1.比较数的大小，对不等式进行等价变形的理论依据．

a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<0.

b>0时，a>b?>1；a＝b?＝1；a<b?<1.

2．不等式的性质

性质1　(对称性)a>b?b<a；

性质2　(传递性)a>b，b>c?a>c；

性质3　(可加性)a>b?a＋c>b＋c

移项法则：不等式中的任意一项都可以变成它的相反数后从一边移到另一边．

?ac>bc；?ac<bc；

性质5　(同向可加性)a>b，c>d?a＋c>b＋d；

?ac>bd；

性质7　(不等式的乘方)a>b>0?aⁿ>bⁿ(n∈N且n≥2)；

性质8　(不等式的开方)a>b>0?>(n∈N且n≥2)．

3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

{x|x<x₁或x>x₂}      {x|x₁<x<x₂}

{x|x≠－，x∈R}    ?

R                  ?

1.基本不等式：对任意a、b∈R^＋，有≥成立，当且仅当a＝b时取等号．

(1)x、y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小 值2.

(2)x、y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大 值.

2．用“<、>、≤、≥或＝”填空

(1)含绝对值的不等式||a|－|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|＋|b|，

(2) < (b>a>0，m>0)．

线性规划中的基本概念

第二篇：高中数学不等式知识点经典习题

典型例题一

例1 解不等式x?1?2x?3?2

?a(a?0)??a(a?0)

分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念a??

，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与

之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．

解：令x?1?0，∴ x??1，令2x?3?0，∴x?

32

，如图所示．

（1）当x??1时原不等式化为?(x?1)??(2x?3)?2∴x?2与条件矛盾，无解． （2）当?1?x?（3）当x?

32

32

时，原不等式化为x?1??(2x?3)?2．∴ x?0，故0?x?

32

32

．

时，原不等式化为x?1?2x?3?2．∴x?6，故

?x?6．综上，原不等式的解为?x0?x?6?．

说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．

典型例题二

例2 求使不等式x?4?x?3?a有解的a的取值范围．

分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便． 解法一：将数轴分为???,3?,[3,4],(4,??)三个区间 当x?3时，原不等式变为(4?x)?(3?x)?a,x?

7?a2

有解的条件为

7?a2

?3，即a?1；

当3?x?4时，得(4?x)?(x?3)?a，即a?1； 当x?4时，得(x?4)?(x?3)?a，即x?

a?72

，有解的条件为

a?72

?4 ∴a?1．

以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a?1．

解法二：设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式PA?PB?a的意义是P到A、B的距离之和小于a．

因为AB?1，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即x?4?x?3?1，故当a?1x?4?x?3?a有解．

典型例题三

1

例3 已知x?a?

?2M

,0?y?b?

?2a

,y?(0,M)，求证xy?ab??．

分析：根据条件凑x?a,y?b．

?2M

?2a

证明：xy?ab?xy?ya?ya?ab?y(x?a)?a(y?b)?yx?a?a?y?b?M?说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．

?a???．

典型例题四

例4 求证

a?ba

2

2

?a?b

分析：使用分析法

证明 ∵a?0，∴只需证明a2?b2?a?a，两边同除b，即只需证明

a?bb

22

2

22

?

ab

22

?

ab

，即 ()2?1?()2?

b

b

aaab

当

a2a2a2aa

；当?1时， ?1时，()?1?()?1?()?

bbbbbb

a

a?b?0，原不等式显然成立．∴原不等式成立．

说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：

a?ba

2

2

?

a

2

?ba

2

?a?

ba

?b

（1）如果

abba

?1，则a?b?0，原不等式显然成立．

（2）如果?1，则?

ba

??b，利用不等式的传递性知a?

ba

，b?a?b，∴原不等式也成立．

典型例题五

例5 求证

a?b1?a?b

?

a1?a

?

b1?b

．

分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构

造函数的方法，再用单调性去证明．

证明：设f(x)?

x1?x

?

1?x?11?x

?1?

11?x

．

a1?a

b1?b

定义域为｛xx?R，且x??1｝，f(x)分别在区间(??,?1)，区间(?1,??)上是增函数．

a?b1?a?b

2

又0?a?b?a?b，∴f(a?b)?f(a?b)即?

a?b1?a?b

?

a1?a?b

?

b1?a?b

??

∴原不等式成立．

说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵a?b?a?b，1?a?b?0，∴

a?b1?a?b

?

a?b1?a?b

?

a1?a?b

?

b1?a?b

?

a1?a

?

b1?b

．

错误在不能保证1?a?b?1?a，1?a?b?1?b．绝对值不等式a?b?a?b在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．

型例题六

例6 关于实数x的不等式x?

A?B的a的取值范围．

(a?1)2

2

?

(a?1)2

2

与x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0(a?R)的解集依次为A与B，求使

分析：分别求出集合A、B，然后再分类讨论． 解：解不等式x?

