必修⑤ 第二章 数列  知识总结

一、等差数列

1．等差数列定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项；数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.它的图像是一群孤立的点.

它具有如下特征：

, 或  

注意：

（1）证明数列{} 是等差数列的五种基本方法（③④⑤大多用在客观题上）：

①利用定义：证明（ 常数 ）

②利用中项性质：证明

③通项公式法：（p、q为常数）为等差数列

④前n项和公式法：（A、B为常数）为等差数列

⑤成等比数列且为等差数列

（2）证明数列不是等差数列的常用方法：找反例.(如验证前三项不成等差数列) .

（3）若，则不是等差数列,求可用累加法

    

2．通项公式及其变式

变式：   

           （联想点列所在直线的斜率）

3．前n项和公式及其变式

；

变式: ① 联想:是以为首项, 为公差的等差数列.

    ②

③    联想： 是以为首项,为公差的等差数列

④   联想：算术平均数

4．等差中项

若 a, b, c成等差数列，则b 称a与c的等差中项，且．

5．重要性质(等差数列中)

（1）对称性质：若m+n=p+q  (m.、n、p、q), 则；

特别地：当  m+n=2p时;

(2）若d为{}的公差，则其子数列也成等差数列，且公差为；

（3）片段和性质：也成等差数列，且公差为；

（4）若,都是等差数列,则都为等差数列；

（5）若项数为2n (n) 则；；

      若项数为2n-1 (n) 则；；.

评注:有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项.

6．常用结论、技巧，减少运算量（注意对称设元，整体消参，设而不求）

（1）设元技巧：如三个数成等差数列，可设为；

                 四个数成等差数列，可设为.

（2）在等差数列中，求最值：

方法一：建立的目标函数，转化为n的二次函数求；

方法二：若有最大值，这时可由不等式组来确定n；

若有最小值，这时可由不等式组来确定n.

（3）基本量计算：等差数列中有五量()、三式（一个通项公式，两个求和公式），一般可以“知三求二”通过列方程（组）求关键量和d，问题可迎刃而解.

（4）几个重要结论

二、等比数列

１．定义与特征：

定义：______________________________________________.

它具有如下特征：  (q为不为零常数)  或者（nN*）

注：（1）证明数列是等比数列的两个基本方法：

①利用定义：(q为不为零常数)

②利用等比中项：

③通项公式法:

④前n项和法:

⑤成等差数列为等比数列

   （2）证明数列不是等比数列的常用方法：找特例.

2．通项公式：；

变式：； （n>m; m、n）

3．前n项和公式：

      ；

（1）注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.

（2）当公比q1时，

4．等比中项

   若a，G , b成等比数列，则G为a, b的等比中项，即.

5．性质

在等比数列中，有

（1）若m+n=p+q ，m ,n, p ,q, 则；

当m+n=2p时，；

（2）若成等比数列, 则也成等比数列；

（3）若q为{}的公比，则其子序列也成等比数列,公比为；

 (即序号成等差数列的项按原次序构成新的等比数列)

（4）片段和:也成等比数列，且公比为.

6．常用结论、技巧：

（1） 

（2）前n项和公式，一定要分q=1或q1两种情况．

(3) 设元技巧：三个数成等比数列，通常设为；

四个数成等比数列，不能设为，只有当q>0时才可以．

 (4) 等比数列的单调性

①当时，等比数列为递增数列；

②当时，等比数列为递减数列；

③当时，等比数列为常数列;

④当时，等比数列为摆动数列.

 (5)有限项等比数列中， 设“偶数项和”为，“奇数项和”为

①若总项数为偶数2n，则；

②若总项数为奇数，.

三、数列求和的方法：

１．公式法

(1)等差数列的前n项和公式（三种形式）;

(2)等比数列的前n项和公式（三种形式）;

    (3)几个重要公式

       

       

２．倒序相加法:在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）．

如: 在和之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，求所插入的n个数之积．

3．错位相减法：适用于的数列；其中成等差数列,成等比数列.

   记；则.

（这也是等比数列前和公式的推导方法之一）

4．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

① 

②

③

④

5.分组求和：适用于 ，而、的和易求得.

四、求一般数列通项公式的类型及方法：

1．应用公式（等差、等比数列）；

2．已知求可用,是否分段,需要验证.

(数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前项和公式的关系)

3．累加法：适用于差后等差或差后等比的数列；

 ；

如：①已知数列满足求；

②已知数列满足求.

4．累积法：适用于分式给出的递推式，累积后可以消去中间项，

如：① 已知数列满足,a₁=1,求；

② 已知数列满足,a₁=1,求.

5．构造特殊数列法：

（1）利用递推关系写出数列的前几项，根据前几项的特点观察、归纳猜想出的表达式，然后用数学归纳法证明.

