不等式
一、知识点：
1. 实数的性质：
a?b?a?b?0
；a?b?a?b?0；a?b?a?b?0．
2. 不等式的性质：
3. 常用基本不等式：
4.利用重要不等式求最值的两个命题：
命题1：已知a，b都是正数，若ab是实值P，则当a=b=命题2：已知a，b都是正数，若a＋b是实值S，则当a=b=
时，和a＋b有最小值2s2
. .
时，积ab有最大值
s
2
4
注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.
5.一元二次不等式的解法：设a>0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1≤x2，则有
结论：ax2+bx+c>0?
6. 绝对值不等式 a?0?或a?0检验?2?b?4ac?0；ax2+bx+c<0???2a?0?b?4ac?0或a?0检验
（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；
｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。
（2）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
7. 不等式证明方法：
基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法
辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法
特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。
例：解下列不等式：
(1) x?7x?12?0； (2) ?x?2x?3?0；
(3) x?2x?1?0； (4) x?2x?2?0．
解：(1)方程x?7x?12?0的解为x1?3,x2?4．根据y?x?7x?12的图象，可得原不等式x?7x?12?0的解集是{x|x?3或x?4}．
22222222(2)不等式两边同乘以?1，原不等式可化为x?2x?3?0．
方程x?2x?3?0的解为x1??3,x2?1．
根据y?x?2x?3的图象，可得原不等式?x?2x?3?0的解集是{x|?3?x?1}．
222
(3)方程x?2x?1?0有两个相同的解x1?x2?1．
根据y?x?2x?1的图象，可得原不等式x?2x?1?0的解集为?．
(4)因为??0，所以方程x?2x?2?0无实数解，根据y?x?2x?2的图象，可得原不等式x?2x?2?0的解集为?．
练习1. （1）解不等式
（2）解不等式222222x?3x?3（若改为?0呢？） ?0；x?7x?7?1； 2x?3
x?7
?x?7?0,?x?7?0,解:(1)原不等式??或??{x|?7?x?3} x?3?0x?3?0??
(该题后的答案:{x|?7?x?3}).
(2)x?10
x?7?0即?{x|?7?x?10}.
8、最值定理
设x、y都为正数，则有
⑴ 若x?y?s（和为定值），则当x?y时，积xy取得最大值s
42．
⑵ 若xy?p（积为定值），则当x?y时，和x?
y取得最小值．
即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”
注意：一正、二定、三相等
几种常见解不等式的解法 重难点归纳
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)
(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法
(4)
(5)
(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论
典型题例示范讲解
例1：如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)?0（或f(x)?0）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 当分式不等式化为f(x)
g(x)?0(或?0)时，要注意它的等价变形
①f(x)
g(x)
f(x)?0?f(x)?g(x)?0 ②?f(x)?g(x)?0f(x)?0??或
?0?f(x)?0或f(x)?g(x)?0 g(x)?0g(x)g(x)?
用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．
不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解． 例：解不等式：（1）2x3?x2?15x?0；（2）(x?4)(x?5)2(2?x)3?0． 解：（1）原不等式可化为
x(2x?5)(x?3)?0
把方程x(2x?5)(x?3)?0的三个根x1?0,x2??
过三个根，其解集如下图的阴影部分．
52,x3?3顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经
∴原不等式解集为?x???5??x?0或x?3? 2?
（2）原不等式等价于
(x?4)(x?5)(x?2)?023
?x??5?x?5?0????(x?4)(x?2)?0??x??4或x?2
∴原不等式解集为?xx??5或?5?x??4或x?2?