(a?1)2

2

?

(a?1)2

2

，?

(a?1)2

2

?x?

(a?1)2

2

?

(a?1)2

2

，∴A?x2a?x?a2?1,a?R．

??

解不等式x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0，[x?(3a?1)](x?2)?0． 当a?

13131

时（即3a?1?2时），得B??x2?x?3a?1,a??．

?

3?

?1?

当a?

时（即3a?1?2时），得B??x3a?1?x?2,a??．

?

3?

?1?

?2a?2,

A?B当a?时，要满足，必须?2故1?a?3；

3a?1?3a?1,?

当a?

13

时，要满足A?B，必须?

?2a?3a?1,?2?a?1;

2

?

?a??1,??1?a?1,

∴a??1．

所以a的取值范围是?a?Ra??1或1?a?3?．

说明：在求满足条件A?B的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．

典型例题七

例6 已知数列通项公式an?

am?an?

12

n

sina2

?

sin2a2

2

?

sin3a2

3

???

sinna2

n

对于正整数m、n，当m?n时，求证：

．

分析：已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式

a1?a2???an?a1?a2???an，问题便可解决．

证明：∵m?n∴am?an?

sin(n?1)a

2

n?1

?

sin(n?2)a

2

n?2

???

3

sinma2

m

?

sin(n?1)a

2

n?1

?

sin(n?2)a

2

n?2

???

sinma2

m

1

?1

2n?1?12

1n?2???12m?n?1(1?1?1121

2n?1m?n)?12n(1?12m?n)?12n(0?1?12m?n?1)． 说明：2n?1?12n?2???12m是以为首项，以12为公比，共有m?n项的等比数列的和，误认为共有m?n?1

项是常见错误． 正余弦函数的值域，即sin??1，cos??1，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．

典型例题八

例8 已知f(x)?x2?x?13，x?a?1，求证：f(x)?f(a)?2(a?1)

分析：本题中给定函数f(x)和条件x?a?1，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件x?a?1的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a?1?x?a?1，替出x；(3)用绝对值的性质x?a?x?a?1?x?a?1进行替换．

证明：∵f(x)?x2?x?13，∴f(a)?a2?a?13，∵x?a?1，∴x?a?x?a?1． ∴x?a?1，∴f(x)?f(a)?x2?a2?a?x?(x?a)(x?a)?(x?a)?(x?a)(x?a?1)

?x?a?x?a?1?x?a?1?x?a?1?a?1?a?1?2(a?1)，即f(x)?f(a)?2(a?1)．

说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件x?a?1使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．

典型例题九

?x?0

?例9 不等式组?3?x2?x的解集是（ ）． ??3?x2?x?

A．?x0?x?2? B．?x0?x?2.5?

C．x0?x??6 D．?x0?x?3? ?

分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由3?x

3?x?2?x

2?x，知3?x

3?x?0，∴?3?x?3，又x?0，∴0?x?3，解原不等式组实为解不等式3?x

3?x?2?x

2?x（0?x?3）．

解法一：不等式两边平方得：(3?x)2(2?x)2?(3?x)2(2?x)2．

4

∴(x2?x?6)2?(x2?x?6)2，即(x2?x?6?x2?x?6)(x2?x?6?x2?x?6)?0，

?x2?6?0∴x(6?x)?0，又0?x?3．∴? ∴0?x?

?0?x?326．选C．

解法二：∵x?0，∴可分成两种情况讨论：

(1)当0?x?2时，不等式组化为

(2)当x?2时，不等式组可化为3?x3?x??2?x2?x（0?x?2）．解得0?x?2． 3?x

3?xx?22?x（x?2），解得2?x?6．

综合(1)、(2)得，原不等式组的解为0?x?6，选C．

说明：本题是在x?0的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．

典型例题十

例10 设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0，且b?0)，已知b?af(0)?1，f(?1)?1，f(1)?1，当x?1时，证明f(x)?5

4．

5

4分析：从a?0知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从x?1且f(?1)?1f(1)?1知，要求证的是f(x)?，

所以抛物线的顶点一定在x轴下方，取绝对值后，图像翻到x轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．

证明：∵2b?(a?b?c)?(a?b?c)?a?b?c?a?b?c?f(1)?f(?1)?1?1?2，∴b?1．又∵b?a，∴bab2a12b2a4ac?b4a2?1．∴???1．又c?f(0)?1，f(?)??c?b2

4a， ∴f(?b

2a)?c?b2

4a?c?b2

4a?c?1

4?b

a?b?1?1

4?1?1?5

4．而f(x)的图像为开口向上的抛物线，且x?1，

?1?x?1，∴f(x)的最大值应在x?1，x??1或x??b

2a处取得．∵f(1)?1，f(?1)?1，f(?b

2a)?5

4， ∴f(x)?5

4．

说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a，b，c的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在x?1范围内的最大值．

5