一 定义(n≥2，n∈N+)
01?等差：－＝d
01?等比：－q(q≠0)
二 通项公式
01?＝＋(n－1)d(推导方法：累加法)
＝＋(n－m)d?d＝
01?＝(·q≠0)(推导方法：累乘法)
＝·?＝
三性质
01?A是a与b的等差中项?a,A,b成等差数列?2A＝a＋b。
01?G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?＝a·b
02?m＋n＝P＋q(m,n,p,q∈N+)，则＋＝＋；当n＋m＝2k时,得＋＝2
02?m＋n＝P＋q(m,n,p,q∈N+)，则·＝·；当n＋m＝2k时,得＋＝
03?,为等差数列,则{＋k},{k},{A±B}为等差数列.
03?,为等比数列,则{},{k},{},{},{}{}为等比数列.
04?等差中，，，，……为等差数列，公差为kd
04?等比中，，，，……为等比数列，公比为
05?为等差数列，则、－、－、－(k项的和)是等差数列.公差为d
05?是等比数列，则、－、－、－(k项的和)是等比数列.公比为.
06?是等差数列
06?是等比数列
07?3或4个数成等差数列，按对称性设，3个数：a-d,a,a+d；4个数:a-3d, a-d, a+d, a+3d
07?三个数成等比数列，设为,a,aq，也可设为a,aq,a
08?是等差数列?=kn+b(k,b是常数)(n∈N+)?关于n的一次函数
是等差数列?＝n＋d＝＋(－)n＝A＋Bn?关于n的二次函数
若d>0，有最小值。若d<0，有最大值。
08?是等比数列?=＝A?关于n的指数型函数。
是等比数列?＝＋＝－A＋A?关于n的指数型函数
09?有穷等差数列，
09?有穷等比数列，则
10?等差数列中,每隔k项取出一项,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d
10?等比数列中,每隔k项取出一项,所得的数列仍为等比数列,且公比为
11?是等差数列,公差为d，则倒序也是等差数列，其公差为－d.
11?是等比数列,公比为q，则倒序也是等差数列也是等比数列，其公比为
12?如果是各项均为正数的等比数列,则数列是公差为lgq的等差数列
常用的性质：
(1)在等差数列中,当项数为2n时,－＝nd；＝(中间两项),
当项数为2n-1时,－=(中间项)；＝
(2).若等差数列，的前n项和为,(n为奇数),则＝或＝
(3)在等差数列中,＝a,＝b,＝(a－b)
特别地,当=时,＝0
=m，＝n时,＝－(n＋m)
(4)是等差数列,则数列也为等差数列.
(5)是等差数列,①若首正>0,公差d<0,则当>0且<0,则最大,
当>0,<0,且<0，则=最大.
②若首负<0,公差d>0,则当<0且>0,则最小，当<0，＝0且>0,则=最小。
是等比数列，当项数为2n(n∈N+)，则＝q,当项数为2n－1(n∈N+)，则＝
若等比数列，则＝＋
四、通项公式的求法
1利用求通项公式：＝
2已知递推公式求通项公式。
类型1：＝＋f(n)转化为－＝f(n)，累加法(逐差相加法)。
类型2：＝f(n)转化为＝f(n)，累乘法(逐商相乘法)。
类型3：＝A＋B(A，B为常数，(AB(p－1)≠0)
待定系数法：转化为＋t＝A(＋t)，其中t＝，转化为等比数列。
五 数列求和
1公式法
2、拆项法
3、错位相减法：
主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
4、裂项相消法
①＝－；
＝(－)；
＝(－)
＝[－]
②<＝(－)；
－＝<<＝－
③.＝－
＝(－)
④＝－；
5、倒序相加法
6．1＋2＋…＋n=n(n＋1)，＋＋…＋＝n(n＋1)(2n＋1)，＋＋…＋＝
六数列的分类
①递增数列:对于任何n∈N+,均有>
②递减数列:对于任何n∈N+,均有<
③摆动数列:例如:－1，1，－1，1，……
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
等比数列的单调性，
(1)q>0且>0,则{}为递增数列。q>0且<0,则{}为递减数列。
(2)0<q<1且>0,则{}为递减数列。0<q<1且<0,则{}为递增数列。
(3)当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);
(4)当q<0时,该数列为摆动数列.