解下列分式不等式：
例：（1）3
x?2?1?2
x?2； （2）x?4x?1
3x?7x?222?1
（1）解：原不等式等价于
3
x?2
??xx?2?3x?2?xx?2?0?x?5x?623(x?2)?x(x?2)
(x?2)(x?2)
(x?6)(x?1)?0?(x?2)(x?2)?0 ??(x?6)(x?1)(x?2)(x?2)?0?0??(x?2)(x?2)?(x?2)(x?2)?0
用“穿根法”
∴原不等式解集为(??,?2)???1,2???6,???。
2x?3x?1
3x?7x?222（2）解法一：原不等式等价于
22?0 ?(2x?3x?1)(3x?7x?2)?0
22???2x?3x?1?0?2x?3x?1?0??或? 22??3x?7x?2?0??3x?7x?2?0
?x?1
3或1
2?x?1或x?2
11∴原不等式解集为(??,)?(,1)?(2,??)。
32
解法二：原不等式等价于(2x?1)(x?1)
(3x?1)(x?2)?0
?(2x?1)(x?1)(3x?1)?(x?2)?0
用“穿根法” ∴原不等式解集为(??,)?(,1)?(2,??) 3211
例2：绝对值不等式，解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义a???a(a?0)
??a(a?0) 二是根据绝对值的性质：x?a??a?x?a,xa?x?a或x??a，因此本题有如下两种解法． 例：解不等式x2?4?x?2
解：原不等式等价于 ?(x?2)?x?4?x?2 2
2???2?x?3?x?4?x?2即? ∴?故1?x?3． 2??x?1或x??2?x?4??(x?2)
例3：已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时
＞0 f(m)?f(n)m?n
(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；
(2)f(x+1
2)＜f(1x?1)；
(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围 技巧与方法(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把
f(x)转化成“1
(1)证明任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f(x1)?f(?x2)
x1?x2·(x1－x2)
∵－1≤x1＜x2≤1，
∴x1+(－x2)≠0，由已知f(x1)?f(?x2)
x1?x2＞0，又 x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1
(2)∵f(x)在［－1，1］上为增函数， 1??1?x??1?2?13??1 {x|－≤x＜－1，x∈R} ∴??1?x?12?
11?x???2x?1?
(3)由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，
故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，
所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，
故t－2at≥0，记g(a)=t－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，
只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，
解得，t≤－2或t=0或t≥
∴t{t|t≤－2或t=0或t≥2} 22
例5：解关于x的不等式
解原不等式可化为a(x?1)x?2＞1(a≠1) (a?1)x?(2?a)
x?2
a?2
a?1＞0， ①当a＞1时，原不等式与(x－
由于a?2
a?1?1?1
a?1?1?2 )(x－2)＞0同解
∴原不等式的解为(－∞，a?2
a?1)∪(2，+∞
②当a＜1时，原不等式与(x－
由于a?2
a?1?1?
a?21a?1?1?a?2a?1)(x－2) ＜0同解 , 1?2,解集为(a?2若a＜0，a?1a?1
1若a=0时，?1??2，解集为?； a?1a?1a?1a?2，2)；
若0＜a＜1，a?2
a?1?1?1
a?1?2,解集为(2，
a?2
a?1a?2a?1) a?2a?1综上所述当a＞1时解集为()∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，
解集为?；当a＜0时，解集为(a?2
a?1，2
例6 设m?R，解关于x的不等式m2x2?2mx?3?0． 分析：进行分类讨论求解．
解：当m?0时，因?3?0一定成立，故原不等式的解集为R． 当m?0时，原不等式化为(mx?3)(mx?1)?0；
当m?0时，解得?
当m?0时，解得1
m3m?x?1m3m； ．
?
?3m1??； m??x??∴当m?0时，原不等式的解集为?x??x?
当m?0时，原不等式的解集为?x
??1m?x??3??． m?
说明：解不等式时，由于m?R，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当m?0时，原不等式化为?3?0，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m?0与m?0两种情况来讨论．
的解是x?1．
例8 解关于x的不等式x2?(a?a2)x?a3?0．
分析：不等式中含有字母a，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程x2?(a?a2)x?a3?0的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a，故需比较两根的大小，从而引出讨论．
解：原不等式可化为(x?a)(x?a2)?0．
(1)当a?a2（即a?1或a?0）时，不等式的解集为：
?xx?a或x?a2?；
(2)当a?a2（即0?a?1）时，不等式的解集为：
?x2x?a或x?a； ?
