基本不等式
●考试目标 主词填空
1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2．设a,b∈R+,则称
为a,b的算术平均值；称
为a,b的几何平均值.
3．平均值不等式的原形与变形
① ≥ (当且仅当a=b时取等号)为原形.
②变形有:a+b≥
；ab≤
,当且仅当a=b时取等号.
4．利用平均值不等式求最大最小值，是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况.
5．最值定理
如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值
;
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值
.
●题型示例 点津归纳
【例1】 设x∈［2,5),求下列函数的最值.
(1)y=(3+2x)·(6-x);
(2)y=(3+2x)·(4-x);
(3)y=4x-9·2x+1+80;
(4)y=
.
【解前点津】 (1)因3+2x=12-2x时,x=
∈［2,5］,故可直接应用平均值不等式;
(2)因3+2x=8-2x时,x=
但
［2,5］故不能使用平均值不等式;
(3)可分解为y=(2x-8)·(2x-10);
(4)因方程
无根,故不能使用平均值不等式，而考虑其“单调性”.
【规范解答】 (1)y=(3+2x)·(6-x)=
·(3+2x)·(12-2x)
≤×
［(3+2x)+(12-2x)］2=
,当且仅当3+2x=12-2x,即x=时,ymax= ,
又∵x=2时,y=28;x=5时,y=13<28,故函数只有最大值 ,而没有最小值.
(2)因y=(3+2x)·(4-x)=-2x2+5x+12,其对称轴为x=,故函数在［2,5)上单调减;当x=2时,ymax=(3+4)·(4-2)=14,函数没有最小值.
(3)分解因式得:y=(2x-8)·(2x-10)=-(2x-8)·(10-2x)≥-
=-1,故ymin=-1,又当x=2时,y=(4-8)·(4-10)=24,当x=5时,y=(32-8)·(32-10)=528.
故当且仅当x=2时,函数有最小值-1,而函数没有最大值(x=5［2,5］］.
(4)易证函数在［2,5］上单调增,故当x=2时,ymin=
,又因5［2,5］,故函数没有最大值.
【解后归纳】 利用平均值不等式求最值时，应考虑诸项条件是否齐备，对两个正数而言:和定→相等时→积最大;积定→相等时→和最小.
在求函数的最值时，若不能使用平均值不等式，则可以考察函数的单调性.
【例2】 一开发商在某处想圈一块周长为L的地皮，这块地皮既可以为长方形，也可以为圆形，欲使其面积最大，应确定为何种图形?何种尺寸?
【解前点津】 设长方形的一边之长为x,则邻边之长为
-x,则可先确定x·(-x)的最大值.
【规范解答】 若确定为圆形，则面积为π
2=
;若确定为长方形，则不妨设其面积为S,一边之长为x,则邻边之长为-x,故S=x·(-x)≤
L2.
当且仅当x= -x即x=
时取等号.
∵πL2-L2=L2
>0,∴应确定为圆形地皮.
【解后归纳】 在一切封闭平面图形中，若周长一定，则只有圆的面积最大.
【例3】 若正数a、b满足ab≥a+b+3,试求a+b的取值范围.
【解前点津】 设a+b=x,利用平均值不等式，可推导出一个关于x的不等式.
【规范解答】 设a+b=x,则x>0,ab≥x+3,又ab≤=
，故由不等式的传递性得
≥x+3,解之x≥6,故a+b的取值范围是［6,+∞］.
【解后归纳】 求某表达式的取值范围，常可使用“换元法”，从而达到等价转化的目的.
【例4】 已知:x、y、z∈R+,且满足x+y+z=1,求
的取值范围.
【解前点津】 不具备用平均值不等式的条件，但是
+mx,
(m>0),则可用等价变形，构造使用平均值不等式的条件可求范围.
【规范解答】 ∵x+y+z=1,引入参数m>0,∴mx+my+mz=m
=(+mx)+( 
-m≥2
+4 +6 -m=12-m.
当且仅当=mx且
=my且
=mz,即x=
且y=
且z=
时取等号.
代入x+y+z=1得: 
++=1.解之m=36.
∴12-m=12
-36=36.
综上所述可知:的取值范围是［36,+∞).
【解后归纳】 为了使用平均值不等式，可引入一个参数，构造一个含有参数的不等式，它能运用平均值不等式，使运算能进行下去，最后，依据相等的条件，可解出参数的值.
