数列知识点总结

 一、数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项。

2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即。

3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，，其中是数列的递推公式。

4.数列的前项和与通项的公式：

①；②。

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法。

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列。

①递增数列:对于任何,均有。

②递减数列:对于任何,均有。

③摆动数列:例如:      

    ④常数数列:例如:6,6,6,6,……。

⑤有界数列:存在正数使。

⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得。

 二、等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等

差数列，常数称为等差数列的公差。

2.通项公式与前项和公式：

⑴通项公式，为首项，为公差。

   ⑵前项和公式或。

3.等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项。

  即：是与的等差中项，，成等差数列。

4.等差数列的判定方法

⑴定义法：（，是常数）是等差数列；

⑵中项法：()是等差数列。

5.等差数列的常用性质

⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为；

⑶；(,是常数)；(,是常数，)；

⑷若，则；

⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；

⑹当项数为，则；

  当项数为，则。

三、等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比。

2.通项公式与前项和公式

⑴通项公式：，为首项，为公比。

⑵前项和公式：①当时，；

②当时，。

3.等比中项

  如果成等比数列，那么叫做与的等比中项。

  即：是与的等差中项，，成等差数列。

4.等比数列的判定方法

⑴定义法：（，是常数）是等比数列；

⑵中项法：()且是等比数列。

5.等比数列的常用性质

⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；

⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为；

⑶；

⑷若，则；

⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列。

第二篇：数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d

a 等差中项： 2 a n ? a n? 1 ? 1 前n项和Sn?n?

?a1?an?n?na

2

1?

n?n?1?2

d

性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1?,?a2n?,?a2n?1?仍为等差数列;Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m?1

?

bmT2m?1

（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数）d=2a

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值:，

即：a>0 n=-b/2a 最大值所在的项数 a<0 n=-b/2a 最小值所在的项数 ⑹当项数为2n(n?N?)，则S偶?S奇?nd,

S偶S奇

?S偶S奇

an?1

； an?n?1

. n

当项数为2n?1(n?N?)，则S奇?S偶?an,

2. 等比数列的定义与性质

定义：

an?1

?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1an?am?qn?m(n,m?N?)

.,an

等比中项：x、G、y成等比数列?G2?

xy，或G?

1

?na1(q?1)前n项和：S?

n??a?

1?1?qn??1?q

(q?1)（要注意！）

性质：（1）若m?n?p?q，则am

·an?ap·aq （2）Snn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为q.

注意：由Sn求an时应注意什么？

n?1时，a1?S1；n?2时，an?Sn?Sn?1. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法

如：数列?a12a11

n?，1?22a2?……?2

nan?2n?5，求an

解 n?1时，1

2a1?2?1?5，∴a1?14 n?2时，12a11

1?22a2?……?2n?1an?1?2n?1?5 ①—②得：12a，∴an?1

???14(n?1)nn?2n?2，∴an?

2n?1(n?2)

［练习］数列?a5

n?满足Sn?Sn?1?3

an?1，a1?4，求an

注意到an?1?Sn?1?SSn?1

n，代入得

S?4又S1?4，∴?Sn?是等比数列，n

；

n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3

·4n?1 （2）叠乘法

如：数列?a中，aa1n

n?1?3n?a?，求an

nn?1

解

a2aa3……an?12……n?1，∴an?1又a3

1?3，∴an?1a2an?123na1nn.

（3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

2

①

②

Sn?4n

?

a3?a2?f(3)??

n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)

…………?an?an?1?f(n)??∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］数列?an?中，a1?1，an?3（4）等比型递推公式

an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）

n?1

a2?a1?f(2)

?an?1?n?2?，求an

（

an?

1n

?3?1?2）

可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?

ddd??

，∴?an?，c为公比的等比数列 ?是首项为a1?

c?1c?1c?1??

∴an?

dd?n?1d?n?1d??，∴ ??a1?·ca?a?c?n??1?

c?1?c?1?c?1?c?1?

（5）倒数法 如：a1?1，an?1?

2an

，求an an?2

由已知得：

a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2

?1?11111

·??n?1?， ∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?

an22a12?an?

∴an?

2

n?1

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?

1

k?1akak?1

n

解：由

111?11?

??????d?0?

ak·ak?1akak?dd?akak?1?

3

n

?111?11?1??11??11?1??

????∴????????????……????? aadaadaaaaaak?1kk?1k?1k?1?2?3?n?1???k?2?n??1

n

?

1?11???? d?a1an?1?

［练习］求和：1?

111

??……?

1?21?2?31?2?3?……?n

1 an?……?……，Sn?2?

n?1

（2）错位相减法

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由

Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.

如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1

①

x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn

②

①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn

x?1时，Sn

1?x?nx???

n

n

?1?x?

2

1?x

，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?

n?n?1?2

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sn?a1?a2?……?an?1?an?

?相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…

Sn?an?an?1?……?a2?a1?

x2

［练习］已知f(x)?，则

1?x2?1?

f(1)?f(2)?f???f(3)?

?2?

?1?

f???f(4)??3?

2

?1?

f????4?

?1???2

xx21x?1?????1由f(x)?f???2222

?x?1?x?1?1?x1?x

1????x? ?

∴原式?f(1)??f(2)?

?

?1???

f?????f(3)??2????1???

f?????f(4)??3???

4

1?1??1

f?????1?1?1?3

2?4??2

5