（2）将递推关系式进行变形,然后运用累加、累积、迭代、换元转化为常见数列（等差、等比数列）；

如：已知数列满足求；

已知数列满足求.

五、数列的应用(三个模型)

凡涉及到利息、产量、降价、繁殖增长率以及分期付款等问题时都可以用数列解决.

(1)复利公式:按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和 

（2）单利公式:利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和

（3）产值模型:原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值 

第二篇：数列知识点总结

等差等比数列练习题

一、 选择题

1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列                                                    （   ）

（A）为常数数列        （B）为非零的常数数列      （C）存在且唯一       （D）不存在

2.、在等差数列中，,且,,成等比数列，则的通项公式为                              （   ）

（A）   （B）     （C）或     （D）或

3、已知成等比数列，且分别为与、与的等差中项，则的值为                        （   ）

（A）        （B）        （C）       （D） 不确定

4、互不相等的三个正数成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，，三个数（   ）

（A）成等差数列不成等比数列              （B）成等比数列不成等差数列

（C）既成等差数列又成等比数列            （D）既不成等差数列，又不成等比数列

5、已知数列的前项和为,,则此数列的通项公式为                                  （   ）

（A）      （B）    （C）      （D）

6、已知，则                                                                  （   ）

（A）成等差数列   （B）成等比数列   （C）成等差数列   （D）成等比数列

7、数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有                         （   ）

①一定是等比数列，但不可能是等差数列   ②一定是等差数列，但不可能是等比数列   ③可能是等比数列，也可能是等差数列     ④可能既不是等差数列，又不是等比数列    ⑤可能既是等差数列，又是等比数列

（A）4         （B）3         （C）2        （D）1

8、数列1,前n项和为                                                                  （   ）

（A）    （B）    （C）   （D）

9、若两个等差数列、的前项和分别为 、，且满足，则的值为       （   ）

（A）         （B）         （C）        （D）

10、已知数列的前项和为,则数列的前10项和为                               （   ）

（A）56       （B）58       （C）62        （D）60

11、已知数列的通项公式为, 从中依次取出第3，9，27，…3ⁿ, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为                                                                                     （   ）

（A）      （B）       （C）      （D）

12、下列命题中是真命题的是                                                                                 (     )

A．数列是等差数列的充要条件是()

B．已知一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

C．数列是等比数列的充要条件

D．如果一个数列的前项和,则此数列是等比数列的充要条件是

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比=     

14、已知等差数列，公差,成等比数列，则=      

15、已知数列满足,则=      

16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为     

二、 解答题

17、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列， ，求公比及。

18、已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于 , ，,,求。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

20、已知为等比数列，，求的通项式。

21、数列的前项和记为

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

22、已知数列满足

         （I）求数列的通项公式；

         （II）若数列满足，证明：是等差数列；

 

                    数列综合题

一、选择题

二、         填空题

13.      14.     15.     16. 6

三、解答题 

17.a=a₁,a=a₁₀=a₁+9d,a=a₄₆=a₁+45d

由{a_bn}为等比数例，得（a₁+9d）²=a₁(a₁+45d)得a₁=3d,即a_b1=3d,a_b2=12d,a_b3=48d.

∴q=4   又由{a_bn}是{a_n}中的第b_na项，及a_bn=a_b1·4^n-1=3d·4^n-1,a₁+(b_n-1)d=3d·4^n-1 

∴b_n=3·4^n-1-2

18.∴ a₃=3b₃ , a₁+2d=3a₁d²  ,a1(1-3d²)=-2d   ① 

 a₅=5b₅, a₁+4d=5a₁d₄ , ∴a₁(1-5d⁴)=-4d      ②

 ,得=2，∴ d²=1或d²=,由题意，d=,a₁=-。∴a_n=a₁+(n-1)d=(n-6)   b_n=a₁d^n-1=-·()^n-1

19.设这四个数为

则     由①，得a³=216,a=6   ③

③代入②，得3aq=36,q=2   ∴这四个数为3，6，12，18

20.解: 设等比数列{a_n}的公比为q, 则q≠0, a₂= = , a₄=a₃q=2q

所以 + 2q= , 解得q₁= , q₂= 3,

当q₁=, a₁=18.所以 a_n=18×()^n－1= = 2×3^3－n. 

当q=3时, a₁= , 所以a_n=×3n－1=2×3^n－3.

21.解：(I)由可得，两式相减得

又 ∴

   故是首项为，公比为得等比数列

   ∴

（Ⅱ）设的公差为

由得，可得，可得

故可设

又

由题意可得

解得

∵等差数列的各项为正，∴

∴   ∴

22（I）： 

       是以为首项，2为公比的等比数列。

      

       即　

       （II）证法一：

      

       　　　　　　　　　　　　　①

       　　　　　　②

       ②－①，得

       即                 ③

                            ④

　    ④－③，得　即　

       是等差数列。