必修五 数列
★知识梳理
1.数列的前
项和与通项的公式
①
； ②
.
例1. ①已知下列数列
的前项和
，分别求它们的通项公式
.
⑴
； ⑵
.
②设数列
满足
，则
③数列中，
，求
的值.
④已知数列的首项
，其前项和
．求数列 的通项公式．
⑤设、
分别是等差数列、
的前项和，
，则
.
2. 数列的单调性
①递增数列:对于任何
,均有
.
②递减数列:对于任何,均有
.
20##-2011海淀区高三年级期中
已知数列
满足：
（I）求
的值；
（Ⅱ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅲ）令
（
），如果对任意
，都有
，求实数
的取值范围.
2.等差数列知识点
通项公式与前项和公式
⑴通项公式
，
为首项，
为公差.
⑵前项和公式
或
.
等差中项:如果
成等差数列，那么
叫做
与
的等差中项.
即：是与的等差中项
，，成等差数列.
等差数列的判定方法
⑴定义法：
（
，是常数）是等差数列；
⑵中项法：
()是等差数列.
⑶
)是等差数列
⑷
是等差数列
等差数列的常用性质
⑴数列是等差数列，则数列
、
（
是常数）都是等差数列；
⑵等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即
为等差数列，公差为
.
⑶
；
⑷若
，则
；
⑸若等差数列的前项和，则
是等差数列；
例2.已知为等差数列的前项和，
.求证：数列
是等差数列.
等差数列的前
项和
的最值问题
⑴若
有最大值，可由不等式组
来确定；
⑵若
有最小值，可由不等式组
来确定.
例2.已知为数列的前项和，
，
.
⑴求数列的通项公式；
⑵数列中是否存在正整数
，使得不等式
对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.
3.等比数列知识点
通项公式与前项和公式
⑴通项公式：
，
为首项，
为公比 .
⑵前项和公式： ①当
时，
②当
时，
.
等比中项
如果
成等比数列，那么
叫做与的等比中项.即：是与的等，，，，中项，，成等差数列
.
等比数列的判定方法
⑴定义法：
（，
是常数）是等比数列；
⑵中项法：
()且
是等比数列.
等比数列的常用性质
⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为
.
⑶
⑷若，则
；
⑸若等比数列的前项和，则
、
、
、
是等比数列.
例3.已知为等比数列前项和，
，
，则
.
4.数列的通项的求法
⑴利用观察法求数列的通项.
⑵利用公式法求数列的通项：①
；
⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①
；②
⑷构造等差、等比数列求通项：
①
； ②
；
③
例4.设数列的前项和为，已知
，设
，
求数列的通项公式．
（宣武二模理18）设是正数组成的数列，其前项和为
，且对于所有的正整数,有
．
(I) 求，
的值；
(II) 求数列的通项公式；
（III）令
，
，
（
），
求数列
的前
项和
．
例5.⑴已知数列中，
，求数列的通项公式；
⑵设
是首项为1的正项数列，且
，
则数列的通项
.
例6.⑴已知数列中，
，求数列的通项公式；
⑵已知数列中，
，求数列的通项公式.
例7.⑴数列中，
，则的通项 .
⑵数列中，
，则的通项 .
例8.已知数列中，
，求数列的通项公式.
5.数列求和
基本数列的前项和
⑴ 等差数列的前项和：
⑵ 等比数列的前项和：
①当时，；②当时，；
数列求和的常用方法：拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.
例.等差数列，公差
，且
，则
.
拆项分组法求和
求数列
的前项和.
裂项相消法求和
⑴数列
的前项和
⑵求和：
；
⑶ 求和：
.
倒序相加法求和
北京市宣武区2009~20##学年度第一学期期末质量检测
已知函数
，
为正整数．
（Ⅰ）求
和
的值；
（Ⅱ）若数列
的通项公式为
（
），求数列的前项和
；
（Ⅲ）设数列
满足：
，
，设
，若（Ⅱ）中的满足对任意不小于3的正整数n，
恒成立，试求的最大值.
例9.设是数列的前项和，
，
.
⑴求的通项；
⑵设
，求数列的前项和.
错位相减法求和
若数列的通项
，求此数列的前项和.
【解析】
， ①
②
①-②，得
.
.
例10.已知为数列的前项和，，Sn+1=4an+2.
⑴设数列中，
，求证：是等比数列；
⑵设数列
中，
，求证：是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和.
例11.设函数
的定义域为
，当
时，
，且对任意的实数
，有
．
⑴求
，判断并证明函数的单调性；
⑵数列满足
,且
求通项公式；
北京市宣武区2009~20##学年度第一学期期末质量检测
解：（Ⅰ）
=1；
=
=
=1；………………………………４分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 
,即
由
, ……………①
得
…………②
由①＋②, 得
∴
，…10分
（Ⅲ） ∵
,∴对任意的
.
∴
即
.
∴
.
∵
∴数列
是单调递增数列.
∴
关于n递增. 当
, 且
时, 
.
∵
∴
∴
∴
.而为正整数，
∴的最大值为650. ………………………………