●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1.已知x,y∈R,且2x2+y2-4x≤0,则 ( )
A.y2>4x B.y2<4x C.y2≥4x D.y2≤4x
2.已知三个不等式:ab>0,-
,bc>ad,以其中两个作条件，余下一个作结论，可以组成正确命题的个数是 ( )
A. 0 B.1 C.2 D.3
３.对于x∈［0,1］的一切值，则a+2b>0是使ax+b>0恒成立的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
４.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的
平均增长率为x,则有 ( )
A.x=(a+b) B.x≤(a+b)
C.x>(a+b) D.x≥ (a+b)
５.若不等式x+2
≤a(x+y)对一切正数x,y恒成立，则正数a的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.
D.2
+1
６.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为( )元.
A.1000 B.1500 C.2000 D.2500
７.设x,y是满足2x+y=20的正数,则lgx+lgy的最大值是 ( )
A.50 B.2 C.1+lg5 D.1
8.已知正数a,b满足ab=a+b+5,则ab的取值范围是 ( )
A.［7+
,+
) B.［7-,+∞)
C.［7+2,+∞) D.［7-2,+∞)
二、思维激活
9.点P(x,y)是直线x+3y-2=0上的动点,则代数式3x+27y的最小值是 .
10.如果|x|≤
,则函数f(x)=cos2x+sinx的最大值是 .
11.如果圆柱轴截面的周长L的定值，则圆柱体积的最大值为 .
12.某厂年产值第二年比第一年增长的百分率为P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，若P1+P2+P3为定值，则年平均增长率的百分率P的最大值为 .
三、能力提高
13.已知2b+ab+a=30(a>0,b>0),求y=
的最小值.
14.求函数y=
(x>-1)的值域.
15.已知:a>b>0,求
的最小值.
16.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米／时)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数，并指出该函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶.
第2课 基本不等式习题解答
1.D 因2x2≤4x-y2成立,故必有4x-y2≥0即y2≤4x.
2.D 可逐一检验.
３.B由条件,x=0时,b>0,x=1时,a+b>0
a+2b>0.
４.B由(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(1+)2.
５.B由条件:2≤(a-1)x+ay恒成立,而(a-1)x+ay≥2
,令2=2 ,a(a-1)=2,∴a=2.
６.C设池底的一边长为x m,总造价为y元,则池底的邻边之长为
m,由条件得:y=180·x· +80·2(2x+
)=720+320(x+)≥720+320·2·
=2000.
7.Clgx+lgy=lgxy=lgx·(20-2x)=lg［2·x·(10-x)］≤lg［2·
=lg50=1+lg5.
8.C由ab=a+b+5≥2+5,得( )2-2 ≥5(-1)2≥6ab≥7+2 .
9.3x+27y=32-3y+33y≥2
=6,,故最小值为6.
10.f(x)=1-sin2x+sinx=1+sinx(1-sinx)≤1+()2=.
11.因4R+2h=L为定值,故V柱=πR2·h=π·(2R)·(2R)·(2h)·
≤
·
= ·(
)3=
πL3为所求最大值.
12.由题意:(1+P1)·(1+P2)·(1+P3)=(1+x)3,∴(1+x)3≤
,
∴x≤
(P1+P2+P3),故P的最大值为(P1+P2+P3).
13.∵2b+ab+a=30,∴30≥ab+2·,∴-5 ≤≤3,当且仅当a=2b时,取等号,解方程组
得a=6且b=3ymin=
.
14.∵x>-1,∴x+1>0,令m=x+1,则m>0且y=
≥2
+5=9,当且仅当m=2时取等号,故ymin=9.
又当m→∞时,y→∞,故原函数的值域是［9,+∞).
15.∵a>b>0,∴a-b>0,故
.
而b·(a-b)=
≤
=
(当且仅当b=a-b即2b=a时取等号).
故b·(a-b)有最大值.
故原式=a2+
≥a2+
≥2
=56.
(当且仅当a2=,2b=a,即a=2
时取等号).
故原式的最小值为56.
16.(1)由条件知:汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为s／v,全程运输成本为y=a·
+bv2· =s(
+bv),故所求函数及定义域为:y=s·( +bv),v∈(0,c).
