤
．
14、若是等差数列，且
（
、、
、
），则
；若是等差数列，且
（、、），则
；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。
15、等差数列的前项和的公式：①
；②
．
16、等差数列的前项和的性质：①若项数为
，则
，且
，
．②若项数为
，则
，且
，
（其中
，
）．
17、如果一个数列从第
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
18、在与中间插入一个数
，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若
，则称为与的等比中项．
19、若等比数列的首项是，公比是
，则
．
20、通项公式的变形：①
；②
；③
；④
．
21、若是等比数列，且（、、、），则
；若是等比数列，且（、、），则
；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m项和构成的数列成等比数列。
22、等比数列的前项和的公式：
．
时，
，即常数项与
项系数互为相反数。
23、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则
．
②
． ③
，
，
成等比数列．
24、与的关系：
一些方法：
一、求通项公式的方法：
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为
，列两个方程求解；
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为
，列三个方程求解；
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为
，q为相除后的常数，列两个方程求解；
2、由递推公式求通项公式：
①若化简后为
形式，可用等差数列的通项公式代入求解；
②若化简后为
形式，可用叠加法求解；
③若化简后为
形式，可用等比数列的通项公式代入求解；
④若化简后为
形式，则可化为
，从而新数列
是等比数列，用等比数列求解的通项公式，再反过来求原来那个。（其中
是用待定系数法来求得）
3、由求和公式求通项公式：
①
② 
③检验
，若满足则为，不满足用分段函数写。
4、其他
（1）
形式，
便于求和，方法：迭加；
例如：
有：
（2）
形式，同除以
，构造倒数为等差数列；
例如：
，则
，即
为以-2为公差的等差数列。
（3）
形式，，方法：构造：
为等比数列；
例如：
，通过待定系数法求得：
，即
等比，公比为2。
（4）
形式：构造：
为等比数列；
（5）
形式，同除
，转化为上面的几种情况进行构造；
因为，则
，若
转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法
二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
①若
，则
有最大值，当n=k时取到的最大值k满足
②若
，则有最小值，当n=k时取到的最大值k满足
三、数列求和的方法：
①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；
②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：
；
③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：
，
等；
④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：
等；
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为
类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；
②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为
类型，这样可以相乘约掉。
第二篇：数列知识点总结
等差等比数列练习题
一、 选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）
（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在
2.、在等差数列
中，
,且
,
,
成等比数列，则的通项公式为 （ ）
（A）
（B）
（C）或
（D）或
3、已知
成等比数列，且
分别为
与
、与
的等差中项，则
的值为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D） 不确定
4、互不相等的三个正数成等差数列，
是a,b的等比中项，
是b,c的等比中项，那么
，
，
三个数（ ）
（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列
（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列的前
项和为
,
,则此数列的通项公式为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6、已知
，则 （ ）
（A）
成等差数列 （B）成等比数列 （C）
成等差数列 （D）成等比数列
7、数列的前项和
，则关于数列的下列说法中，正确的个数有 （ ）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
8、数列1
,前n项和为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、若两个等差数列、
的前项和分别为
、
，且满足
，则
的值为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
10、已知数列的前项和为
,则数列
的前10项和为 （ ）
（A）56 （B）58 （C）62 （D）60
11、已知数列的通项公式
为, 从中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
12、下列命题中是真命题的是 ( )
A．数列是等差数列的充要条件是
(
)
B．已知一个数列的前项和为
,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
C．数列是等比数列的充要条件
D．如果一个数列的前项和
,则此数列是等比数列的充要条件是
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列，公比
,成等差数列，则公比
=
14、已知等差数列，公差
,
成等比数列，则
=
15、已知数列满足
,则
=
16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为
二、 解答题
17、已知数列是公差
不为零的等差数列，数列
是公比为的等比数列，
，求公比及
。
18、已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于
,
，
,
,求
。
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
20、已知为等比数列，
，求
的通项式。
21、数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列
的各项为正，其前项和为
，且
，又
成等比数列，求
22、已知数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列满足
，证明：是等差数列；
数列综合题
一、选择题
二、 填空题
13. 
14. 
15. 
16. 
6
三、解答题
17.a
=a1,a
=a10=a1+9d,a
=a46=a1+45d
由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.
∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1
∴bn=3·4n-1-2
18.∴ a3=3b3 , 
a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2d ①
a5=5b5, a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d ②
,得
=2，∴ d2=1或d2=
,由题意，d=
,a1=-
。∴an=a1+(n-1)d=(n-6) bn=a1dn-1=-·()n-1
19.设这四个数为
则
由①，得a3=216,a=6 ③
③代入②，得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3，6，12，18
20.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q
所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,
当q1=, a1=18.所以 an=18×()n－1= = 2×33－n.
当q=3时, a1= , 所以an=×3n－1=2×3n－3.
21.解：(I)由
可得
，两式相减得
又
∴
故是首项为
，公比为
得等比数列
∴
（Ⅱ）设的公差为
由得，可得
，可得
故可设
又
由题意可得
解得
∵等差数列的各项为正，∴
∴
∴
22（I）：
是以
为首项，2为公比的等比数列。
即 
（II）证法一：
①
②
②－①，得
即
③
④
④－③，得 
即 
是等差数列。