(3)当a?a2（即a?0或1）时，不等式的解集为：
?xx?R且x?a?．
说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根x1?a，x2?a2，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根．但a与a两根的大小不能确定，因此需要讨论a?a，a?a，a?a三种情况． 2222
例9 不等式ax2?bx?2?0的解集为?x?1?x?2?，求a与b的值．
分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为?x?1?x?2?，不等式ax2?bx?2?0需满足条件a?0，??0，ax2?bx?2?0的两根为x1??1，x2?2．
解法一：设ax2?bx?2?0的两根为x1，x2，由韦达定理得：
b??bx?x?????1?212????aa 由题意：? ?22?x?x??????1?212??a??a
∴a?1，b??1，此时满足a?0，??b2?4a?(?2)?0．
解法二：构造解集为?x?1?x?2?的一元二次不等式：
(x?1)(x?2)?0，即x?x?2?0，此不等式与原不等式ax?bx?2?0应为同解不等式，故需满足： a
1?b
?1??2
?222 ∴a?1，b??1．
例10 解关于x的不等式ax2?(a?1)x?1?0．
分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想． 解：分以下情况讨论
(1)当a?0时，原不等式变为：?x?1?0，∴x?1
(2)当a?0时，原不等式变为：(ax?1)(x?1)?0 ①
①当a?0时，①式变为(x?1
a)(x?1)?0，∴不等式的解为x?1或x?1
a．
②当a?0时，①式变为(x?
∵
1
a1a?1?1?aa1a)(x?1)?0． ② 1a?1，此时②的解为1?x?，∴当0?a?1时，1a．当a?1时，1a?1，此时②的解为?x?1．
说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：
?a?0
??a?0???a?R??0?a?1 ?
?a?0?a?0?a?1????a?1?????
分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论a?0时，解一元二次不等式ax2?(a?1)x?1?0应首选做到将二次项系数变为正数再求解．
例11解不等式x2?3x?10?8?x．
分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，f(x)?g(x)可转化为f(x)?g(x)或f(x)?g(x)，而f(x)?g(x)等价于：
?f(x)?0
?f(x)?0?或?g(x)?0． ?g(x)?0??2f(x)?[g(x)]?
解：原不等式等价于下面两个不等式组：
?8?x?0
?8?x?0?①?2 ②?x2?3x?10?0
?x?3x?10?0?22?x?3x?10?(8?x)
由①得??x?8
?x?5或x??2，∴x?8 ?
?x?8?74?x?8， 由②得∴?x?5或x??2 13?74?x?13.?
所以原不等式的解集为?x
??74????x?8或x?8?，即为?xx??． 1313???
f(x)?g(x)型的不等式求解，注意： 74说明：本题也可以转化为
?f(x)?0?
f(x)?g(x)??g(x)?0
?2?f(x)?[g(x)]
例12.已知关于x的不等式x2?mx?n?0的解集是{x|?5?x?1}，求实数m,n之值． 解：?不等式x2?mx?n?0的解集是{x|?5?x?1}
?x1??5,x2?1是x?mx?n?0的两个实数根， ?m??4??5?1?m
． ?由韦达定理知：???
n??5?5?1?n??
2
练习．已知不等式ax2?bx?c?0的解集为{x|2?x?3}求不等式cx2?bx?a?0的解集． b?
2?3???a
?b??5a?
c??
解：由题意 ?2?3?， 即?c?6a．
a??a?0
??a?0
??
代入不等式cx2?bx?a?0得： 6ax2?5ax?a?0(a?0)． 即6x2?5x?1?0，?所求不等式的解集为{x|?
13?x??
12．
1).恒成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B 如（1）设实数x,y满足x2?(y?1)2?1，当x?y?c?0时，c的取值范围是______
1,???）（答：； （2）不等式x?4
?x?3?a
对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____
（答：a?1）；
（3）若不等式2x?1?m(x2?1)对满足m?2的所有m都成立，则x的取值范围_____
（答：（
（4）若不等式(?1)na?2?值范围是_____
（答：[?2,)）；
23
7?12
,
3?12
））；
(?1)n
n?1
对于任意正整数n恒成立，则实数a的取
（5）若不等式x2?2mx?2m?1?0对0?x?1的所有实数x都成立，求m的
取值范围.
（答：m??1
2）
2). 能成立问题
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x?max?A；
若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上的f?x?min?B.如 x?4?x?3?a已知不等式在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值
范围____
3). 恰成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恰成立,
D；
若不等式f?x??B在区间D上恰成立,
D.
（答：a?1） 则等价于不等式f?x??A的解集为则等价于不等式f?x??B的解集为