高中数学第六章-不等式

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）理解不等式的性质及其证明．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）掌握简单不等式的解法．
数学探索©版权所有www.delve.cn（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 

§06. 不 等 式  知识要点

1.  不等式的基本概念

（1）   不等（等）号的定义：

（2）   不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3）   同向不等式与异向不等式.

（4）   同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）（对称性）

（2）（传递性）

（3）（加法单调性）

（4）（同向不等式相加）

（5）（异向不等式相减）

（6）

（7）（乘法单调性）

（8）（同向不等式相乘）

（异向不等式相除）

（倒数关系）

（11）（平方法则）

（12）（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）

（2）（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）

极值定理：若则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.

     利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

（当仅当a=b=c时取等号）

（当仅当a=b时取等号）

（7）

4.几个著名不等式

 （1）平均不等式：   如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

特别地，（当a = b时，）

幂平均不等式：

注：例如：.

常用不等式的放缩法：①

②

（2）柯西不等式：

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有

则称f(x)为凸（或凹）函数.

5.不等式证明的几种常用方法

  比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

  步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax²+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

    1

 2    3

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；     2应用数形思想；

3应用化归思想等价转化

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

①       

②

类似于，③

第二篇：高中数学知识点总结(集合,不等式,函数))

上海教材高中数学知识点总结

一、集合与常用逻辑

1．集合概念    元素：互异性、无序性

2．集合运算    全集U：如U=R

交集： 

并集：

补集： 

3．集合关系     空集

子集:任意

注：数形结合---文氏图、数轴

4．四种命题

原命题：若p则q                 逆命题：若q则p

否命题：若则           逆否命题：若则

原命题逆否命题    否命题逆命题

5．充分必要条件

p是q的充分条件：

p是q的必要条件：

p是q的充要条件：p?q

6．复合命题的真值  

①q真（假）?“”假（真）

②p、q同真?“p∧q”真

③p、q都假?“p∨q”假

7.全称命题、存在性命题的否定

"ÎM, p(x）否定为: $ÎM,

$ÎM, p(x）否定为: "ÎM,

二、不等式

1．一元二次不等式解法 

若，有两实根，则

解集

解集

注：若，转化为情况

2．其它不等式解法—转化

或

 

（）

（）

3．基本不等式  

①   

②若，则

注：用均值不等式、

求最值条件是“一正二定三相等”

三、函数概念与性质

1．奇偶性

f(x)偶函数f(x)图象关于轴对称　

f(x)奇函数f(x)图象关于原点对称

注：①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称

②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0

③“奇+奇=奇”（公共定义域内）

2．单调性

f(x)增函数：x₁＜x₂f(x₁)＜f(x₂)

或x₁＞x₂f(x₁) ＞f(x₂)

或

f(x)减函数：？

注：①判断单调性必须考虑定义域

②f(x)单调性判断

定义法、图象法、性质法“增+增=增”  

③奇函数在对称区间上单调性相同

偶函数在对称区间上单调性相反

3．周期性

是周期恒成立（常数）

4．二次函数

解析式： f(x)=ax²+bx+c，f(x)=a(x-h)²+k

          f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

对称轴：   顶点：

单调性：a>0，递减，递增

当，f(x)_min

奇偶性：f(x)=ax²+bx+c是偶函数b=0

闭区间上最值：

配方法、图象法、讨论法---

注意对称轴与区间的位置关系

注：一次函数f(x)=ax+b奇函数b=0

四、基本初等函数

1．指数式     

2．对数式   （a>0,a≠1）

  

  

  

注：性质     

常用对数，

自然对数，

3．指数与对数函数      y=a^x与y=log_ax

定义域、值域、过定点、单调性？

注：y=a^x与y=log_ax图象关于y=x对称（互为反函数）

4．幂函数   

在第一象限图象如下：

五、函数图像与方程

1．描点法  

函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）

取特殊点如零点、最值点等　

2．图象变换

平移：“左加右减，上正下负”

伸缩：

对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”

注：

翻折：保留轴上方部分，

并将下方部分沿轴翻折到上方

  

保留轴右边部分，

并将右边部分沿轴翻折到左边

     

3．零点定理

若，则在内有零点

（条件：在上图象连续不间断）

注：①零点：的实根

②在上连续的单调函数，

则在上有且仅有一个零点

③二分法判断函数零点---？

六、三角函数

1．概念  第二象限角()

2．弧长     扇形面积 

3．定义       

其中是终边上一点，

4．符号  “一正全、二正弦、三正切、四余弦”

5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”

如，

6．特殊角的三角函数值

7．基本公式

同角   

和差

倍角

                

降幂cos²α=     sin²α=

叠加

 

8．三角函数的图象性质

单调性：   增                减              增

注：

9．解三角形    

基本关系：sin(A+B)=sinC  cos(A+B)=-cosC

             tan(A+B)=-tanC  

正弦定理：==

 

余弦定理：a²=b²+c²－2bccosA（求边）      

         cosA=（求角）

面积公式：S_△＝absinC

注：中，A+B+C=？   

a²＞b²+c² ? ∠A＞