(2)因s、a、b、v都为正数，故有s·(+bv)≥2s·,当且仅当=bv,即v=
时取等号.
若≤c,则当v=时,全程运输成本y最小;
若>c,当v∈(0,c］时，有s·(+bv)-s·(
+bc)=s·［a
+b(v-c)］=
·(c-v)·(a-bcv).
因为c-v≥0且a>bc2,故a-bcv>a-bc2>0.
所以s·
≥s
.
当且仅当v=c时等号成立，也即v=c时，全程运输成本y最小;
综上所述知：为使全程运输成本y最小,当≤c时,行驶速度应为v=;当 >c时,行驶速度应为v=c.
第二篇：高中数学不等式知识点
考纲要求：
③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题
线性规划中的几个概念
（1）不等式组①是一组对变量x、y的约束条件。
（2）函数z＝2x+y为目标函数。
（3）满足线性约束条件的解（x、y）叫做可行解。
（4）所有可行解组成的集合叫做可行域。
（5）使线性目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解。
注意：线性规划要注意约束条件是否有等号（即是＞还是≥），要答，要在图上标出关键点的坐标，要有阴影。
① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组
② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组
不 等 式 知识要点
1. ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
（当a = b时取等）
特别地，
（当a = b时，
）
求定义域的时候不要写成并集；分子分母同时约去一项前必须先保证约去的一项不为零
数轴穿根法：不等式
的解为（ ）
A．－1<x≤1或x≥2 B．x<－3或1≤x≤2
C．x=4或－3<x≤1或x≥2 D．x=4或x<－3或1≤x≤2
例2．解关于
的不等式： 
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数
进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当
。
？
例3． 己知三个不等式：①
②
③
(1)若同时满足①、②的值也满足③，求m的取值范围；
(2)若满足的③值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。
分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在
和
内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。
解：记①的解集为A，②的解集为B，③的解集为C。
解①得A=（-1，3）；解②得B=
（1） 因同时满足①、②的值也满足③，A
B
C
设
，由
的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足
（2） 因满足③的值至少满足①和②中的一个，
因此
小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而
说明：同时满足①②的x值满足③的充要条件是：③对应的方程2x
+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A∩B中的所有x值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．
例6．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．
解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得
(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]．
解法二(数形结合)
建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ①
所以 3≤3f(-1)≤6． ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：
2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
常见题型：
例1．已知
（
为常数），
，求
的最小值．
例2．已知
，且
，求的最小值．
例3．当
时，求证：
．
例4． 在某两个正数
之间插入一个正数，使
成等比数列；若另外插入两个正数
，使
成等差数列，求证：
．
大家来挑错！
分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。
本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。
提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。
本题的解答没有注意
本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。
提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得
(x+y)(
)≥
≥9. （想一想错在何处？）
例4（2007山东卷）函数
的图象恒过定点
,若点在直线
上,其中
,则
的最小值为_______.
【思路点拨】先用恒过定点这一条件建立一个关系式, 再用均值不等式求最值.
【解析】∵函数的图象恒过定点
，
∴
，即
，
，
∴
【点评】本题是用函数、方程作为隐性条件建立等量关系式，利用均值不等式求最值的问题.题目小巧而灵活多变，是立意很好的题目.
含绝对值的不等式解法
（一）主要知识：
1．绝对值的几何意义：
是指数轴上点到原点的距离；
是指数轴上
两点间的距离
2．当
时，
或
，
；
当
时，
，
．
（二）主要方法：
1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
2．去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：
，
或
．
（2）定义法：零点分段法；
（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
（三）例题分析：
例1．解下列不等式：
（1）
；（2）
；（3）
．
解：（1）原不等式可化为
或
，∴原不等式解集为
．
（2）原不等式可化为
，即
，∴原不等式解集为
．
（3）当
时，原不等式可化为
，∴
，此时；
当
时，原不等式可化为
，∴
，此时
；
当
时，原不等式可化为
，∴
，此时．
综上可得：原不等式的解集为
．
例2．（1）对任意实数，
恒成立，则的取值范围是
；
（2）对任意实数，
恒成立，则的取值范围是
．
解：（1）可由绝对值的几何意义或
的图象或者绝对值不等式的性质
得
，∴
；
（2）与（1）同理可得
，∴
．