第二篇：数列公式性质总结
一 定义（n≥2，n∈N
）
1 等差：
－
=d 1′ 等比： 
=q（q≠0）
二 通项公式
1 
（推导方法：累加法） 
1′
（推导方法：累乘法） 
三 
性质
1 
是
与
的等差中项
，，成等差数列
。
1′ 
是与的等比中项，，成等比数列
。
2 
，则
；当n+m=2k时,得
=
2′ 则
；当n+m=2k时,得
=
3 
,
为等差数列,则
,
,
,
为等差数列.
3′,为等比数列,则
,,
,
,
为等比数列.
4 等差中，
为等差数列，公差为
.
4′ 等比中，为等比数列，公比为
.
5 为等差数列，则
、
、
、
（k项的和）是等差数列. 公差为
5′是等比数列，则、、、（k项的和）是等比数列. 公比为
。另外（k项的积）
,也是等比数列，公比为
6 是等差数列，设
，
，
，则有
；
6′ 是等比数列,设
，
，
，
则有
7 3或4个数成等差数列，按对称性设，3个数：a-d, a, a+d； 4个数: a-3d, a-d, a+d, a+3d
7′ 三个数成等比数列，设为 
，也可设为
8 {
}是等差数列
（k,b是常数）（
）
关于n的一次函数
{}是等差数列
关于n的二次函数。若
，有最小值。若
，有最大值。
8′ {an}是等比数列
关于n的指数型函数。
{an}是等比数列
关于n的指数型函数。
9 有穷等差数列，则
。
9′有穷等比数列，则
。
10 等差数列中,每隔k项取出一项,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d(如：
，
，
，
仍为公差为3d的等差数列)
10′ 等比数列中,每隔k项取出一项,所得的数列仍为等比数列,且公比为
(如：，，，仍为公比
的等比数列)
11 是等差数列,公差为d，则，
，
，也是等差数列，其公差为
.
11′是等比数列,公比为q，则，，
，也是等比数列，其公比为
12 如果是各项均为正数的等比数列,则数列
是公差为
的等差数列
常用的性质：
（1）在等差数列中,当项数为2n 时,
（中间两项）,
当项数为2n -1时,
(2).若等差数列,的前n项和为
(n为奇数),则
.或
(3)在等差数列中.=a,
,则
,特别地, 当
时,
, 当=m,
=n时
(4) 是等差数列,则数列
也为等差数列.
(5)是等差数列,①若首正>0,公差d<0,则当>0且
,则最大,当>0,
且
,则=
最大. ②若首负<0,公差d>0,则当<0且
,则最小,当<0, 且
,则=最小。
6 是等比数列，当项数为
，则
；
7 当项数为
，则
.在等比数列中,当项数为2n (n
)时,
,.
8 若等比数列,则
四、通项公式的求法
1 利用
求通项公式：
．
2 已知递推公式求通项公式。
类型1： 
转化为
， 累加法(逐差相加法)。
例
类型2： 
转化为
， 累乘法(逐商相乘法)。
例
类型3： 
（p，q为常数，
）。
待定系数法： 转化为
，其中
，转化为等比数列。
五 数列求和
1 公式法
1 等差数列：
（推导：倒序相加法）
1′等比数列：
（推导：错位相减法）
2、拆项法
例：求
的前n项和。
★3、错位相减法：
主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
例：
★4、 裂项相消法
① 
；
；
；
② 
，
；
③ 
④ 
5、倒序相加法
6 1+2+…+n=
n(n+1) ， 12+22+…+n2=
n(n+1)(2n+1)，13+23+…+n3=
n2(n+1)2 。
六 数列的分类
①递增数列:对于任何
,均有
.
②递减数列:对于任何,均有
.
③摆动数列:例如: 
④常数数列:例如:6,6,6,6,…….
等比数列的单调性，
（3）当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;
（4）当q<0时,该数列为摆动数列.